高三数学第二轮复习教案

1、名师精编 优秀教案高三数学其次轮复习教案第 2 讲 数列问题的题型与方法一、考试内容数列； 等差数列及其通项公式,等差数列前n 项和公式； 等比数列及其通项公式,等比数列前 n 项和公式；二、考试要求1懂得数列的概念,明白数列通项公式的意义,明白递推公式是给出数列的一种方法,并能依据递推公式写出数列的前几项；2懂得等差数列的概念,把握等差数列的通项公式与前n 项和公式, 并能运用公式解答简洁的问题；把握等比数列的通项公式与前n 项和公式, 并能运用公式解决3懂得等比数列的概念,简洁的问题；三、复习目标1 能敏捷地运用等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前 2能娴熟地求一些特别数列的通项和

2、前 n 项的和；n 项和公式解题；3使同学系统把握解等差数列与等比数列综合题的规律,深化数学思想方法在解题实 践中的指导作用,敏捷地运用数列学问和方法解决数学和实际生活中的有关问题；4通过解决探干脆问题,进一步培育同学阅读懂得和创新才能,综合运用数学思想方 法分析问题与解决问题的才能5在解综合题的实践中加深对基础学问、基本技能和基本数学思想方法的熟悉,沟通 各类学问的联系,形成更完整的学问网络,提高分析问题和解决问题的才能6培育同学善于分析题意,富于联想,以适应新的背景,新的设问方式,提高同学用 函数的思想、 方程的思想争论数列问题的自觉性、培育同学主动探究的精神和科学理性的思维方法四、双基透

3、视1 可以列表复习等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质 . 2判定和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：1定义法： 对于 n2 的任意自然数, 验证anan1an/an1为同一常数；2通项公式法：如 = +（n-1 ）d= +（n-k ）d ,就 a n 为等差数列；如,就 a n 为等比数列；3 中项公式法 ：验证 都成立；3. 在等差数列 a n 中, 有关 Sn 的最值问题常用邻项变号法求解：1 当 0,d0 时,满意 的项数 m使得 取最大值 . 2 当 0 时,满意 的项数 m使得 取最小值；在解含肯定值的数列最值问题时 , 留意转化思想的应用；名师精编 优秀教案4. 数列求

4、和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等；五、留意事项1证明数列a n是等差或等比数列常用定义,即通过证明an1a nana n1或a nn1a n1而得；aa n是常用的方法,但有时敏捷2在解决等差数列或等比数列的相关问题时,“ 基本量法”地运用性质,可使运算简便；3对于一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解；4留意一些特别数列的求和方法；5留意ns 与a 之间关系的转化；如：a 1kn2aka k1a = s 1,s n1,n1,a =s nn26数列极限的综合题形式多样,解题思路敏捷,但万变不离其宗,就是离不开数列极 限的概念和性质,离不开数学思想方法,只要能把握这两

5、方面,就会快速打通解题思路7解综合题的成败在于审清题目,弄懂来龙去脉,透过给定信息的表象,抓住问题的 本质,揭示问题的内在联系和隐含条件,明确解题方向,形成解题策略8通过解题后的反思,找准自己的问题,总结胜利的体会,吸取失败的教训,增强解 综合题的信心和士气,提高分析问题和解决问题的才能数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础,所以在高考中占有重要的地位；高考对本章的考查比较全面,等差数列,等比数列的考查每年都不会遗漏；解答题多 为中等以上难度的试题,突出考查考生的思维才能,解决问题的才能,试题大多有较好的区分度；有关数列的试题常常是综合题,常常把数列学问和指数函数、对数函数和不等式

6、的学问综合起来,试题也常把等差数列、等比数列,求极限和数学归纳法综合在一起；探干脆问题是高考的热点,常在数列解答题中显现；本章中仍包蕴着丰富的数学思想,在主 观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类争论等重要思想,以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法；应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化,常需构造数 列模型,将现实问题转化为数学问题来解决；六、范例分析例 1已知数列 a n 是公差 d 0 的等差数列,其前 n 项和为 S n2过点 Q 1 1,a1 ,Q 2 2,a 2 作直线 12,设 l 1与 l2的夹角为 ,证明： 1由于等差数列 a n 的公差 d 0,所以Kp 1 p

7、 k是常数 k=2 ,3, , n2直线 l 2的方程为 y-a1=dx-1 ,直线 l 2的斜率为 d例 2已知数列a n中,名师精编优秀教案4 a n2n1,2,a 11,S 是其前 n 项和,并且S n1设数列b nan12 ann,1 2 ,求证：数列b n是等比数列；n2设数列c nan,n,1 ,2,求证：数列cn是等差数列；2n求数列a n的通项公式及前n 项和；分析 ：由于 b n 和c n 中的项都和 a n 中的项有关, a n 中又有 Sn1=4a n +2,可由 Sn1-Sn1作切入点探究解题的途径解：1由 Sn1=4an2,Sn2=4an1+2,两式相减, 得 Sn2

8、-Sn1=4an1-a n ,即 an2=4a-4a n依据 bn的构造,如何把该式表示成bn1与 b n 的关系是证明的关键,留意加强恒等变形才能的训练 an2-2an1=2an1-2a n ,又 b n =an1-2a n,所以 bn1=2b n已知 S 2 =4a 1+2,a1 =1,a 1+a 2 =4a 1 +2,解得 a 2 =5,b 1 =a 2 -2a 1=3由和得,数列b n 是首项为 3,公比为 2 的等比数列,故b n =32n1当 n2 时, S n =4an1+2=2n13n-4+2 ；当 n=1 时, S1 =a 1 =1 也适合上式n 1综上可知,所求的求和公式为

9、 S n =2 3n-4+2 说明： 1本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差,等比数列,求数列通项与前n项和；解决此题的关键在于由条件 S n 1 4 a n 2 得出递推公式；2解综合题要总揽全局,特别要留意上一问的结论可作为下面论证的已知条件,在后面求解的过程中适时应用例 3已知数列 a n 是首项 a10,q-1 且 q 0 的等比数列,设数列 b n 的通项 b n =a n 1-ka n 2 nN,数列 a n 、b n 的前 n 项和分别为 S n, Tn假如 TnkSn对一切自然数 n 都成立,求实数 k 的取值范畴分析 ：由探寻 T n 和 S n 的关系入手谋

10、求解题思路；名师精编优秀教案n 都成立解： 由于 a n 是首项 a10,公比 q-1 且 q 0 的等比数列,故a n 1 =a nq,a n 2 =a nq 2 所以 b n =a n 1-ka n 2 =a n q-kq 2 T n =b 1+b 2 + +b n =a 1 +a 2 + +a n q-kq 2 =S n q-kq 2 依题意,由 T n kS n ,得 S n q-kq 2 kS n ,对一切自然数当 q0 时,由 a10,知 a n 0,所以 S n 0；当-1q0 时,由于 a10, 1-q0,1-q n 0,所以 S n =综合上面两种情形,当q-1 且 q 0

11、时, S n 0 总成立由式可得q-kq2k,例 42022 年全国理 从社会效益和经济效益动身,某地投入资金进行生态环境建设,并以此进展旅行产业 . 依据规划,本年度投入 800 万元,以后每年投入将比上年削减 1 . 本年度5当地旅行业收入估量为 400 万元,由于该项建设对旅行业的促进作用,估量今后的旅行业收入每年会比上年增加 1； 设 n 年内 本年度为第一年 总投入为 an万元,旅行业总收入4为 bn 万元 . 写出 an,bn 的表达式 至少经过几年旅行业的总收入才能超过总投入 . 解析： 第 1 年投入 800 万元,第 2 年投入 800 （ 1-）万元 ,第 n 年投入 80

12、0 （ 1）n1 万元）n所以总投入an800800（1） 800 （1）n 140001（同理：第1 年收入 400 万元,第2 年收入 400 （ 1）万元, ,第 n 年收入 400 （ 1）n1 万元bn400400 （ 1） 400 （1）n11600 （）n12 bnan0,1600（）n14000 1（）n 0化简得, 5 （）n2 （）n 70设 x（）n,5x 2 7x20名师精编优秀教案即（）n,n5.x,x1（舍 说明： 此题主要考查建立函数关系式,数列求和,不等式等基础学问,考查综合运用数学知识解决实际问题的才能；解数学问题应用题重点在过好三关：（1）事理关：阅读懂得,

13、知道命题所表达的内容；（2）文理关：将“ 问题情形” 中的文字语言转化为符号语言,用数学关系式表述大事；（3）数理关：由题意建立相关的数学模型,将实际问题数学化,并解答这一数学模型,得出符合实际意义的解答；例 5设实数a0,数列a n是首项为 a ,公比为a 的等比数列,记n anlg|a|b nan1 g|a n|nN*,S nb 1b 2b n,求证：当a1时,对任意自然数n 都有S =alga11 n1 1nna 1a2解：ana 1qn1aan11 n1an；n1nab nanlg|an|1 n1anlg|1n1an|1 n1nanlg|a|S nalg|a|2a2lg|a|3a3lg

14、|a|1 n2n1 an1lg|a|1a2 a23 a31n2n1 an11 n1nanlg|a|记Sa2 a23 3 a1n2n1an11n1nanasa22 a31 n3 n2 an11 n2n1an1n1nan1+得 1a sa2 aa31n2an11 n2an1n1nan1a1,1a San 11n a1n 11n an11 1a Sa1 n1an1 1a1 n1nan11a2Sa 1nna1n1an1a 11nna1 n1an1a21a2S nalg|a|11 n1 1nnaan1a 2说明 ：本例主要复习利用错位相减解决差比数列的求和问题；关键是先争论通项,确定Cna nb n,a

15、 n是等差数列,b n等比数列；解法一 ：设等差数列 a n 的首项 a 1=a,公差为 d,就其通项为名师精编 优秀教案依据等比数列的定义知 S 5 0,由此可得一步加工,有下面的解法 解法二：依题意,得例 7设二次方程a x2 -a +1x+1=0n N 有两根 和 ,且满意 6 -2 +6 =31试用a 表示 an1；例 8在直角坐标平面上有一点列P 1名师精编P 2优秀教案,P nx n,yn,对一切正整数 n ,x 1,y 1,x 2,y 2点 P 位于函数 n y 3x 13的图象上, 且 P 的横坐标构成以 n 5 为首项,1为公差的等差4 2数列 x n；求点 P 的坐标；n设

16、抛物线列 c 1 , c 2 , c 3 , , c n , 中的每一条的对称轴都垂直于 x 轴,第 n 条抛物线 c n的顶点为 P ,且过点 Dn ,0 n 21,记与抛物线 nc 相切于 D 的直线的斜率为 k ,求：1 1 1；k 1 k 2 k 2 k 3 k nk n设 S x | x 2 x n , n N , n 1 , T y | y 4 y n , n 1,等差数列 a n 的任一项an S T,其中 a 是 S T 中的最大数,265 a 10 125,求 a n 的通项公式；5 3解：（1）x n n 1 1 n2 213 5 3 5y n 3 x n 3 n , P n n , 3 n 4 4 2 4（2）c 的对称轴垂直于 x 轴,且顶点为 P . 设 c 的方程为：y a x 2 n 3 2 12 n 5,2 4把 Dn ,0 n 21 代入上式,得 a 1,c 的方程为：y x 2 2 n 3 x n 21；kny|x02n3,kn1kn名师精编2优秀教案121113112 n1 n3 2n2 n