2021届步步高数学大一轮复习讲义(文科)第四章-4.6解三角形

1、2021届步步高数学大一轮复习讲义(文科)第四章-42021届步步高数学大一轮复习讲义(文科)第四章-4最新考纲以利用正弦、余弦定理解三角形为主，常与三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查，加强数形结合思想的应用意识.题型多样，中档难度.考情考向分析1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的 实际问题.最新考纲以利用正弦、余弦定理解三角形为主，常与三角恒等变换、基础落实回扣基础知识训练基础题目题型突破典题深度剖析重点多维探究课时精练内容索引INDEX基础落实回扣基础知识训练基础题目题型突破典题深度剖析

2、重点回扣基础知识训练基础题目基础落实回扣基础知识训练基础题目基础落实1.正弦定理、余弦定理知识梳理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容(2)a2 ；b2 ；c2_b2c22bccos Ac2a22cacos Ba2b22abcos C1.正弦定理、余弦定理知识梳理在ABC中，若角A，B，C所变形(3)a2Rsin A，b ，c ；(5)abc ；(6)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin A(7)cos A ；cos B ；cos C_sin Asin Bsin C2Rsin B2Rsin C变

3、形(3)a2Rsin A，(7)cos A 2.三角形常用面积公式2.三角形常用面积公式3.测量中的有关几个术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角.方位角的范围是0能否推出sin sin ？在ABC中，AB是否可推出sin Asin B?概念方法微思考提示第一象限的角不能推出sin sin .在ABC中，由AB可推出sin Asin B.1.若角，在第一象限，能否推出sin sin 2.在ABC中，已知a

4、，b和锐角A，讨论a，b，sin A满足什么条件时，三角形无解，有一解，有两解.提示图形关系式absin Absin Aa0时，ABC为锐角三角形.()(4)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积.()基础自测题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)基础自题组二教材改编2.在ABC中，acos Abcos B，则这个三角形的形状为_ .等腰三角形或直角三角形解析由正弦定理，得sin Acos Asin Bcos B，即sin 2Asin 2B，所以2A2B或2A2B，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.题组二教材改编2.在ABC中，acos Abcos B3.

5、在ABC中，A60，AC4，BC2 ，则ABC的面积为 .3.在ABC中，A60，AC4，BC2 4.已知ABC的三边之比为357，则其最大的内角为 .解析由三边之比为abc357，可设a3k，b5k，c7k(k0)，C为最大内角，4.已知ABC的三边之比为357，则其最大的内角为 题组三易错自纠5.在ABC中，已知b40，c20，C60，则此三角形的解的情况是A.有一解 B.有两解C.无解 D.有解但解的个数不确定角B不存在，即满足条件的三角形不存在.题组三易错自纠角B不存在，即满足条件的三角形不存在.6.设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若bc2a，3sin A5sin

6、B，则C .解析由3sin A5sin B及正弦定理，得3a5b.6.设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若典题深度剖析重点多维探究题型突破典题深度剖析重点多维探究题型突破利用正弦、余弦定理解三角形题型一师生共研75解析如图，由正弦定理，又cb，B45，A180604575.利用正弦、余弦定理解三角形题型一师生共研75解析如图，由(2)如图所示，在ABC中，D是边AC上的点，且ABAD,2AB BD，BC2BD，则sin C的值为 .(2)如图所示，在ABC中，D是边AC上的点，且ABAD2021届步步高数学大一轮复习讲义(文科)第四章-4(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知

7、三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素.(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.思维升华SI WEI SHENG HUA(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos C在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22AC11正弦定理、余弦定理的应用题型二多维探究命题点1判断三角形的形状例2(1)在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C

8、所对的边，若a2bcos C，则此三角形一定是A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形正弦定理、余弦定理的应用题型二多维探究命题点1判断三角形的因此a2a2b2c2，得b2c2，于是bc，从而ABC为等腰三角形.方法二由正弦定理可得sin A2sin Bcos C，因此sin(BC)2sin Bcos C，即sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bcos C，于是sin(BC)0，因此BC0，即BC，故ABC为等腰三角形.因此a2a2b2c2，得b2c2，于是bc，(2)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Bas

9、in A，则ABC的形状为A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不确定解析由正弦定理得sin Bcos Csin Ccos Bsin2A，sin(BC)sin2A，即sin(A)sin2A，sin Asin2A.A(0，)，sin A0，sin A1，(2)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若本例(1)中，若将条件变为abcos C，判断ABC的形状.引申探究1解abcos C，sin Asin Bcos C，sin(BC)sin Bcos C，cos Bsin C0，sin C0，cos B0.ABC为直角三角形.本例(1)中，若将条件变为abcos C，判断AB

10、C的形本例(2)中，若将条件变为a2b2c2ab，且2cos Asin Bsin C，判断ABC的形状.引申探究2又由2cos Asin Bsin C得sin(BA)0，AB，故ABC为等边三角形.本例(2)中，若将条件变为a2b2c2ab，且2cos命题点2三角形面积的计算例3(2020四川联合诊断考试)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(AC)cos B ，且B为锐角.(1)求B；命题点2三角形面积的计算又ABC，因为B为锐角，所以2B(0，)，又ABC，因为B为锐角，所以2B(0，)，(2)若b1，求ABC面积的最大值.因为a2c22ac，(2)若b1，求ABC面积

11、的最大值.因为a2c22a命题点3求解平面图形问题命题点3求解平面图形问题(1)AE的长；AE1.(1)AE的长；AE1.解BEBC，BCEBEC，sinBCEsinBECsinAEC，解BEBC，BCEBEC，(1)三角形面积计算问题要适当选用公式，可以根据正弦定理和余弦定理进行边角互化.(2)判断三角形形状的方法化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系.化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用ABC这个结论.(3)求解几何计算问题要注意根据已知的边角画出图形并在图中标示.选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理.思维升华SI WEI SHENG HUA(1)三角形面积计算问

12、题要适当选用公式，可以根据正弦定理和余跟踪训练2(1)在ABC中， (a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形2a2a2c2b2，a2b2c2，ABC为直角三角形.跟踪训练2(1)在ABC中， (2)(2018全国)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ABC的面积为 ，则C等于sin Ccos C，即tan C1.(2)(2018全国)ABC的内角A，B，C的对边分别(3)(2020贵阳一中适应性考试)如图，在平面四边形ABCD中，ADCD，ABAC，AB解在RtABC中，ACABtanABC2.

13、所以CAD60，所以ADACcosCAD1.在ABD中，由余弦定理得BD2AB2AD22ABADcosBAD19，(3)(2020贵阳一中适应性考试)如图，在平面四边形AB若AC2，ADB30，求sinCAD的值.若AC2，ADB30，求sinCAD的值.解设CAD，则ABD60，AD2cos ，解设CAD，则ABD60，AD2cos 一、测量距离问题解三角形应用举例核心素养之数学抽象例1(1)如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得CD km，ADBCDB30，ACD60，ACB45，则A，B两点间的距离为 km.一、测

14、量距离问题解三角形应用举例核心素养之数学抽象例1(1解析ADCADBCDB60，ACD60，在BCD中，DBC180CDBACDACB45，在ABC中，由余弦定理，解析ADCADBCDB60，ACD60(2)如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得PAB90，PAQPBAPBQ60，则P，Q两点间的距离为 m.900解析由已知，得QABPABPAQ30.又PBAPBQ60，AQB30，ABBQ.又PB为公共边，PABPQB，PQPA.在RtPAB中，APABtan 60900(m)，故PQ900

15、 m，P，Q两点间的距离为900 m.(2)如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡二、测量高度问题例2如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30，45，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为 m.二、测量高度问题解析在PAB中，PAB30，APB15，AB60 m，sin 15sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30解析在PAB中，PAB30，APB15，AB三、测量角度问题例3已知岛A南偏西38方向，距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22方向行驶，

16、问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？三、测量角度问题解如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为x海里/小时，结合题意知BC0.5x，AC5，BAC1803822120.由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcos 120，所以BC249，所以BC0.5x7，解得x14.所以ABC38，又BAD38，所以BCAD，故缉私艇以14海里/小时的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船.解如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，素养提升SU YANG TI SHENG数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对

17、象的思维过程，主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或数学术语予以表征.从实际问题中抽象出距离、高度、角度等数学问题，然后利用正弦定理、余弦定理求解，很好地体现了数学抽象的数学素养.素养提升SU YANG TI SHENG数学抽象是指舍去事物课 时 精 练课 时 精 练基础保分练123456789101112131415161.在ABC中，若AB ，BC3，C120，则AC等于A.1 B.2 C.3 D.4解析设在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，由余弦定理得139b23b，解得b1或b4(

18、舍去)，即AC1.基础保分练123456789101112131415161.12345678910111213141516ba，B60或120.12345678910111213141516ba，12345678910111213141516解析由cos 2Asin A，得12sin2Asin A，3.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos 2Asin A，bc2，则ABC的面积为12345678910111213141516解析由cos123456789101112131415164.ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bc，a22b2(1sin A)，则A

19、等于解析由余弦定理得a2b2c22bccos A2b22b2cos A，所以2b2(1sin A)2b2(1cos A)，所以sin Acos A，即tan A1，又0A0)，则c3k.123456789101112131415165.(20206.(2019全国)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin Absin B4csin C，cos A 等于A.6 B.5 C.4 D.3解析asin Absin B4csin C，由正弦定理得a2b24c2，即a24c2b2.123456789101112131415166.(2019全国)ABC的内角A，B，C的对边分别为47.设

20、ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2，cos C3sin A2sin B，则c .解析由3sin A2sin B及正弦定理，得3a2b，1234567891011121314151647.设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a123456789101112131415168.(2019全国)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b6，a2c，B ，则ABC的面积为 .123456789101112131415168.(201912345678910111213141516所以由余弦定理b2a2c22accos B，所以由余弦定理b2a2c22accos

21、B，12345678910111213141516所以由余弦定理1234567891011121314151612345678910111213141516123456789101112131415169.如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75，从C点测得MCA60，已知山高BC100 m，则山高MN m.150123456789101112131415169.如图所示，12345678910111213141516故MN150，即山高MN为150 m.12345678910111213141516故M

22、N15012345678910111213141516(2，)12345678910111213141516(2，)a2c2b22accos B.12345678910111213141516a2c2b22accos B.1234567891012345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151611.(2019全国)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C.(1)求A；解由已知得sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C，故由正弦定理得b2c2a2bc，因为0A180，所以A60.1234567891011121314151611.(201解由(1)知B120C，故sin Csin(C6060)12345678910111213141516解由(1)知B120C，故sin Csin(C6(1)求角A；12345678910111213141516(1)求角A；1234567891011121314151612345678910111213141516(2)求AC边上的高.解在ABC中，