应用光学第二章-共轴球面系统的物像关系

1、第二章共轴球面系统的物像关系 主要内容解决共轴球面系统中像的问题。物的位置和大小像的位置和大小像的位置和大小光学系统的结构它们的规律性共轴球面系统中的光路计算要讨论成像规律，即像的虚实，成像的位置、正倒和大小问题，必须计算出光线的走向，即由入射光线位置找到通过系统后的出射光线的位置。2-1 实际光路计算公式 r：折射球面曲率半径o：顶点L：物方截距L：像方截距u：物方孔径角u：像方孔径角光路计算公式的形式随着所选择的表示光线位置的坐标不同而不同。（L，u； L，u ）一 基本概念二 符号规则： （光线方向自左向右）沿轴线段：以顶点O为原点，光线到光轴交点或球心，顺光线为正，逆光线为负。垂轴线端

2、：光轴以上为正，光轴以下为负光线与光轴夹角：由光轴转向光线锐角，顺时针为正，逆时针为负。 光线与折射面法线的夹角：由光线经锐角转向法线，顺时针为正，逆时针为负。 光轴与法线的夹角：光轴经锐角转向法线，顺时针为正逆时针为负。折射面间隔 ： d有前一面顶点到后一面顶点方向，顺光线方向为正，逆光线方向为负。三 实际光线的光路计算公式转面公式：已知：折射球面曲率半径r，介质折射率为n和n，物方坐标L和U求：像方L和U注意事项几何光学中的每一个参数，不仅要记住它所代表的几何意义，同时也要记住它的符号规则光路图中，各量一律标注其绝对值，使各个几何量永远为正应用符号规则，折射的公式也可适用于反射的情形。(n

3、=-n)例1对给定透镜进行三条光线的实际计算 透镜的结构参数为：空气玻璃（K9）空气发光点A与第一面顶点的距离为100，由A点计算和光轴的夹角分别为1o 、 2o 、 3o的光线。U = -1U = -2U = -3L- r-10010-10010-10010L-r sinU/ r-110-0.017510-110-0.034910-110-0.052310sinI n/n0.01921/1.51630.38391/1.51630.57571/1.5163sinI R/ sinU0.1266100.04880.2532100.10300.3797100.1708L r+ r25.9689102

4、4.59081022.227410L35.968934.590832.2274U+ I-111.0682-222.5751-335.1484U + I- I10.06827.273720.575114.665732.148422.3133U2.79455.90949.8351分析：由同一物点发出的光线，经球面折射后，实际上并不交于一点。靠近光轴的光线聚焦得好。2-2 近轴光学1 基本概念近轴光线：由物点发出入射到球面的光线与光轴的夹角U很小，其相应的I、I、U等角也很小，则其正弦值可以用弧度来代替，这种光线很靠近光轴，故称为近轴光线。近轴区：光轴附近这个区域称为近轴区。近轴光学：研究近轴区域的

5、物像关系的光学，称为近轴光学。2 近轴光路计算公式转面公式：对于近轴光，其光路计算公式可直接由实际光线计算公式得到，只要将其中角度的正弦用弧度来代替。例2 用近轴光路计算公式对例1中的透镜计算。u 1= -0.034906584u2 = 0.095835988lr-1001036.42325251-5-50l-r u/ r-110-0.0349065841081.423252510.047917995-50i n/n0.3839724241/1.5163-0.1560655571.5163/1i r/ u0.253229851100.095835988-0.236642204-500.1764

6、12635l r+ r26.423252511067.07065058-50l36.4232525117.07065058u+ i-0.0349065840.3839724240.095835988-0.156065557u + i- i0.349065840.253229851-0.060229569-0.236642204u0.0958359880.176412635分析讨论：公式中各参量一律用小写字母表示。近轴光线的成像性质：位于近轴区域内的物点，利用近轴光线成像时，符合点对应点的完善成像。轴上点由轴上同一物点发出的近轴光线，经过球面折射以后聚交于轴上同一点。轴外点由于球面的对称性，轴外

7、物点也可完善成像。 近轴光学的实际意义第一，作为衡量实际光学系统成像质量的标准。通常我们把用近轴光学公式计算出来的像，称为实际光学系统的理想像。第二，用它近似地表示实际光学系统所成像的位置和大小。研究光学系统的成像原理时经常用到。2-3 近轴光学的基本公式1 物像位置关系式h 光线与球面的交点到光轴的距离(2-13)(2-11)(2-12)(2-13)式中Q称为阿贝不变量，对于单个折射球面物空间与像空间的Q相等； (2-11)式表明了物、像孔径角的关系(2-12)式表明了物、像位置关系2 物像大小关系式垂轴放大率讨论: 0正像, 物像同方向, y y同号； 0倒像, 物像逆方向, y y异号；

8、 0 ，l l同号物像虚实相反(物像同侧)； 0 ，l l异号物像虚实相同(物像异侧)；| 1放大， | 1缩小.注意：垂轴放大率是物截距的函数，即物点位于不同位置其是不同的。 一个沿轴向有一定厚度的物经成像后，其轴向高度将不再与物相似。例3利用物像关系式计算例1中透镜所成近轴像的位置。第一面：第二面：转面：近轴光学基本公式是近轴光学计算公式的简化形式，它建立了物像之间的直接关系。两种形式的公式适用范围和得到的结果是完全一致的。2-4 理想光学系统一 基本概念理想光学系统：光学系统对任意大的范围，以任意大的光束成像都是完善的共线成像理论：点 点 （对应点称为物、像空间的共轭点）线 线 （对应线

9、称为物、像空间的共轭线）点在线上，共轭点在共轭线上面 面 （对应面称为物、像空间的共轭面）二 共轴理想光学系统的成像特性系统对称性表现的性质轴对称性：轴上物点，像点也位于轴上。面对称性：位于过光轴的某一截面内物点对应的像点必位于同一平面内。物平面垂直于光轴，其像平面也必然垂直于光轴。位于垂直于光轴同一平面内的物体，其像的几何形状和物完全相似，即在整个物平面上无论什么位置，垂轴放大率为常数。共轴理想光学系统，如果已知两对共轭面的位置和垂轴放大率，或者一对共轭面的位置和垂轴放大率以及轴上两对共轭点的位置，则其他一切物点的像点都可以据此确定。情况1: 已知两对共轭面的位置和垂轴放大率情况2: 已知一

10、对共轭面的位置和垂轴放大率以及轴上两对共轭点的位置2-5 理想光学系统的基点和基面1 主平面和主点主平面 垂轴放大率 = 1的一对共轭面主点 主平面和光轴的交点假定物空间的任意一条光线和物方主平面的交点为B，它的共轭光线和像方主平面交于B，则B和B与光轴的距离相等。2 焦点和焦平面像方焦点：光轴上物点位于无限远时，它的像点位于F，F称为像方焦点。像方焦平面：通过像方焦点垂直于光轴的平面平行于光轴入射的任意一条光线，其共轭光线一定通过F点。和光轴成一定夹角的平行光束，通过光学系统后，必相交于像方焦平面上同一点。FHH物方焦点：如果轴上某一物点F，它的像点位于无限远时， F称为物方焦点。物方焦平面

11、：通过物方焦点垂直于光轴的平面过物方焦点入射的光线，通过光学系统后平行于光轴出射。由物方焦平面上轴外任意一点B发出的所有光线，通过光学系统后，对应一束和光轴成一定夹角的平行光线。FBHH焦距：主平面和焦点之间的距离。像方焦距：f物方焦距：f最常用的共轴系统的基点和基面：一对主平面、无限远轴上物点和像方焦点F、物方焦点F和像方无限远轴上点。通常用一对主平面和两个焦点位置来表示一个光学系统。HHFF2-6 单个折射球面的主平面和焦点1 球面主点的位置主平面定义：一对共轭面：球面的两个主点与球面顶点重合。2 球面的焦距公式像方焦点为无限远物点的共轭点：物方焦点为无限远像点的共轭物点：3 反射球面的主

12、点与焦距由于反射可以看成是n = -n的折射，根据公式2-7 共轴球面系统主平面和焦点问题：任意共轴球面系统的主平面和焦点的位置。方法：在实际系统的近轴区追迹平行于光轴的光线，就可以计算出实际系统的近轴区的基点位置和焦距。 1 焦点计算一条平行于光轴入射的近轴光线，它通过光学系统后和光轴的交点即为像方焦点。用光线离开光轴的距离作为平行于光轴的光线的坐标。注：计算平行于光轴的近轴光线时，h1的数值可以任意选择。+ （2-2）（2-5）+ （2-7）（2-10）2 主平面的位置例4计算例1中透镜的主平面和焦点位置。透镜的结构参数为：空气玻璃（K9）空气焦距（EFL）顶焦距（BFL）像方参数计算（h

13、 = 10，i = h / r = 1）12l- r-1024.36858-50l - r u/ r074.368580.3404999-50i n/n11/1.5163-0.506451.5163/1i r/ u=(u+i-i)0.6595001100+1-0.6595001=0.3404999-0.76793-500.3404999-0.50645+0.76793=0.6019799l r+ r19.368581063.78369-50l- d29.36858513.78369 如何求解物方参数 物方焦点和物方主点位置的确定，和像方焦点和像方主点完全相似。根据物方焦点的性质和光路可逆定理，

14、如果从像空间按相反方向计算一条平行于光轴入射的光线，则它在物空间的共轭光线一定通过F点。 但这时计算光线是从右到左，和一般习惯不符。因而实际计算中，将光学系统倒过来，按计算像方焦点的方法进行计算，但所得结果必须改变符号。物方参数计算（h = 10，i = h / r = 0.2）12l- r-50141.8429-10l - r u/ r0151.84290.0681-10i n/n0.21/1.5163-1.0340501.5163/1i r/ u=(u+i-i)0.131900500+0.2-0.131900=0.0681-1.56793-100.0681-1.034050+1.56793

15、=0.60198l r+ r96.84295026.04621-10l- d146.8429516.04621几何光学的一个基本内容：求像对于确定的光学系统，给定物体的位置、大小、方向，求像的位置、大小、正倒及虚实。几何光学的一个基本内容：求像对于确定的光学系统，给定物体的位置、大小、方向，求像的位置、大小、正倒及虚实。2-8 图解法1、什么是图解法求像？ 利用光学系统基点和基面的性质，选用特殊的入射光线，用作图的方法找出其对应的出射光线的方向和位置。2、可选择的典型光线和可利用的性质： 平行于光轴入射的光线，经过系统后过像方焦点； 过物方焦点的光线，经过系统后平行于光轴；倾斜于光轴入射的平行

16、光束经过系统后会交于像方焦平面上的一点；自物方焦平面上一点发出的光束经系统后成倾斜于光轴的平行光束；共轭光线在主面上的投射高度相等。例1如图所示，物点B位于物方焦平面和物方主平面之间，图解法求其像的位置。HHFFBB例2求轴上物点A的像（方法一）。例2求轴上物点A的像（方法二）：例3：正透镜虚物成实像的例子。HHFFBAAB例4：负透镜实物成虚像的例子。HHFFBAAB2-9 解析法理论依据：共轴理想光学系统成像理论若已知主平面这一对共轭面、以及无限远物点与像方焦点、物方焦点与无限远像点这两对共轭点，则其他一切物点的像点都可以表示出来 按照选取不同的坐标原点：牛顿公式（以焦点为原点）高斯公式（

17、以主点为原点）Xf牛顿公式物和像的位置相对于光学系统的焦点来确定，即以焦点为原点，用x、x分别表示物距和像距。高斯公式物和像的位置相对于光学系统的主点来确定：以主点为原点，用l、l来表示物距和像距。分析说明：只有当知道系统的焦距f之后，才能使用高斯公式或牛顿公式。如果只知道系统的结构参数r、n、d，就不能直接应用上述两组公式，而必须首先利用近轴光路计算公式求出焦点、焦距和主平面（例4）。牛顿公式和高斯公式计算的结果应该是一致的。解题时使用哪一套公式，应视已知的物像面的坐标形式来定。当然，也可以根据转换式改变坐标的形式。牛顿公式和高斯公式给出的是整个理想光学系统的物像位置和物像大小的直接关系式。

18、只要知道焦距就可以求解出任意物平面对应的像平面的位置和对应的放大率。例5 应用牛顿公式和高斯公式例1中透镜所成的理想像面位置。解: 1、画图，并标注各相关几何光学量。2、应用牛顿公式，由图可得：由牛顿公式：由图可知，像平面距透镜第二面顶点的距离为：3、应用高斯公式，由图可得：由高斯公式：由图可知，像平面距透镜第二面顶点的距离为：注意事项：无论是计算还是推导公式，所作的图中的物理量一律标绝对值。根据几何图形进行计算时，要把参量和参量前的符号看成一个整体。所有公式都是在遵循符号规则的前提下推导出来的，应用时不能任意改变公式。几何光学中各参量都有符号规则。 本节小结研究的问题：物的位置和大小像的位置

19、和大小光学系统解决的基本方法：根据几何光学的基本定律，找出由物体上的某一物点发出的一系列光线通过光学系统以后的出射光线的位置，由这些出射光线与光轴和像面的交点决定像的位置和大小。贯穿本章的主要思路:实际光路计算公式近轴光路计算公式近轴光学基本公式理想光学系统的物象关系式以弧度近似代替正弦值消去与光线方向有关的中间变量以主点和焦点表示近轴范围内的成像性质2-10 理想光学系统的放大率理想光学系统的放大率有三种：垂轴放大率、轴向放大率和角放大率。 一、垂轴放大率：共轭面像高和物高之比。或说明几点：垂轴放大率与物体的位置有关，某一垂轴放大率只对应一个物体位置； 对于同一共轭面，是常数，因此平面物与其

20、像相似； 理想光学系统的成像性质主要表现在像的位置、大小、虚实、正倒上，利用可描述任意位置物体的成像的大小、虚实、正倒。工程实际中有一类问题是寻求物体放于什么位置，可以满足合适的倍率。注意：垂轴放大率是物截距的函数，即物点位于不同位置其值是不同的。 一个沿轴向有一定厚度的物经成像后，其轴向高度将不再与物相似。例1 凹面反射镜半径为-400mm，物体放在何处成放大两倍的实像？放在何处成放大两倍的虚像？解：单个反射球面的焦距：根据题意，对于反射镜，实物成实像时，=-2；即：代入高斯公式，有：当物体放在反射镜前300mm处时，可在镜面前成一放大2倍的实像。同理，实物成虚像时，=2；所以有：代入高斯公

21、式，有：当物体放在反射镜前100mm处时，可在镜面后成一放大2倍的虚像。二、轴向放大率定义：当物平面沿光轴作一微量的移动dx或dl时, 其像平面就移动一相应的距离dx或dl。通常定义二者之比为轴向放大率, 用 表示。它代表平行于光轴的微小线段所成的像与该线段二者长度之比。计算公式：高斯公式牛顿公式说明 与垂轴放大率的关系：一个小的正方体的像一般不再是正方体。除非正方体处于 = 1位置。 如果轴上点移动有限距离x, 相应的象点移动距离x, 则轴向放大率可定义为:其中, 1是物点处于物距为x1时的垂轴放大率, 2是物点移动x后处于物距为x2时的垂轴放大率。透射介质中，轴向放大率大于零。物像同向移动

22、。三、角放大率定义： 过光轴上一对共轭点, 任取一对共轭光线, 它们与光轴的夹角分别为U和U , 这两个角度的正切之比定义为这一对共轭点的角放大率, 以表示: 近轴区域：2 计算公式高斯公式牛顿公式3 说明 角放大率仅随物像位置而异 在同一对共轭点上, 任一对共轭光线与光轴夹角U 和U 的正切之比恒为常数。 三种放大率之间的关系式： 2-11 物像空间不变式物像空间不变式 拉格朗日-亥姆霍兹不变式单个折射球面近轴区：实际光学系统近轴区，任意一个像空间：理想光学系统的物像空间不变式：2-12 物方焦距和像方焦距的关系 在实际光学系统中，物方焦距和像方焦距存在着一种和系统结构无关的普遍关系：光学系

23、统的像方焦距和物方焦距之比等于像方和物方介质的折射率之比，但符号相反。对于位于空气中的光学系统，有：2-13 节平面和节点一 定义： 光学系统中角放大率等于1的一对共轭面称为节平面。 节平面与光轴的交点称为节点。 物方节点和像方节点具有以下性质：凡是通过物方节点的光线，其出射光线必定通过像方节点，并且和入射光线相平行。二 分析说明若光学系统位于空气中, 则有，在这种情况下, 当时，主点即为节点。过主点的入射光线经过系统后出射方向不变。光学系统物方空间折射率与像方空间折射率不相同时, 节点不再与主点重合。可求得这对共轭点的位置： 3 光学系统基点：一对节点、一对主点和一对焦点。它们确定以后, 就

24、能充分了解理想光学系统的成像性质。 三 应用举例由于节点具有入射和出射光线彼此平行的特性，所以时常用它来测定光学系统的基点位置。特别，对于绝大多数光学系统来说都位于空气中，所以节点的位置也就是主点的位置。周视照相机的构成。HFJHJ2-14 无限远物体理想像高的计算公式一 物体位于有限远时，理想像高的计算若已知光学系统的主平面和焦点的位置，则按照光学系统物像关系式求出，便可由物高求得像高。如果光学系统的主平面和焦点的位置未给出，那么只要由轴上物点出发计算一条近轴光线，根据入射光线的孔径角u和出射光线的孔径角u，利用物像空间不变式求出理想像高。二 物体位于无限远时，计算理想像高一束与光轴成 角入

25、射的平行光束经系统以后, 会聚于焦平面上的B点, 这就是无限远轴外物点B的像。B点的高度, 即像高y是由这束平行光束中过节点的光线决定的。 如果被测系统放在空气中, 则主点与节点重合,由图可得：应用实例：用平行光管测定焦距 原理如上所示。给定倾角的平行光束可由平行光管提供：在平行光管物镜焦平面上设置一刻有已知间隔线条的分划板, 用以产生平行光束。平行光管物镜的焦距f1为已知, 所以角 满足 tan=-y/ f1是已知的。据此, 被测物镜的焦距f2为： 例题一薄透镜焦距为20mm，一物体位于透镜前30mm处，求像的位置和垂轴放大率。一组合系统，薄正透镜的焦距为20mm，薄负透镜的焦距为20mm，

26、两单透镜之间的间隔为10mm，当一物体位于正透镜前方100mm处，求其通过组合系统的像的位置和垂轴放大率。2-15 理想光学系统的组合复杂光学系统往往由若干个光组组成,光组可以是单透镜也可以是复杂的透镜组。光学系统的组合问题：将几个光组组合在一起，求其等效光学系统的基点位置（等效焦点、等效主点）；把一个光学系统分解成几个光组，求出每个光组的基点位置。 一、两个光组组合分析 假定两个已知光学系统的焦距分别为f1、f1和f2、f2如图示。 两个光学系统的相对位置用第一个系统的F1 与第二个系统的F2的距离表示, 称为光学间隔。的符号规则是以F1 为 起算原点，计算到F2，由左向右为正。 分别用f、

27、f ，表示组合系统的物像方焦距，用F、F 表示物像方焦点。焦点位置的公式 首先求像方焦点F的位置，根据焦点的性质，F1和F对第二个光学系统来讲是一对共轭点。应用牛顿公式，并考虑到符号规则有： 这里xF是由F2到F的距离。上述计算是针对第二个系统作的，自然xF的起算原点是F2，利用上式就可求得系统像方焦点F的位置。(2-49) 物方焦点F的位置，据定义经过F点的光线通过整个系统后一定平行于光轴，所以它通过第一个系统后一定经过F2 点, 再对第一个系统用牛顿公式有： 这里xF指F1到F的距离，坐标原点是F1 。利用此式可求得系统的物方焦点F的位置。 (2-50)焦距公式 合成系统的像方焦距：合成系

28、统的物方焦距：(2-52)(2-51) 两个系统间相对位置有时用两主平面之间的距离d表示。d的符号规则是以第一系统的像方主点H1为起点，计算到第二个系统的物方主点H2，顺光路为正。 代入合成焦距公式有(2-53) 当两个系统位于同一种介质中时， f2=f2 通常用表示像方焦距的倒数， 称为光焦度。 式（2-55）写作 (2-55)(2-56)3 主平面位置焦点位置与焦距确定后，主平面位置也就确定了。将（2-49）（2-52）代入，可得直接计算主点位置的公式：从实用上看，用lF、lH来确定等效系统基点的位置更为重要和直观。计算焦点位置的公式：计算主点位置的公式：二、共轴多光组组合方法一：利用两个光组的组合公式，逐个地进行组合，以找到整个系统的主平面和焦点的位置。方法二：按照近轴光学的方法，通过系统计算两条平行于光轴的光线，则系统的主平面和焦点同样可以找到。当只需知道系统对某一特定物平面的成像性质，这时，只需要计算一条由轴上物点发出的光线，则像平面的位置以及相应的三种放大率都能够求得。此法可