国开《复变函数》形考任务(1-8)试题及答案形成性考核00421

1、国开形成性考核复变函数形考任务(1-8)试题及答案 ID：00421，整套相同，如遇顺序不同，Ctrl+F 形考任务 1一、单项选择题题目：1、若z =（a，b），z =（c，d），则 z z =。121 2【A】：（ac+bd，a）【B】：（ac-bd，b）【C】：（ac-bd，bd+ad）【D】：（ac+bd，bd-ad）题目：2、若R0，则N（，R）=z：（D）【A】：丨 Z丨R【B】：0丨 Z 【C】：RR题目：3、若z=x+iy，则 y=（D）。【A】：【B】：【C】：【D】：题目：4、若【A】：3【B】：0【C】：1【D】：2，则丨A丨=（C）。二、填空题（如果通过附件上传答案，请

2、在答题输入框中，输入“见附件”字样）题目：5、若z=x+iy，w=z =u+iv，则 v=（2xy）.2题目：6、复平面上满足 Rez=4 的点集为（z=x+iy|x=4）题目：7、（设E 为点集，若它是开集，且是连通的，则E）称为区域。题目：8、设 z0 为极限的充分必要条件是= ）且=（y ）。00中，输入“见附件”字样）题目：9、求复数 -1-i 的实部、虚部、模与主辐角.解：Re(-1-i)=-1 Im(-1-i)=-1( ( 21i在第三象限1 5ary(i) arctan|1 4题目：10、写出复数 -i 的三角式.解：题目：11、写出复数的代数式.解：题目：12、求根式的值.解：

3、四、证明题(要求写出解题过程，如果通过附件上传答案，请在答题输入框中，输入“见附件”字样)题目：13、证明：若，则 a +b =1.22解：而题目：14、证明：解：形考任务 2一、单项选择题题目：1、若 -y +2xyi，则=（D）。22【A】：2x【B】：2y【C】：2x+2yi【D】：2x-2y-2yi题目：2、若 f（z）=u（x，y）+iv（x，y），则柯西黎曼条件为（D）。【A】：【B】：【C】：【D】：题目：3、若f（z）=z+1，则 f（z）在复平面上（D）。【A】：仅在点 z=0 解析【B】：在z=0 不解析且在z0 解析【C】：无处解析【D】：处处解析题目： 在复平面上（C）

4、。【A】：解析【B】：不连续【C】：连续【D】：可导二、填空题(如果通过附件上传答案，请在答题输入框中，输入“见附件”字样)题目：5、若f（z）在点a（不解析），则称a为f（z）的奇点.题目：6、若f（z）在点z=1的（领域可导），则f（z）在点z=1题目：7、若f（z）=z2+2z+1，则f(z)=（2z+2）.题目：8、若，则f(1)=（不存在）.三、计算题(要求写出解题过程，如果通过附件上传答案，请在答题输入框 。解：=题目：10、设f（z）=excos y + iexsin f(z)。解：f(z)=ecosy+iesiny=e,z=x+iyxxzu=ecosy v=esinyxxf(z

5、)=u+ivf(z)在复平面解析，且f(z)=ecosy+iesinyxx题目：11、设 f（z）=u+iv 在区域 G 内为解析函数，且满足 u=x3-3xy2，f（i）=0，试求 解：解：依C-R条件有Vy=ux=3x-3y22则V（x1y）=3x2y-y3+c(c为常数)故f(z)=x -3xy+i(3x y-y+c)=x -3xy+i(cx y-y)+ic32233223=z+ic，为使f(i)=0, 当x=0,y=1时，3f(i)=0, 有f(0)=-i+ic=0c=1f(z)=Z+i3题目：12、设 在区域G 内为解析函数，且满足f（2）=-i，试求 f（z）。解：依C-R条件有V

6、y=ux=2yV=2ydy=y2+(x)Vx=(x)=-uy=-2x+z(x)=(-2x+2)dx=-x+2x+c2V=y-x +2x+c(c为常数)22f(z)=2(x-1)y+i(y-x +2x+c)22为使f(z)=-i,当x=2 y=0时,f(2)=ci=-ic=-1f(z)=2(x-1)y+i(y-x +2x-1)22=-(z-1) i2四、证明题(要求写出解题过程，如果通过附件上传答案，请在答题输入框中，输入“见附件”字样)题目：13、试在复平面讨论解：令f(z)=u+iv z=x+iy则iz=i(x+iy)=-y+ixu=-y的解析性。v=x于是ux=0uy=-1Vx=1Vy=0

7、ux、uy、vx在复平面内处处连接又Ux=VyUy=-Vx。f(z)=iz在复平面解析。题目： G f(z)=0，zG，则 f（z）在G 内为常数。解：证：设f(z)=u+iv,z=x+iy,zGf(z)在G内解析，Ux=Vy, Uy=-Vx又 （z）=0,（z）=Ux+iVxUx=0Vx=0Uy=-Vx=0Ux=Vy=0U为实常数C1，V也为实常数C2，f(z)=C1+iC2=Z0f(z)在G内为常数。形考任务3一、单项选择题题目：1、z=是根式函数【A】：i的支点。【B】：1【C】：0【D】：题目：2、z=（A）是函数【A】：0的支点【B】：i【C】：2i【D】：-1题目：3、e=。i【A

8、】：sin1【B】：cos1+ i sin1【C】：e +e【D】：cos1题目：4、sin1=（D）。【A】：【B】：【C】：【D】：二、填空题(如果通过附件上传答案，请在答题输入框中，输入“见附件”字样)题目：5、cosi=（）。题目：6、 =（e(cos1+isin1)）。题目：7、lni=（ ）。题目：8、Ln(1+i)=（k为整数）。三、计算题(要求写出解题过程，如果通过附件上传答案，请在答题输入框中，输入“见附件”字样)题目：9、设z=x+iy，计算解：题目：10、设z=x+iy，计算解：题目：11、求方程2 Inz = i的解。解： lnz =i/2 由对数函数的定义有: 所给方

9、程的解为z = i题目：12、求方程的解。解：=根据指数函数的定义有:z=n2+i 或z=n(1+ )四、证明题(要求写出解题过程，如果通过附件上传答案，请在答题输入框中，输入“见附件”字样)题目：13、试证：sin 2z = 2 sin zcos 解：证明：根据正弦函数及余弦正数定义有：Sin2z=2sinzcosz= sin2z=2sinzcosz题目：14、证明：解：证明: 令 A= 1+cosx+cos2x+cosnxB=sinx+sin2x+sinnx=形考任务 4一、单项选择题题目：1、【A】：1【B】：2i【C】：0=（D），c为起点在0，终点在1+i 的直线段。【D】：2（1+

10、i）题目：2、【A】：10 i【B】：0=（A）。【C】：10i【D】：i题目：3、=（A）。【A】：0【B】：【C】：-1【D】：i题目：4、=（B）。【A】：2i【B】：【C】：4i【D】：-2i二、填空题(如果通过附件上传答案，请在答题输入框中，输入“见附件”字样)题目： c（ f(z)dz+0 g(z)dz）。0题目：6、=（7）。题目： L为曲线c c c上满足丨丨M，则（ML）。题目：8、=（）。三、计算题(要求写出解题过程，如果通过附件上传答案，请在答题输入框中，输入“见附件”字样)题目：9、将函数在点 z=0 展成幂级数解：题目：10、将函数在点z=1 展成幂级数解：题目：11

11、、将函数在点z=0 展成幂级数在点z=1展成幂级数解：题目：12、将函数解：四、证明题(要求写出解题过程，如果通过附件上传答案，请在答题输入框中，输入“见附件”字样)题目：13、证明：解：令，则一级极点。在上半平面的奇点只有一个z=ai，且ai为 等式左边=等式得证。=0=等式右边题目：14、证明：解：形考任务 5一、单项选择题题目：1、幂级数【A】：3的收敛半径等于。【B】：0【C】：1【D】：2题目：2、点z=-1是f（z）= 5z2 +10z +5（B）级零点。【A】：5【B】：2【C】：3【D】：1题目：3、级数的收敛圆为（B）。【A】：丨z丨1 错【B】：丨z-1丨1【C】：丨z丨3

12、【D】：丨 z-1丨3题目：4、设 f（z）在点 a 解析，点 b 是 f(z)的奇点中离点 a 最近的奇点，于是，使成立的收敛圆的半径等于（B）。【A】：b-a+1【B】：丨a-b 丨【C】：丨a+b丨【D】：a+b+1二、填空题(如果通过附件上传答案，请在答题输入框中，输入“见附件”字样)题目：5、级数的收敛圆为（R=+,即整个复平面）。题目：6、若 为常数），则f（z）的（1）级零点。题目：7、幂级数的收敛半径等于。题目：8、z=0是 f（z）=ez-1（1）级零点。三、计算题(要求写出解题过程，如果通过附件上传答案，请在答题输入框中，输入“见附件”字样)题目：9、将函数在点 z=0展成

13、幂级数解：f(z)=题目：10、将函数在点z=0 展成幂级数解：=题目：11、将函数在点z=1 展成幂级数解：f(z)=(z+2) =题目：12、将函数解：在点z=1展成幂级数f(z)=e f =ezz=四、证明题(要求写出解题过程，如果通过附件上传答案，请在答题输入框中，输入“见附件”字样)题目：13、证明：解：证：e =cosz+isinzize =cos-isinz-ize -e =2isinziz-iz-2isinz=-( e -e ) = e -eiz-iziz-iz-2isinz e =( e - e ) eiz-iziziz=e- e =1- e0题目：14、试用解析函数的唯一性

14、定理证明等式：cos2z = cos2z - sin2z解：证f(z)=cos2z,则f1(z)复平面G解析1设f(z)coszsin ，则f(z)也在整个复平面G解析222取E=K为实数轴,则E在G内有聚点.当E为实数时,知cos2z=cosz-sin z,即f(z)= f(z)2212由解析函数唯一性定理,由以上三条知f(z)= f(z) ZG成立ZG12即cos2z= cosz-sinz22形考任务6一、单项选择题1、函数在点 z=2 内可展成罗朗级数。【A】：0丨z-2丨1【B】：0丨z-1【C】：0丨z丨3【D】：1丨z-1丨3题目： a为的（B）。点a为【A】：解析点【B】：可去奇

15、点【C】：极点【D】：本性奇点3、若点a为函数f（z）的孤立奇点，则点a 为 f（z）的极点的充分必要条件是（D）。【A】：【B】：【C】：【D】：4、若点a为函数f（z）的孤立奇点，则点a 为 f（z）的本性奇点的充分必要条件是（C）。【A】：【B】：【C】：【D】：二、填空题(如果通过附件上传答案，请在答题输入框中，输入“见附件”字样)题目：为函数 a（）为该级数的主要部分。题目： 6、设点 a 为函数 f（z）的奇点，若 f（z）在点 a 的某个（某个去心邻域内解析） a 为f（z）的孤立奇点题目：7、若题目：8、若，则点z=0 为 （0）级极点。，则点z=0 为 （非孤立）奇点。三、计

16、算题(要求写出解题过程，如果通过附件上传答案，请在答题输入框中，输入“见附件”字样)题目：9、将函数f（z）=（z-2）-1在点z=0的去心邻域展成罗朗级数。解：f(z)=题目：10、将函数在点z=1的去心邻域展成罗朗级数。解：f(z)=题目：11、试求函数f（z）=z z 的有限奇点，并判定奇点的类别。3解：解析,无奇点,f(z)的有限奇点为z=0.并且为3阶极点.题目：12、试求函数 f（z）=z(1-z2)-1 的有限奇点，并判定奇点的类别。解：f(z)的 m 阶奇点即的阶零点,而零点为z=0，z=1，z=-1，且均为1阶零点。的有限奇点为z=0，z=1,z=-1且均为1阶极点.四、证明

17、题(要求写出解题过程，如果通过附件上传答案，请在答题输入框中，输入“见附件”字样)题目：13、设，试证z=0为f（z）的本性奇点。解：题目：14、设，试证 z=0 为 f（z）的6 级极点。解：证:要证 z=0 为 f(z)的 6 级极点,只需证 z=0 为即可.的 6 阶零点而=8z3=8z6令1（ ）则0 0z 0 为 f(z)的 6 阶零点z=0 为 f(z)的 6 级极点.形考任务 7一、单选题题目：1、若【A】：0 x【B】：3，则Res（f，1）=。【C】：2【D】：1题目：2、若【A】：-1x【B】：i，则=（C）【C】：0【D】：4题目：3、若【A】：ix【B】：-i【C】：0，则=（C）。【D】：1/4题目：4、若点a为f（z）的可去奇点，则Res（f，a）=（D）。【A】：-1/2x【B】：i【C】：1/2【D】：0二、填空题(如果通过附件上传答案，请在答题输入框中，输入“见附件”字样)题目： a为 （。题目：6、若点a为f（z）的可去奇点，则Res（f，a）=（0）。题目：7、若f（z）=5z + 6z + 16z + 2，则f（z）在