高一数学复习教案：42三角函数图像与性质

1、第五讲：三角函数图像及性质一、 核心要点 1、 正弦函数的图像与性质：正弦函数ysin 的图像与性质 xy图像-3 -2 -O23x定义域 值域 最小正周期性质对称性对称轴对称中心奇偶性单调性单调增区间 单调减区间2、 余弦函数的图像与性质：余弦函数ycos 的图像与性质 xy图像-5 /2-3 /2-/2O/23 /25 /2x定义域 值域 最小正周期性质对称性对称轴对称中心奇偶性单调性单调增区间 单调减区间打算了图像的周期,T2|；3、函数yAsinx的求解与图像变换：其中, A 叫做简谐振动的振幅,它打算了图像的最高点和最低点；|；x称为相位；x0时的相位称为初相 . （1） A 的确定

2、：依据图像的最高点和最低点,即A最高点-最低点2（2）的确定：结合图像,先求出周期T ,然后由T2|来确定；|（3）求：把图像上的一个已知点代入（此时A、必需已知）,或代入图像与 x 轴的交点；4、正切函数的图像与性质：正切函数 ytanx的图像与性质y图像-3 -2 -O23x定义域 值域性质最小正周期对称中心对称性奇偶性 单调性 单调增区间5、函数图像的变换规章：左加右减,上加下减；举例说明：由函数2ysinx的图像变换为y2sin x33的图像：2x期幅）；方法一：,xx32x3先相位变换,再周期变换,最终振幅变换（相ysinxysinx3ysin2x3y2sin2x3y2sin33方法

3、二：x2x2x3先周期变换,再相位变换,最终振幅变换；2sin2x33ysinxysinxysin2x6sin2x3y2sin2 x3y二、考点突破 考点一：三角函数的图像 题型 1：三角函数的图像变换例 1、为了得到函数ysin2x3的图象,只需把函数ysin2 x的图象上全部的点（sin）3A向左平行移动3个单位长度B向右平行移动3个单位长度）C向左平行移动6个单位长度D向右平行移动6个单位长度练 1：将函数y2sin2x6的图象向右平移 4 1 个周期后,所得图象对应的函数为（Ay2sin2x4By2sin2x3Cy2sin2x4Dy22x练 2：为得到函数y2sin2x4的图象,只需将

4、函数y2cos2x的图象（）A向左平移4单位B向右平移4单位C向左平移8单位D向右平移8单位）练 3：为了得到函数ysin2x1xR 的图像,只要将ysinx xR 的图像全部的点（3A向左平移3个单位长度,再把所得点的横坐标缩短到原先的1 倍,纵坐标不变；2B向左平移3个单位长度,再把所得点的横坐标伸长到原先的2 倍,纵坐标不变；C向左平移6个单位长度,再把所得点的横坐标缩短到原先的1 倍,纵坐标不变；2D向左平移6个单位长度,再把所得点的横坐标伸长到原先的2 倍,纵坐标不变；例 2：将函数fxcosx的图象向右平移6个单位,得到函数ygx的图象,就g2练 4：将函数fxsin2x的图象向左

5、平移8个单位,所得到的函数图象关于y 轴对称,就的一个可能取值为（）A3B4C 0D44练 5：将函数ysin2x6图象向左平移 4 个单位,所得函数图象的一条对称轴的方程是（Ax12Bx6Cx3Dx12题型 2：依据三角函数图像求函数解析式例 1：已知某函数部分图像如下列图,它的函数解析式可能是（）Aysin2x6Bysin2x6Cycos 2x3Dycos 2x6练 1：函数yAsinxA0,0 ,0的图象的一部分如下列图,就此函数的解析式为（）Ay3sin4x4By3sin4x34Cy3sin2x4Dy3sin2x34练 2：函数fxAsinxA0,0的部分图象如下列图,就f x 的解析

6、式可以为（Afx3sin2x4Bfx3sin2x4Cfx3sin1x3Dfx3sin1x32424练 3：函数yAsinxA0,0 |,|2的部分图象如图,就其解析式为考点二：三角函数的奇偶性、对称性和周期性规律 1：一般来说,某一周期函数加肯定值或平方,其周期性是：弦减半、切不变. 如ysin2x,y|sinx|的周期都是,y|tanx|的周期不变 . 规律 2：三角函数奇偶性常见结论（1）如yAsinx为偶函数,就有k2kZ；如为奇函数就有kk2kZ；（2）如yAcos x为偶函数,就有kkZ；如为奇函数就有kZ；yAtanx为奇函数,就有kkZ. （3）如题型 1：判定函数的奇偶性例 1

7、、如函数 f x sin 2x 0 是 R 上的偶函数,就 = 练 1：如函数 f x sin x 是偶函数,就 的一个值是（）A0 B 2 CD 2练 2：函数 f x A sin x A 0 在 x 处取得最小值,就（）3Af x 是奇函数 Bf x 是偶函数3 3Cf x 是奇函数 Df x 是偶函数3 3练 3：已知函数 f x 2 3 sin 3 x 0 ,如 f x 是周期为 2 的偶函数,就 的一个可能3值是（）4 7 5A3 B 6 CD6练 4：函数 f x x sin x , x R 是（）2A奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数 D既是奇函数又是偶函数2练 5：如 f x 是

8、定义在 R 上的奇函数,当 x 0 时,f x x sin x,求 f x 的解析式 . 题型 2：三角函数的对称性和周期性 1 当 x 0 k2 k Z ,即 sin x 0 1 时,y sin x 的对称轴为 x x 0；当 x 0 k k Z ,即 sin x 0 0 时,y sin x 的对称中心为 x 0,.规律：当 x 0 k k Z ,即 cos x 0 1 时,y cos x 的对称轴为 x x 0； 2 当 x 0 k k Z ,即 cos x 0 0 时,y cos x 对称中心为 x 0,.2总结：弦取最值得对称轴,弦取零值得对称中心 . 例 1、函数 f x sin 2

9、x 的图象（）65A关于直线 x 对称 B关于直线 x 对称12 12C关于点 , 0 对称 D关于点 5 , 0 对称12 12练 1：如函数 f x sin 2x 0 的图象关于直线 x 对称,就 的值为（）6ABCD26 4 3 3练 2：已知函数 y sin x 0 |, |2 的最小正周期为 4,且 f 3 1,就 f x 的一个对称中心坐标是（）2 2 5A , 0 B , 0 C , 0 D , 0 3 3 3 3练 3：如函数 f x 2 sin 4 x 0 的图象关于直线 x 对称,就 的最大值为（）245 2 5ABCD3 3 6 6练 4：函数 f x A sin x b

10、 0 |, | 的图象如下,就 f 0 f 1 f 2 f 2022 2A 504 B 1008 C 2022 D 2022练 5：以下函数中,最小正周期为,且图象关于 y 轴对称的函数是（）Ay cos 2x By | sin x | Cy sin 2 x Dy sin 2 x cos 2 x2 4练 6：已知函数 y cos x 0 x 2 的图象和直线 y 3 围成一个封闭的平面图形, 就其面积为例 2、函数 f x sin x 的周期为,就 = 2 S 63练 7：以下函数中,最小正周期为 的是（）Ay cos 4 x By sin 2 x Cy sin x Dy cos x2 4练

11、8：以下函数中,最小正周期为 2的是（）Ay sin x Bsin x cos x Cy tan xDy cos 4 x2练 9：设函数 f x sin 2 x,x R,就 f x 是（）2A最小正周期为的奇函数B最小正周期为的偶函数C最小正周期为的奇函数D最小正周期为的偶函数考点三：三角函数的单调性和值域及最值问题规律 1：对于函数fxAsinxA0 ,0,当22kx22 kkZ时,fx单调递增；当22kx32 kkZ时,fx单调递减 . 2 kkZ时,2对于函数fxAcosxA0,0,当2 kco sxfx单调递增；当2kcosx2kkZ时,fx单调递增 . 1 当x22kkZ时,函数ys

12、inx取最大值1；2 kkZ时,函数ysinx取最小值-1 .当x2kZ时,函数ycosx取最大值1；2当x2 k当x2 kkZ时,函数ycosx取最小值-1.kZ4,x0 ,的单调递减区间为8,5例 1、函数y3sin2x8练 1：函数ysin2x4的单调递减区间是.k3,k788练 2：函数y3sin x62的单调递减区间是.3k,5kkZ）6练 3：己知x03是函数fxsin2x的一个最大值点, 就fx的一个单调递减区间是 （A6,2B3,5C 2,D2 3,36练 4：如函数fx3sin2x0 x是偶函数,就fx在0 ,上的递增区间是（）A0,2B2,C4,2D3,4例 2、函数fxs

13、in2x6的单调递减区间是.k6,k3kZ练 5：函数fxsin2x3的单调增区间为,单调减区间为4答案：k5,k9kZk8,k5kZ888练 6：以下函数中,周期为,且在 4,2上为减函数的是（）xy2 x A.ysin2x2B.ycos2x2C.ysin1x2D.ycos122练 7：函数 f （x）=fx2cos2x4的单调增区间为k3,k8kZg8练 8：已知函数fxsinx40的最小正周期为,将其图象向左平移4个单位,得到函数的图象,就函数ygx 的单调递增区间是（）A52 k,82k,kZB32 k,82k,kZ88C3k,8k,kZD5k,8k,kZ88练 9：函数y|sinx|

14、的一个单调递增区间是（）A 2,B, 2C,3D0,2练 10：已知函数fx sinx30 在4,2上是减函数,就的取值范畴2,733练 11：设函数fxtan2x3,就f x的定义域为,单调递增区间为；答案：x|x12k,kZ2考点四：三角函数的图像与性质的综合应用例 1、已知函数fx cos 2x4,xRfx（1）求函数fx的最小正周期；（2）求函数f x 的单调递减区间；（3）函数fx的图象是由函数ycosx4的图象经过怎样变换得到的？解：（1）函数fxcos 2x4,xR的最小正周期T22（2）由2k2x42k,求得k8xk3,8可得函数fx的单调递减区间为k8 k38（3）将函数yc

15、osx4图象上各点的横坐标缩短为原先的1 倍（纵坐标不变） 得到函数 2的图象练 1：已知fxsin2x63,xRf x 的单调减区间；2（1）求函数fx的最小正周期；（2）求函数R的图象经过怎样变换得到？（3）函数fx的图象可以由函数ysin2xx3 2解：（1）对于 f x sin 2 x , x R,它的周期为 T6 2 2（2）由 2 k 2 x 2 k 3 , k Z,得 k x k 2, k Z,所以所求的单调减2 6 2 6 32区间为 k , k , k Z6 3（3）把 y sin 2 x 的图象上全部点向左平移 12个单位,可得 y sin 2x6 的图象；再向上平移 2

16、3 个3单位,即得函数 f x sin 2 x 的图象6 2例 2：已知函数 y sin 2x4 ,求：（1）求 A、的值；（2）求 x 0 ,2 的值域解：（1）函数 y sin 2x 中,振幅 A 1、2、；4 45 2 2（2）当 x 0 , 时,2x , ,sin 2x , 1 ,即 f x 的值域是 , 1 2 4 4 4 4 2 2练 2：已知 y 2 sin 3 x 2（1）判定 f x 奇偶性；（2）求出 f x 的最小正周期；（3）求出 f 0 f f f 值6 3 22解（1）f x 2 sin 3 x 2 cos 3f x 是偶函数（2）f x 的最小正周期 T2 3（3

17、）f 0 2 cos 0 2 , f 0 , f 2 , f 0f 0 f f f =06 3 2 6 3 2练 3：已知函数 f x 2 sin 3 x , x R3（1）求 f x 的最小正周期,单调减区间； （2）如 x 0 , ,求 f x 的值域2解：（1）f x 2 sin 3 x ,函数解析式中 3,函数的最小正周期 T 2 2,3 3令 2 k 3 x 2 k 3, k Z,解得：2 k 5x 2 k 11, k Z,2 3 2 3 18 3 18函数 f x 单调减区间为： 2 k 5, 2 k 11, k Z3 18 3 187（2）x 0 , ,3x , ,2 3 3 6

18、f x 2 sin 3 x3 3 , 2 ,即 f x 的值域为 3 , 2 练 4：已知函数 f x 2 sin 2 x 3（1）求 f x 的最小正周期；（2）求 f x 的最小值及取最小值时相应的 x 值；（3）求函数 f x 的单调递增区间解：（1）f x 2 sin 2 x ,T 2,即函数 f x 的最小正周期是3 2（2）令 t 2x3,使函数 f t 2 sin t , t R 取得最小值的 t 的集合是 t | t2 2 k , k Z 由 2 x 2 k,求得 x k 5, k Z3 2 125因此函数 f x 2 sin 2 x3 的最小值为2,此时 x 的取值集合是 x | x k12 , k Z 5（3）由 2 k 2 x 2 k , k Z,求得 k x k , k Z2 3