2023届高三数学一轮大题专练5-导数（零点个数问题1）

1、2023届高三数学一轮大题专练5导数（零点个数问题1）1设函数，（1）证明：当，时，；（2）判断函数在上的零点个数解：（1）证明：令，在，上单调递增注意到，存在唯一的使且当时，单调递减；当时，单调递增；注意到，（2），当时，单调递减，在上有一个零点当时，由（1）知，无零点当时，令，且当时，单调递增；当时，单调递减，当时，也无零点综上：在上有唯一的零点2已知函数在区间，上的最小值为，最大值为1（1）求实数，的值；（2）若函数有且仅有三个零点，求实数的取值范围解：（1）函数，则，当时，令，可得或，此时函数的增区间为，的减区间为，由，（2），因为函数在区间，上的最小值为，最大值为1，则有，解得，；当

2、时，令，可得，此时函数的减区间为，的增区间为，由，（2），因为函数在区间，上的最小值为，最大值为1，则有，解得，综上所述，或，；（2）当时，若函数有且仅有三个零点，实数的取值范围为；当，时，若函数有且仅有三个零点，实数的取值范围为3已知函数（1）若函数在上单调递减，求的取值范围；（2）若函数在定义域内没有零点，求的取值范围解：（1）因为函数在上单调递减，所以在上恒成立，由，可得，由于，则在上恒成立，令，故在上单调递增，所以只需即可，所以，所以的取值范围是，（2）的定义域为，令，当时，单调递增，故存在，使得，即，即，两边取对数得，而在上单调递减，在，上单调递增，故，故，将代入上式得，化简得，因为

3、，当且仅当，即时取等号，所以，故，即的取值范围是4设，为实数，且，函数（）求函数的单调区间；（）若对任意，函数有两个不同的零点，求的取值范围；（）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足（注是自然对数的底数）解：（），当时，由于，则，故，此时在上单调递增；当时，令，解得，令，解得，此时在单调递减，在单调递增；综上，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；（）由（）知，要使函数有两个不同的零点，只需即可，对任意均成立，令，则，即，即，即，对任意均成立，记，则，令（b），得，当，即时，易知（b）在，单调递增，在单调递减，此时（b），不合题意；当，即时，易知（b）在，单

4、调递减，此时，故只需，即，则，即；综上，实数的取值范围为，；（）证明：当时，令，解得，易知，有两个零点，不妨设为，且，由，可得，要证，即证，即证，而，则，要证，即证，即证，而，即得证5已知函数（）若，求曲线在点，（1）处的切线方程；（）当时，求函数的零点个数，并说明理由解：（）当时，则切线的斜率（1），所以切线方程为，即，所以曲线在点，（1）处的切线方程为（）的定义域为，令，解得，当时，与在区间上的情况如下：100极大值极小值在上递增，在上递减，在上递增此时，所以在上只有一个零点，当时，由，得，（舍，所以在上有一个零点；当时，与在区间上的情况如下：10极小值此时，若时，所以在上无零点，若时，所以在上有一个零点，若时，所以有两个零点综上所述，当或时，在上有一个零点；当时，在上有两个零点；，当时，在上无零点6已知函数（1）若，求函数的极值；（2）若函数无零点，求实数的取值范围解：（1）当时，所以，令，得，所以当时，单调递减；当时，单调递增所以为函数的极小值点，极小值为；无极大值（2）由，得当时，此时函数没有零点，符合题意；当时，所以函数单调递减又，且，所以函数有零点，不符合