光的衍射光学教程

1、2.5 平面衍射光栅 光学 1.定义：衍射光栅：狭义：大量等宽等间距的平行狭缝(或反射面)构成 的光学元件广义：任何具有空间周期性的衍射屏都可以叫做 衍射光栅 2.种类：3.性质：光栅是分解复色光的精密光学装置。(分光装置)4.用途：形成光谱。d反射光栅d透射光栅光栅常数d=a+bb ：透光部分的宽度a：不透光部分的宽度光栅常数 d 的数量级约为：例：光栅1cm内有5000条刻痕则光栅常数为：它反映光栅的空间周期性，其倒数表示每毫米内有多少条狭缝，称为光栅密度.实验室内常用（6001200）/mm的光栅。 光栅的种类虽然很多但其基本原理是相似的，下面以平面透射光栅为例讨论光栅衍射的基本原理。

2、一、实验装置(a+b)sinPO光栅衍射为多缝干涉和单缝衍射的叠加效果。相邻两束相干光光程差都为（a+b)sinqba二、光栅衍射图样的特征为了清楚起见，下图给出了夫朗和费单缝和五种多缝的衍射图样照片（N 分别等于1、2、3、5、6、20）。光栅衍射图样的特征与单缝衍射图样相比，多缝衍射的图样中出现一系列新的强度最大值和最小值；主最大的位置与缝数无关，但它们的宽度随缝数的增大而减小，其强度正比于缝数平方；相邻主最大之间有N一1条暗纹和N一2个次最大；强度分布中保留了单缝衍射的因子。三、光栅衍射规律 光栅是由许多单缝组成的，每个缝都在屏幕上各自形成单缝衍射图样，由于各缝的宽度均相同，故它们形成的

3、衍射图样都相同，每个缝的衍射图样是否错开？以双缝为例 设每个缝宽均为b，bd f透镜若只开上缝,衍射的中央亮纹在何处?若只开下缝,衍射的中央亮纹在何处?只要透镜光心的相对位置不变,则两套条纹的位置是完全一样的。I每个缝的衍射图样重叠相干叠加 f透镜 各单缝的衍射光在屏幕上重叠时，由于它们都是相干光，所以缝与缝之间的衍射光将产生干涉，因此还必须考虑由各缝发出的多光束之间产生的干涉。 光栅每个缝形成的衍射图样都相同，且在屏幕上相互间完全重合. 可见：光栅衍射图案是多缝干涉与单缝衍射的共同作用形成的结果.狭缝在原平面内平行移动,屏上条纹分布如何？P衍射角衍射图象不变！P每开一缝，衍射条纹重合，光强加

4、大。条纹更为清晰！单缝衍射与光栅衍射的比较四、光栅衍射的强度分布 光栅有N条狭缝,缝宽为b,光栅常数为ddsindo焦距 f像屏透镜LP 缝平面Gabx 由于透镜L2的作用，来自不同的狭缝的方向衍射光会聚在屏幕上同一点，形成多光束干涉 在夫琅和费远场条件下，各缝在P点产生的振动，振幅相同，相位不同.相邻两缝在方向上的光程差为 相邻两个缝到 P点的相位差为设最上面的狭缝在P点的光振动相位为零,则各单缝在P点产生的复振幅分别为 o焦距 f像屏透镜LP dsind缝平面Gabx于是P点的复振幅为：其中P点处衍射光强：式中光强公式中称为单缝衍射因子,称为多光束干涉因子.可见光栅衍射的光强是单缝衍射因子

5、和缝间干涉因子的乘积。单缝衍射因子对干涉主最大起调制作用。 多缝衍射是干涉和衍射的共同效应，它可看作是等振幅、等相位差的多光束干涉受到单缝衍射的调制。单缝衍射因子只与单缝本身的性质有关，而多光束干涉因子则仅源于狭缝的周期性排列，与单缝本身的性质无关。如果有 N 个性质相同，但形状与上述狭缝有异的孔径周期排列。则在其衍射强度分布公式中，仍将有上述的多光束干涉因子。此时，只要把单个衍射孔径的衍射因子求出来，乘以多光束干涉因子，即是这种周期性孔径衍射的光强度分布。说明：Isin单缝衍射Isin2/d0/d-/d-2/d多缝干涉光栅sin包络线为单缝衍射的光强分布图极小值次极大主极大亮纹()包络线为单

6、缝衍射的光强分布图包络线为单缝衍射的光强分布图中央亮纹k=1k=2k=0k=4k=5k=-1k=-2k=-4k=-5k=3k=-3k=6k=-6五、光强分布的讨论：a）干涉主极大：即时,称为光栅方程当时由在屏幕的中心光强为 光强取得最大值:o焦距 f透镜LP dsindabx主极大的角位置 sin = 0， / d， 2/ d， 和缝数无关o焦距 f像屏透镜LP dsind缝平面Gabx条纹位置：因 很小，故 条纹最高级数:光栅常数越小，明纹间相隔越远；入射光波长越大，明纹间相隔越远由得：由于衍射角 不可能大于90，所以主极大的级次kmax 满足 :例如，当0.4d 时，则 只可能有k0，1，

7、2的级次的主极大，而无更高级次的主极大。若 d ，除零级主极大外，别无其它级主极大存在。 因此可以看出，光栅衍射主极大的数目最多为：斜入射情况 相邻两缝光束之间位相差为 则光栅方程改写为 +入射束与出射束同处光栅平面法线同侧,如图(a)- 入射束与出射束分处光栅平面法线两侧,如图(b)b）干涉极小 在光强公式中，两因子中任一因子为零，P点的光强都会为零. 对于干涉因子,可以得最小光强当时,因此最小值（暗纹）的位置满足：即即的整数。因此,两个干涉主极大之间有(N-1)个最小值. 从主极大的中心到其一侧的附加第一最小值的角距离就是每一主极大谱线的半角宽度。 第k级主极大明纹满足：最靠近k级主极大的

8、第一级极小：k=（Nk+1）对第k级来说： 因此c）主极大的半角宽度可见Nd愈大，愈小，谱线愈窄，锐度愈好。 次极大的角位置可由 求得. 可以证明，各级次极大的光强远比主极大弱得多。其值不超过零级主最大的1/23，所以次极大和暗纹实际上混成一片，形成光强很弱的黑暗背景。对于总缝数N很大的光栅，次极大完全观察不到。 因为在两相邻主极大之间有N1个暗纹，而相邻两零光强暗纹之间应有一个次极大。 因此，两相邻主极大之间必有N2个次极大。 d) 干涉次极大次极大强度的估算：即最靠近零级主极大的次极大强度，只有零级主极大的 4.5。因为靠近零级主极大最近的次极大的位置大概处在 Nv 3 / 2 处，衍射强

9、度为Nv = Nv =0Nv 3 / 2 考虑 衍射因子即：当 时，衍射因子为零.光强亦为零。 得 /b-( /b)2( /b)-2( /b)sin0.0470.017 1 00.0470.017六、光栅谱线的缺级 若本应该由相应级的干涉主极大出现的地方，恰好是单缝衍射的暗纹所在的位置，此时合成光强为零，即本应该出现的主极大不再出现，这种现象称缺级。 若在某衍射方向是 j级衍射极小,又是 级干涉主极大,则有 由此两方程, 得第k级干涉主极大被 j 级衍射极小调制掉.例如则等级次被调制掉, 不出现. 由上式可见，光栅主极大的缺级与波长无关，而由光栅常数及缝宽决定。 缺级发生在衍射角，同时满足光栅

10、方程（主极大）和单缝衍射极小两个条件的地方。七、光栅光谱 如果入射光是包含几种不同的波长的复色光，由光栅主极大满足的光栅方程：则除零级以外，各级主最大的位置各不相同。我们将可以看到在衍射图样中有几组不同颜色的谱线，分别对应于不同的波长。把波长不同的同级谱线集合起来构成一组谱线，称为光栅光谱。k=0k=1k=2k=-1k=-2例如二级光谱重叠部分光谱范围二级光谱重叠部分:0级1级2级-2级-1级3级-3级白光的光栅光谱普通光栅大部分能量集中于零级 无色散结果 分光作用的 光谱仪 能量利用率小原因 单缝衍射的零级主极大方向 = 缝间干涉的零级主极大方向目的 为提高能量的利用率，需要把两个主极大方向

11、分开即将大部分能量(衍射零级)集中到所需的(缝间干涉)某级光谱干涉级次上八、闪耀光谱将衍射的零级极大移动到某级干涉极大处，即将大部分能量(衍射零级)集中到所需的(某级干涉)光谱级次上闪耀光栅：可通过调整刻槽的形状加以实现 光栅平面法向N,槽面法向n相邻两槽对应点距离为d和 -相对光栅平面法线和 -相对槽平面法线闪耀光栅夫琅禾费衍射的光强分布位相型反射光栅一个刻槽中，两端边缘光线间光程差位相差相邻两槽对应点光线光程差位相差据惠更斯-菲涅尔原理 夫琅禾费衍射的光强度分布单槽衍射 槽间干涉单元衍射多单元干涉当产生极大平面反射光栅的光栅方程多单元干涉零级极大出现在对光栅平面满足反射定律的方向单元衍射零

12、级极大出现在对槽面满足反射定律方向分析单色光的某级谱线位置由光栅常数 d和相对光栅平面的入射角 决定两种效应的零级极大完全分离开对于闪耀方向多槽干涉主极大的谱线级次闪耀级次结论：光栅衍射的强度分布受单槽衍射因子调制, 单槽衍射主极大方向的衍射光最强闪耀方向1) 平行光沿槽面法线方向入射闪耀级次发生在衍射的主极大移到 的K 级谱线上，d b 其他干涉级次被衍射抑制形成缺级。80%-90%光能集中到闪耀级次讨 论2) 平行光沿光栅平面法线入射主极大位于由于谱线分布有一定宽度反射定向光栅可以在一定波段内把光能集中到某一级次上去对槽面法线满足反射定律方向，反射光线与入射方向有 夹角当d 和 给定时，闪

13、耀级次和闪耀波长满足反比关系例1（P102）：已知平面透射光栅狭缝的宽度b=1.582*10-3mm,若以波长632.8nm的氦氖激光垂直入射在这个光栅上，发现第四级缺级，会聚透镜的焦距为1.5m,试求：（1） 屏幕上第一级亮条纹与第二级亮条纹的距离。（2）屏幕上所呈现的全部亮条纹数。 解：（1）设光栅中相邻两缝间不透明部分的宽度均等于a，光栅常数 d=a+b ，由第四级缺级。则有d=4b=1.582410-3=6.328 10 -3 mm 且 4，8， 12，的级次都缺级。由光栅方程可知，第一级亮条纹和第二级亮条纹的角位置为： 若会聚透镜的焦距为f,则它们距中央亮条纹的中心位置的距离为： 因

14、此当很小时， 二者之间距为：若考虑到k=4，8缺级，而k10实际上看不到。则屏幕上呈现的全部亮条纹数为 （2）由光栅方程：当sin1时，k最大，则 ，能看到的主最大最高级数为解:(1)根据光栅方程 (a+b)sin=k 而且|90例2一光栅每厘米刻痕500条,观察钠光谱线(=589.3nm)问(1) 垂直照射可以看到几级谱线? 共几条 ？(2)平行光以30角入射可以看到几级谱线，共几条？可见 k最大为3,即能看到3级以内,共7条.光栅的最高级次 斜入射最高级次为3！往下取！(2) 斜入射时,相邻光束的光程差不仅发生在光栅之后还发生在光栅前。iiCABD=BD-AC=dsin -dsini光栅衍

15、射主极大条件为= d(sin -sini )=k, k=0,1, 2, 3,.iiCABD d(sin -sini)=k, 对于第二种情况为负 对于上方,对于下方,结果说明向上最大可见1级,向下最大5级,共可看到几条谱线? 答:共7条!最高级次为-5！例3一光栅每厘米刻痕4000条,用白光垂直照射可产生多少完整的光谱?哪级光谱的哪些波长与其它谱线重叠?解: 取紫光=390nm,红光=760nm,为了得到完整的光谱, 红光第k级衍射角k要小于紫光的第k+1级衍射角k+1：根据光栅方程,因此得解得可见,只有第1级光栅光谱是完整的。第2级585760nm范围都与第3级谱线重叠。例4：用波长为500n

16、m的单色光垂直照射到每毫米有500条刻痕的光栅上，求： 1)第一级和第三级明纹的衍射角； 2)若缝宽与缝间距相等，用此光栅最多能看到几条明纹？ 由光栅方程 可知：第一级明纹m=1 第三级明纹m=3 解：1)光栅常量 2)理论上能看到的最高级谱线的极限，对应衍射角=/2，第2、4级明纹不出现，从而实际只能看到5条明纹。 即最多能看到第4级明条纹考虑缺级条件d/a=(a+a)/a=2思考题：双缝干涉和双缝衍射的区别？1. 双缝衍射：I0(sin2/)cos2(/2)4I0 m=-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 n= -2 -1 0 1 2 3/22. 双缝干涉图样：I0 是一束光的强度， 是为自该两束光发出的波在所考察的 P 点的相位差。cos2(/2)10m= -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 /2故1245-1-2-4-5I缺级缺级-22当b 逐渐变小时，衍射图样逐渐接近双缝干涉图样，即明暗相同的等亮度条纹。所以，双缝干涉实质上是双缝衍射在d不变而缝宽b 变得很细时的一个特例。 1