有限元基础课件资料

1、有限元基础有限单元法简介一、有限单元法得以发展的原因必要性：现代工程建设的规模越来越大，场地条件也越来越复杂，采用传统的解析法求解偏微分方程是不可能的。可能性：计算机技术的发展推动了数值方法的发展。数值方法的优点：能够较好地考虑诸如介质的各向异性、非均质特性及其随时间的变化、复杂边界条件和介质不连续性等复杂工程和地质条件。攀枝花宜宾乐山二滩电站金沙江金沙江岷江大渡河长江雅砻江YibingPanzhihuaLeshang成都 昆明宜宾大理乐山攀枝花丽江澜沧江金沙江雅砻江大渡河岷 江向家坝白鹤滩小湾溪洛渡 中国西南地区位于青藏高原东部，地质条件极其复杂。伴随高原的隆升，金沙江、澜沧江等深切成谷。印

2、度洋板块塔里木盆地青藏高原柴达木盆地四川盆地四川盆地长江三峡工程地质工程问题研究高边坡二滩大坝与水库完工后的地下厂房地下厂房洞室群地下厂房洞室群的三维有限元计算交通基础设施建设铁路工程建设桥梁基础的承载力与稳定性地下矿开采的井巷系统地下采矿的深度超过3000m地下采矿的分中段逐步进行地下采矿过程中既涉及岩体稳定，也涉及岩体破碎，还涉及散体的运动，如放矿。地下采矿引起的地表沉降与塌陷露天矿开采的全景露天开采深度也达300500m采石场边坡二、常用的数值方法有限单元法：Ansys、Adina、2D-sigma、 3D-sigma、geo-slope、 SAP、 Compass、Algor、Cosm

3、os/m、 Strand等离散单元法：UDEC、其它自主开发的DEM程序边界单元法：有限差分法：Flac-2D、Flac-3D无界元法：有限单元法：从50年代开始盛行，它将所考虑的区域分割成有限大小的小区域（单元），这些单元仅在有限个节点上相连接，根据变分原理把微分方程变换成变分方程，它是通过物理上的近似，把求解微分方程的问题变换成求解关于节点未知量的代数方程组的问题。 1956年M.J.Turner, R.W.Clough, H.C.Martin, L.J.Topp在纽约举行的航空学会年会上介绍了一种新的计算方法，将矩阵位移法推广到求解平面应力问题。他们把结构划分成一个个三角形和矩形的“单元

4、”，利用单元中近似位移函数，求得单元节点力与节点位移关系的单元刚度矩阵。 1954-1955年，J.H.Argyris在航空工程杂志上发表了一组能量原理和结构分析论文。 1960年，Clough在他的名为“The finite element in plane stress analysis”的论文中首次提出了有限元（Finite Element）这一术语。 数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，变分原理和加权余量法。三、有限单元法 在1963年前后，经过J.F.Besseling, R.J.Melosh, R.E.Jones, R.H.Gallaher, T.H.H.Pian

5、（卞学磺）等许多人的工作，认识到有限元法就是变分原理中Ritz近似法的一种变形，发展了用各种不同变分原理导出的有限元计算公式。 1965年O.C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung（张佑启）发现能写成变分形式的所有场问题，都可以用与固体力学有限元法的相同步骤求解。1969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用加权余量法特别是Galerkin法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题。 我国的力学工作者为有限元方法的初期发展做出了许多贡献，其中比较著名的有：陈伯屏（结构矩阵方法），钱令希（余能原理），钱伟长（广义变分原理），胡海昌（广义变分原理），冯康（有限单元法理论）。遗憾的是

6、，从1966年开始的近十年期间，我国的研究工作受到阻碍。四、有限元的应用范围工程地质现象机制的研究工程区岩体应力边界条件或区域构造力的反演工程岩（土）体位移场和应力场的模拟岩（土）体稳定性模拟岩土支护工程分析有限元法已经成功地应用在以下一些领域：固体力学，包括强度、稳定性、震动和瞬态问题的分析；传热学；电磁场；流体力学；岩土工程；工程地质等。有限元在岩土工程的应用：有限单元法适用于求解连续介质的小变形问题，可以考虑多种作用力的耦合。E矿坑及岩脉崩落体矿体交通系统重力型破坏应力型破坏E露天矿坑边坡稳定性分析公路隧道围岩稳定性评价中的应用最大主应力分色图坝基开挖阶段施加工程荷载堆石坝坝基开挖与大坝

7、填筑数值模拟Double lines boat channel170m大型岩石工程开挖过程模拟有限单元法的分析实例Lxdxq如图所示受其自重作用的等截面直杆，上端固定，下端自由。设单位杆长的重力为q，杆长为L，横截面面积为A，材料弹性模量为E，试求直杆各横截面上的应力。xo材料力学解从直杆任一截面取一微段dx，并令该微段截面上的内力为N(x)，则该微段的伸长量为：1234R1R2R3xR4ijeuiuj有限元解其中成直线关系，它们反映了单元的位移形态，所以称为形函数。单元的位移函数取则记则令写成矩阵形式位移列向量则由几何方程得：由于所以若记矩阵B反映了单元应变与节点位移之间得关系，称之为应变矩阵由物理方程得：若记则其中矩阵G反映了单元应力与节点位移之间得关系，称之为应力矩阵如果知道节点位移就可以求出单元应力和应变，如何求节点位移？可以利用虚功方程来分析单元得节点受力与节点位移得关系对于单元来说，节点力为外力外力所作得虚功为内力所作得虚功为根据虚功原理，单元虚功方程为由于而假定单元虚应变与节点位移具有如下关系则由于节点虚位移是任意的，所以若记则单元平衡方程其中矩阵Ke反映了单元的节点力与节点位移之间得关系，称为单元刚度矩阵其中（r，si，j；rs时取“”；r s时取“”）则利用节点平衡方程，可以建立包括整个结构的以节点位移为未知量的线性代数方程组。节点1节点3节