二次型与对称矩阵的有定性

1、例1 有称此二次型对应的矩阵称为.5.3 二次型与对称矩阵的有定性考虑二次型是正定二次型.1考虑二次型 有称此二次型是相应的矩阵称为半正定矩阵.例2 存在使得半正定二次型.2例3 称此二次型是相应的矩阵为负定矩阵.考虑二次型 有负定二次型.3例4 有称此二次型是相应的矩阵称为半负定矩阵.半负定二次型.考虑二次型 存在使得4 对于具有对称矩阵A如果对任何都有则称二次型 A称为正定矩阵是正定二次型定义5.4 的二次型(负定二次型)(负定矩阵)5对于具有对称矩阵A 如果对任都有则称二次型 A称为半正定矩阵.且至少存在一个 使是半正定二次型.定义5.4 的二次型6对于具有对称矩阵A 如果对任都有则称二

2、次型 A称为半负定矩阵.且至少存在一个 使是半负定二次型.定义5.4 的二次型7二次型 有 有 且使得是正定的二次型 有 是负定的二次型 是半正定的二次型 是半负定的有 且使得8例 不是 正定的;(半)(半)也不是 负定的.此时称为不定的. 二次型9 二次型及其矩阵不具有有定性的二次型只有对称矩阵矩阵 谈到矩阵为正定、负定、半正定、半负定统称为二次型负定、半正定、半负定.均已隐含它是对称矩阵.才有对应的二次型,及其矩阵的及其矩阵称为不定的.有定性.故只有对称才谈的上正定、负定、半正定、半负定,的正定、10它对应的二次型对称矩阵A为正定矩阵它对应的二次型对称矩阵A为负定矩阵它对应的二次型对称矩阵

3、A为半正定矩阵它对应的二次型对称矩阵A为半负定矩阵为正定二次型为负定二次型为半正定二次型为半负定二次型11例 对任何故二次型为正定二次型.为正定矩阵.当时，对应的矩阵12如为正定二次型.故单位矩阵E为正定矩阵.13例 对任何故二次型为负定二次型.为负定矩阵.当时，对应的矩阵14如为正定二次型.故为负定矩阵.15例 对任何故二次型为半正定二次型.为半正定矩阵.当时，对应的矩阵且至少有一个16如为半正定二次型.为半正定矩阵.17例 对任何故二次型为半负定二次型.为半负定矩阵.当时，对应的矩阵且至少有一个18如为半负定二次型.为半负定矩阵.19对角矩阵为正定矩阵定理5.6的充要条件是20如果A正定,

4、证明思路： A正定, 则B也正定.C可逆.要证定理 5.5 设AB由AB 知，设只需证21如果A正定,证 由C可逆，方程组只有零解. A正定, 所以矩阵B正定.则B也正定.C可逆.定理 5.5 设AB由AB 知，设令22给定二次型设该二次型化为:若经过非退化正定，则也正定.线性替换23矩阵或二次型为正定准则2 定理5.7 准则4 准则1A与单位矩阵E合同.A的特征值都大于零定理5.8准则3 f 的正惯性指标为n以下给出几个作为判别准则. 存在可逆矩阵C,使得矩阵A为正定矩阵n元二次型f 正定 矩阵A为正定矩阵的充分必要条件,24准则5 定义5.5称为矩阵A的顺序主子式.A的顺序主子式都大于零.

5、(定理5.9)矩阵A为正定矩阵的充分必要 条件是25例 A正定解 该二次型不正定.判别下列矩阵或二次型是否正定 二次型对应的矩阵为26例 取何值时,解 时，以下二次型为正定二次型对应的矩阵为：当且仅当二次型正定.27 矩阵A负定都有证都有矩阵(A)正定.故判断一个矩阵是否负定,负定的判别：可以转化为判断它的是否正定.矩阵 正定.A负定负矩阵28负定正定A的顺序主子式负正相间.A的奇数阶顺序主子式均小于零,偶数阶顺序主子式均大于零.29例A是负定矩阵.注意:矩阵A负定A的顺序主子式负正相间.A的顺序主子式都为负.矩阵A正定A的顺序主子式都为正.30定理5.10设二次型则下列各条件等价：是负定二次型；的负惯性指数为n；(3)实对称