概率论与数理统计第四章4-2

1、1 前面我们介绍了随机变量的数学期望,它体现了随机变量取值的平均,是随机变量的一个重要的数字特征. 但是在一些场合，仅仅知道随机变量取值的平均是不够的.4.2 随机变量的方差2例如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：你认为哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮因为乙炮的弹着点较集中在中心附近，所以乙炮的射击效果好. 中心中心3 为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度.这个数字特征就是我们下面要介绍的方差4设随机变量X的数学期望为E(X), 若E(X-E(X)2存在, 则称它为X 的方差（此时，也称X的方差存在)，记为

2、D(X)或Var(X) , 即定义称D(X) 的算术平方根 为X的标准差或均方差，记为 (X). A. 方差的概念D (X)=E(X-E(X)25若X的取值比较分散，则方差较大.刻划了随机变量的取值相对于其数学期望的离散程度。若X的取值比较集中，则方差较小；D(X)=EX-E(X)2 方差6注意： 1) D(X)0，即方差是一个非负实数。2）当X 服从某分布时，我们也称某分布的方差为D(X)。方差是刻划随机变量取值的分散程度的一个 特征。7方差的计算公式(1)若 X 为离散型，概率分布为(2)若 X 为连续型，概率密度为 f (x), 则则8方差的计算公式常用的公式：证明:9 常见随机变量的方

3、差 (1) 参数为p 的 01分布 概率分布为：前面已经计算过：E(X)=p，又所以10 概率分布为： 已计算过：E(X)=np，又 所以 (2)二项分布B(n, p)11 概率分布为： 已计算过：E(X)=，又 所以 (3)泊松分布P()12 概率密度为： 已计算过：E(X)=(a+b)/2，又 所以 (4)区间a,b上的均匀分布Ua,b13 概率密度为： 已计算过：E(X)=1/，又 所以 (5) 指数分布E()14 概率密度为： 已计算过：E(X)= ，所以 (6) 正态分布N(, 2)15例1. 设求 E (Y ), D(Y ).解:1617例2. 已知X的密度函数为其中 A，B 是常

4、数，且 E(X) = 0.5. 求 A，B.(2)设 Y=X2, 求 E(Y),D(Y).18解: (1)19(2)20性质1: 若X=C，C为常数，则 D(X)=D(C)=0 .B. 方差的性质性质2:若b为常数,随机变量X的方差存在， 则bX的方差存在, 且 D(bX) = b2D(X)D (aX + b ) = a2 D(X)结合性质1与性质2就有21若随机变量X1, X2, , Xn 的方差都存在，则X1+X2+.+Xn的方差存在，且 若随机变量X1, X2, , Xn相互独立，则性质4:n2时就有性质3:D(X+Y)= D(X) +D(Y) +2E(X-EX)(Y-EY)若X, Y

5、独立， D(X+Y)= D(X) +D(Y)22注: 以后若无特殊说明, 都认为随机变量的方差大于0。性质5:对任意常数C, D(X ) E(X C)2 ,等号成立当且仅当C = E(X ).性质6:D(X ) = 0 P (X = E(X)=1称X 以概率 1 等于常数E(X).23例1. 设X B( n , p)，求D(X ).解： 引入随机变量故则由于相互独立，且24例2.标准化随机变量设随机变量 X 的期望E(X )、方差D(X )都存在, 且D(X ) 0, 则称为 X 的标准化随机变量. 显然，Ch4-25仅知随机变量的期望与方差并不能确定其分布,例如：P -1 0 1 0.1 0

6、.8 0.1P -2 0 20.025 0.95 0.025与它们有相同的期望、方差但是分布却不同Ch4-26但若已知分布的类型，及期望和方差，常能确定分布.例 已知 X 服从正态分布, E(X ) = 1.7, D(X ) = 3, Y = 1 2 X , 求 Y 的密度函数.解 27则:例3. 设X1, X2, , Xn相互独立，有共同的期望 和方差 ，证明:28例4.已知随机变量X1,X2,Xn相互独立，且每个Xi的期望都是0，方差都是1，令Y= X1+X2+Xn .求 E(Y2).解：由已知，则有因此，29例5.设随机变量X和Y相互独立，且 XN(1,2), YN(0,1), 试求 Z

7、=2X-Y+3 的期望和方差。 由已知，有E(X)=1, D(X)=2, E(Y)=0, D(Y)=1, 且X和Y独立。因此，D(Z)= 4D(X)+D(Y) = 8+1=9.E(Z)= 2E(X) E(Y)+3 = 2+3=5, 解:注：由此可知 ZN（5,9）。30原因：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布. (课本第77页)一般地，31例4 已知X ,Y 相互独立，且都服从 N (0,0.5), 求 E( | X Y | ).解故32C. 一个不等式 定理 (切比雪夫(Chebyshev)不等式)：对随机变量X 和任意的 0，有下面介绍概率论中的一个基本不等式. 33证明: 设X为连续型, 密度函数为f(x), 则34例7. 在每次试验中，事件 A 发生的概率为 0.75, 利用切比雪夫不等式求：n 需要多么大时，才能使得在 n 次独立重复试验中, 事件 A 出现的频率在0.74 0.76之间的概率至少为0.90?解:设X 为n 次试验中事件A 出现的次数，的最小的n .则 XB(n, 0.75).而所求为满足于是，E(X)=0.75n, Var(X)=0.75*0.25n=0.1875n。 35 =P(-0.01nX-0.75n 0.01n) = P |X-E(X)| 0.01nP(0.74n X0.76n )可改写为 在切比雪夫不等