悬臂梁固有频率的计算

1、 悬臂梁固有频率的计算试求在X0处固定、Xl处自由的等截面悬臂梁振动的固有频率（求解前五阶）。解：法一：欧拉-伯努利梁理论TOC o 1-5 h z悬臂梁的运动微分方程为：EI沁Q+pA沁Q0,x42；0(4)；X=1悬臂梁的边界条件为：w(x0)0(1),dw(x0)0(2)，2W0(3),(El型)dx,x2,x,2xxl该偏微分方程的自由振动解为w（x,t）W（x）T（t），将此解带入悬臂梁的运动微分方程可得到pa2W(x)Ccospx+Csinpx+Ccoshpx+Csinhpx，T(t)=AcoswtBsinwt；苴中p4=1234EI将边界条件（1）、（2）带入上式可得C+C0，C

2、+C0；进一步整理可得1324W（x）C（cos卩x-cosh卩x）+C（sin卩xsinh卩x）；再将边界条件（3）、（4）带入可得12-C(cospl+coshpl)一C(sinpl+sinhpl)=0；-C(一sinpl+sinhpl)一C(cospl+coshpl)=0要1212求C和C有非零解，则它们的系数行列式必为零，即12=0-(cosPlcoshpl)-(sinplsinhpl)(sinplsinhpl)-(cosPlcoshpl)所以得到频率方程为：cos（pl）cosh（pl）-1；该方程的根pnl表示振动系统的固有频率:w（pl）2（巳）2,n1,2,.满足上式中的各pn

3、l（n）的值在书P443表8.4中给出,nnpAl4现罗列如下：pl1.875104，pl4.694091，pl=7.854757，pl=10.995541，pl=14.1372；12345若相对于pn的C2值表示为C2n，根据式中的Cn可以表示为J（卅i需）；nnTOC o 1-5 h z因此W(x)C(cosxcoshx)cos护+cosh口p%sinhx),n1,2,.由此可得n1nnnsinl+sinhlnnnn到悬臂梁的前五阶固有频率，分别将n=1,2,3,4,5带入可得：EIiEIiEI11.8751042()2，4.6940912()2，7.8547572()2，1Al42Al4

4、3Al410.9955412(EL)2,4Al414.13722(-)2；5Al4法二、铁摩辛柯梁梁理论1.悬臂梁的自由振动微分方程：EId4w(+Ad2w(-I(1+旦)d+四匹=0dx4dt2kGdx2dt2kGdt4边界条件：w(x0)=0(x0)=0(1)，dx=创dxx=/x=/（02）；n兀x设方程的通解为：w（x,t）=Csincoswt；易知边界条件（1）满足此通解，将通解带入上面的微分方程可lnr4n2兀2r2n2兀2r2Ea2n4兀4I得到频率方程为：呼疋）呼1+仏+仏kG）+万=0；其中r2=Al4EIa2A；若转动惯量与剪切变形的影响均忽略，上式的频率方程简化为w=na

5、n2兀2l2EIn2兀2；当n=1,2,3,4,5时可分别求得固有频率为：w1A12EI兀2EI4兀2A12w2EI9兀2A12w=3EI16兀2A12w=4A12w=5EI25兀2多自由度系统频率的计算方法m等效质量：连续系统悬臂梁简化为5个相等的集中质量m1=m2=m3=m4=m5=亍1.邓克莱法邓克莱公式为：833 #12 1am,am,21111222,am55513813，苴中a=,a=,a11375EI22375EI339l364l3l3=,a=,a=125El44375El553EIm=m*=上；55；将其代入上式可求得系统的基频为:2.887(色)2A14，此基频比用伯努1利-

6、欧拉梁求得的一阶固有频率=1.8751042(EL)2A14偏小,误差为17.42%,与邓克莱法的推导预期相符。2.瑞利法系统的质量矩阵、刚度矩阵和柔度矩阵分别为m00000m000丄00m005000m00000m匕34/311/37/3375EI150EI375EI750EI375EI/38/314/34/326/3150EI375EI375EI75EI375EI141391327131813375EI375EI125EI250EI125EI4/327/364/388/3750EI75EI250EI375EI375EI71326/318/388/3/3375EI375EI125EI375E

7、I3EIK二-=M=1=225854181181-86279111721-12447194500-1575058619318118132221-12447156221-26163142215493322244-2700094500-2616338279-8250018118122311814500-1575014221-825006029_1811814418130_517798627932221270004500ELl3取静变形曲线为假设阵型,设A=(40141279436600)T有833 #12 #833 12 #l3ATMA=649418WATKA=竺響AtMMA=28415航75EI

8、所以R(A)=空KA=沁,R(A)=ATMA=沁,此基频比用伯努利-欧拉梁求得的一阶固有频iAtMApl4nAtMMApl4=1.8751042(_EL)2率1Al4偏大,误差为15.23%,与瑞利法的推导预期相符。3.里茨法系统的质量矩阵和刚度矩阵由上面给出，设阵型为中=(12345)r,中=(13579)t；则可求出M*,K*分别为55m95mM*=TM=95m165m78375EIK*=TK=5；375eI181l357375EI1811378375EI18113将M*K*代入(K*-w*2M*)A*二0得K*-w*2M=0；可以求得:w*12w*3.53EI以及A*（i）二(1),A*

9、(2)(-0.578丿r1j-0.29丿所以系统前两阶主阵型的近似为_1.0000，0.63030.2607,A(2)=A*(2)=0.71-0.1090-0.4787A(1)=A*(1)=0.4221.00001.59152.18312.77463.36624.雅克比法动力矩阵为375EIhm150EI4bm375EIllbm750EI7bm375EI13m150EI8bm375EI14bm375EI4bm75EI26bm375EI4bm375EI14bm375EI9bm125EI27bm250EI18bm125EIllbm750EI4bm75EI27bm250EI64bm375EI88bm375EI7bm375EI26bm375EI18bm125EI88bm375EIhm3EI，由雅可比法求解其特征值和特征向量为:其固有频率0.04590.16690.33870.53930.752.930000018.7000