球的体积和表面积附答案x

1、球的体积和表面积（附答案）球的体积和表面积学习目标1.记准球的表面积和体积公式，会 计算球的表面积和体积.2.能解决与球有关的组 合体的计算问题.尹知识梳理自主学习知识点一球的体积公式与表面积公式1.球的体积公式V=4nR3（其中R为球的半径）.2.球的表面积公式S=4nR2.思考球有底面吗？球面能展开成平面图形 吗？ 答 球没有底面，球的表面不能展开成平面.知识点二球体的截面的特点1.球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆，它的三视图也都是圆.2.利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题 的主要途径.尹题型探究重忘突破题型一球的

2、表面积和体积例1 (1)已知球的表面积为64n，求它的体积；(2)已知球的体积为普，求它的表面积.解(1)设球的半径为，则4nR2=64n，解得R=4,44256所以球的体积V=3nR3=3n4=r_n. JJJ(2)设球的半径为R,则43=5*,解得R=5,1=1所以球的表面积S=4nR2=4nX52=100n.1=1跟踪训练1 一个球的表面积是16n,则它的体 积是(A.64n64n B.32nA.64n64n B.C.32n DyJ答案解析设球的半径为解析设球的半径为R,则由题意可知4nR2=16n,故R=2.所以球的半径为2,体积V=4kR332 3”.题型二球的截面问题 例2平面a截

3、球O的球面所得圆的半径为1.球心O到平面a的距离为%2,则此球的体积为 ()A. 6n B.4 3n C.4、6n D.6 3n答案B解析如图，设截面圆的圆心为O,M为截面圆上任一点，则 OO = 2, O M=1.；oM=、L1=o.即球的半径为寸3.4 一、一. V=3n（、3）3=4 伽.跟踪训练2已知长方体共顶点的三个侧面面积分别为，、声，15，则它的外接球表面积为.答案9n解析 如图，是过长方体的一条体对，角线AB的截面，设长方体有公共顶（上 点的三条棱的长分别为x, y, z,则由已知，胡=寸，X=,得成=志，解得，y=1,zx =y15,lz=5.所以球的半径 R=1AB=1X2

4、+y2+z2=3,所以 S =4nR2=9n. 球题型三球的组合体与三视图例3某个几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积和体积.正规图正规图惭网图解由三视图可知该几何体的下部是棱长为2 的正方体，上部是半径为1的半球，该几何体的 表面积为一 1S=, X4nX12+6X22nX12=24+n.2该几何体的体积为142nV=23+X nX13=8+ . 2 33跟踪训练3有三个球，第一个球内切于正方体， 第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过 这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之 比.解设正方体的棱长为必 正方体的内切球球心是正方体的中心, 切点是正方体六个面的中心, 经过四个切点

5、及球心作截面， 如图(1)所示，则有2r1=a,即 r1=2，所以 S1=4nr=rna2.(Il措)球与正方体的的各棱的切点在每条棱的中点,15!(Il措)球与正方体的的各棱的切点在每条棱的中点,15!过球心作正方体的对角面得截面, 如图(2)所示，则2r2=寸，即r=2a,所以 S2=4nr2=2na2.正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体 的对角面得截面，如图(3)所示，则有2r3= 3a，即r3=*，所以 S3=4nr3=3na2.综上可得 S1：S2：S3=1：2：3.解题技巧轴截面的应用例4有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个 正三角形，在容器内部放一个半径为r的铁球， 并注入

6、水，使水面没过铁球和球正好相切，然后 将球取出，求这时容器中水的深度.分析分别表示出取出铁球前后水的体积-由 水的体积不变建立等式f求出所求量.解如图，。0是球的最大截面，它内切于 ABC,球的半径为r.设将球取出后，水平面在MN处,MN与CD交于点瓦则DO=r, AD= r, AB=AC=BC=2 3r, :CD = 3r.由图形知V圆锥ce：V圆锥cdr1 .一3r1 .一3ME2- CEr j(1:3K-AD2-CD =CE3 : CD3.又V 圆锥 cd=；（ J3）23=3e45V=VV =3nr3 m= m,圆锥CE 圆锥CD 球O335nr3一 ， 、 一 3. . 3 : 3m

7、=CE3 : （3r）3, .CE= 15r.3.球从容器中取出后，水的深度为15r.毒当堂检测自查自纠直径为6的球的表面积和体积分别是（）*:二二若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径 等于（）A.1 B.1 C.2 D.32两个半径为1的实心铁球，熔化成一个球，这 个大球的半径是.若球的半径由R增加为2R，则这个球的体积变为原来的 倍，表面积变为原来的倍.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为贾课时精练、选择题设正方体的表面积为24,那么其外接球的体积 是（）a 4.Ae3a 4.Ae3n8nB3C.4 3nD.32 3一个正方体的八个顶点都在半径为1的球面 上，则正方体的表面积为（）A

8、.8B.8 2C.8 3D.4 2两个球的半径之比为1 : 3,那么两个球的表面 积之比为（）A.1 : 9B.1 : 27C.1 : 3D.1 : 1设正方体的表面积为24 cm2, 一个球内切于该 正方体，那么这个球的体积是（）A、6n cmA、6n cm3B. ncm34一 D.3 cm3若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为尸，R,则球的表面积为（）A.4n(r+R)2B.4nnR2C.4nRrD.n(R+r)C.4nRr已知底面边长为1,侧棱长为p2的正四棱柱的 各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）B.4nC.2n4_B.4nC.2n4_如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器

9、，容器高8 cm,将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰pq；J 好接触水面时测得水深为6 cm,如果不计容器 厚度，则球的体积为（） 500nf 866nA. 3 cm3B. 3 cm3八 1 372nc 2 048nC.3 cm3D.3 cm3二、填空题m3.个几何体的三视图（单位：m）如图所示，则 该几何体的体积为m3.9.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若9n球的体积为羊则正方体的棱长为210.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该 棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积是11.圆柱形容器内盛有高度为11.圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入IIIcm.三个相同的球（

10、球的半径与圆柱的底面半径相同） 后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的 半径是cm.三、解答题12.如图所示,半径为R的半圆内的阴影 部分以直径AB所在直线为轴，旋转一 周得到一几何体，求该几何体的表面 积.（其中 ZBAC=30）13.个高为16的圆锥内接于一个体积为972n 的球，在圆锥内又有一个内切球，求：圆锥的侧面积；(2)圆锥的内切球的体积.当堂检测答案解析球的半径为3,表面积S=4n32=36n,4 _体积V=3n33=36n.2.答案D解析 设球的半径为R,则4nR2=3R3,所以R =3.答案：244解析设大球的半径为R，则有3nR3 = 2X 3 JJnX13,R3=2

11、, :R= . 2.答案8 4解析球的半径为R时，球的体积为匕=4nR3, 表面积为S1=4nR2,半径增加为2R后，球的体积为 V2=4n(2R)3=32nR3，表面积为 S2=4n(2R)2=16nR2.所以S2 = ，S所以S2 = ，S16nR2 、kR2 =4,即体积变为原来的8倍，表面积变为原来的4倍.i；i答案3n解析由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的1和，即9 X4n+n=3n.2课时精练一、选择题1.答案C解析 由题意可知，如=24, .a=2.设正方体外接球的半径为R,则2.答案2.答案A解析.球的半径为1,且正方体内接于球, .

12、球的直径即为正方体的对角线，即正方体的对角线长为2.不妨设正方体的棱长为a,则有3a2即a即a2=4. 正方体的表面积为血2=6X3=8.答案A解析由表面积公式知，两球的表面积之比为叫：衣2=1 : 9.答案D 解析 由正方体的表面积为24 cm2,得正方体的棱长为2 cm,故这个球的直径为2cm,故这个球的体积为4n cm3.5.答案CE C解析方法一如图，设球的半径为 r1,则在 RtACDE 中，DE=2r, CE : =Rr,DC=R+r.由勾股定理得4 =(R+r)2(Rr)2,解得r1=Rr.故球的表面积 为 S 球=4n=4nRr.E C方法二如图，设球心为0,球的半径为，连 接

13、OA，08，则在RtAAOB中，OF是斜边AB 上的高.由相似三角形的性质得0F2=BFAF=Rr,即r=Rr, 故 r1=Rr，故球的表面积为S =4nRr.球6.答案D解析正四棱柱的底面边长为1,侧棱长为 寸2, 正四棱柱的体对角线的长为1干!2)2=2 .又.正四棱柱的顶点在同一球面上，二正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，.球的半径R=1.44故球的体积为V=3nR3=3”.解析 利用球的截面性质结合直角三角7.答案A解析 利用球的截面性质结合直角三角形求解.如图，作出球的一个截面，则MC=86=2(cm),BM=2AB=；X8=4(cm).设球的半径为 R cm,则 R2=OM2+M

14、B2=(R2)2+42,.R=5,4 500nW 球=353=,(皿3).二、填空题8.答案 9n+18解析将三视图还原为实物图后求解.31:1由三视图知，几何体下面是两个球，球半径为3； 21:1上面是长方体，其长、宽、高分别为6、3、1,427所以 V= nX .X2+1X3X6=9n+18. 389.答案、j3解析先求出球的半径，再根据正方体的体对角线等于球的直径求棱长.设正方体棱长为,球半径为R,则4nR3=9_3=2,上=2，3a=3, .“= 3.10.答案81 4 n解析由已知条件可知，球心在正四棱锥的高所四在的直线上.设球的半径为R,球心为O,正四棱 锥底面中心为,则OE=I4

15、-RI,所以(4R)29 ,+ (,2)2=R2，解得R=4.所以球的表面积S=81n4nR2=_.答案4解析设球的半径为r,则圆柱形容器的高为6r,容积为nr2X6r=6nr3,高度为8 cm的水4的体积为8nr2,3个球的体积和为3X3nr3=4nr3, 由题意得 6nr38nr2=4nr3，解得 r=4(cm).三、解答题解如图所示，AA过C作COAB于。 在半圆中可得 ZBCA = 90, ABAC=30, AB.AC=yl3R, BC=R, COi=2R, .S 球=4nR2,s=n23RX3R=3nR2,圆锥Aq侧“T&s=nX芸RXR=；nR2,圆锥BQ侧:S=S +几何体表球S圆锥妈侧3圆锥曾侧1nR223nR2=11-3nR故旋转所得几何体的表面积为11。3就解（1）如图作轴截面，则等腰三角形AB内接于。O, OO1内切于ABC.CE设。的半径为CE设。的半径为R,由题意，得 4nR3=972n,所以 R3