二次曲线的仿射理论课件

1、 4.6 二次曲线的仿射理论一、二阶曲线与无穷远直线的关系二、二阶曲线的中心三、直径与共轭直径双曲型抛物型椭圆型相异的实点重合的实点共轭的虚点l=A33的符号仿射不变. 有心：(A31, A32, A33); 无心：(A31, A32, 0)或(a12,a11,0)或(a22,a12,0).无穷远直线的极点称为中心.对非退化二阶曲线讨论：中心、直径与共轭直径、渐近线 4.6 二次曲线的仿射理论三、直径与共轭直径1. 定义(1). 直径仿射定义解几定义 无穷远点P的有穷远极线(过中心的通常直线). 一组平行弦中点的轨迹.(XY, ZP)= 1(2). 共轭直径 直径AB的共轭直径为AB上无穷远点

2、P的极线EF(相互通过对方极点的两直径). 直径AB的共轭直径为平行于AB的弦的中点轨迹EF.(XY, ZP)= 1仿射定义解几定义(3). 共轭方向：与一对共轭直径平行的方向.l不是任何二阶曲线的直径！ 4.6 二次曲线的仿射理论三、直径与共轭直径1. 定义2. 性质(1). 有心二阶曲线 (i) 的任一对共轭直径与l一起, 构成的一个自极三点形. (ii) 的每一直径平分与其共轭直径平行的弦, 且平行于共轭直径与交点处的两切线.(2). 抛物线 (i) 的直径相互平行(l不是抛物线的直径). (ii) 的任一直径的极点为其与有穷远交点处切线上的无穷远点. (iii) 的任一直径平分其与有穷

3、远交点处切线平行的弦. (XY, ZP)= 1. (iv) 抛物线没有共轭直径, 将被一直径平分的弦的方向称为该直径的共轭方向. 4.6 二次曲线的仿射理论三、直径与共轭直径1. 定义2. 性质3. 直径的方程(1). 有心二阶曲线 (ii) 两直径共轭的条件.设直径的共轭直径为l.则l为l上的无穷远点(a12+ka22,(a11+ka12),0)的极线. 从而l的方程为即其中为l的斜率, 即从而, 两直径共轭两直径的斜率满足对合方程. 性质. 在以有心二阶曲线的中心为束心的线束中, 直径与共轭直径的对应是一个对合.三、直径与共轭直径1. 定义2. 性质3. 直径的方程(1). 有心二阶曲线(

4、2). 抛物线利用中心坐标, 可直接写出的直径方程为或者(a12,a11,0)或(a22,a12,0) 4.6 二次曲线的仿射理论 4.6 二次曲线的仿射理论四、渐近线1. 定义2. 性质(1). 渐近线是自共轭的直径.(2). 在以二阶曲线的中心为束心的线束中, 渐近线是对合的两条不变直线. (3). 有心二阶曲线的两渐近线调和分离其任一对相异的共轭直径.3. 求渐近线方程设已知有心二阶曲线求的渐近线方程.双曲线双曲型对合椭 圆椭圆型对合 4.6 二次曲线的仿射理论四、渐近线3. 求渐近线方程设已知有心二阶曲线求的渐近线方程.法一. 利用对合不变元素. 在中, 令k=k得不变元素方程为此方程

5、的两根即为渐近线方向. 设两根为ki(i=1,2), 分别代入即可得两渐近线方程. 评注：此法简单且直接, 但若上述参数表示中的两基线之一为渐近线, 则ki中应有0或, 实际计算时容易丢失一条渐近线. 4.6 二次曲线的仿射理论四、渐近线3. 求渐近线方程法二. 利用中心和渐近方向. 评注：此法简单且直接, 只要求出中心的非齐次坐标, 渐近线的方程即可直接写出(一般可不分解为两个一次式).这表示过原点的两直线, 其上无穷远点即为与l的交点, 从而它们平行于两渐近线, 化为非齐次, 得设中心的非齐次坐标为(, ). 则渐近线的方程为 4.6 二次曲线的仿射理论四、渐近线3. 求渐近线方程 法三. 利用切线方程. 渐近线为过中心的切线, 将中心P(A31,A32,A33)代入SppS=S2p, 即得渐近线方程. 现对此法进行整理, 因为 评注：此法推导繁, 实用不繁, 因为在做题时, 首先判断是否退化, |aij|已有, 再判断是否有心, A33也已知, 从而为已知.由于P为中心, 所以上式前二项的系数等于