大一大二大一数学复习1

1、工科数学分工科数学分础理学院数学学科第一、极限、连续集合、与函数1数列的极限2函数的极限3无穷小量与无穷大量4连续函数5第一、极限、连续集合、与函数1数列的极限2函数的极限3无穷小量与无穷大量4连续函数5第五节连续连续函数的概念与基本性质函数的间断点及其分闭间上连续函数的性函数的一致连续习题区第五节连续连续函数的概念与基本性质函数的间断点及其分闭间上连续函数的性函数的一致连续习题区连续函数的概念与基本性质fx)在Ux0内有定义, xUx0自变称x xx0称y f连续函数的概念与基本性质fx)在Ux0内有定义, xUx0自变称x xx0称y fxf(x0)f(为自变量f x0 为函数定义(连续f

2、 Ux0 R R.lim fxxlimy 则称函数f在x0处连续f(x0f x)在x0f( x)在x0既左连续又右连续lim f(x)xli f(x)f(x0) f(f x)在x0f( x)在x0既左连续又右连续lim f(x)xli f(x)f(x0) f(f(x0 xx00左连(ab右连, 若f在开区间 (ab内连续若f在开区间(ab内连续, 并且在左端点x处右连续x b处左连续, fx)在闭区间a,b上连续例下列函数在指定点处的连续性1x x (1) f(x) xsinx在x 0(2) f(x) x x x x 例下列函数在指定点处的连续性1x x (1) f(x) xsinx在x 0(

3、2) f(x) x x x x 0 x1x 0 lim f(x) limxf解fx)x0处连续lim f(x) lim(x2) ff右连解 f(x) l (x2) 不左连fx)在点x0处不连续ysinx在区间(,)内连续x(,),例证2sinxcos(x xysin(xx)sin22lim2sinxcos(x ysinx在区间(,)内连续x(,),例证2sinxcos(x xysin(xx)sin22lim2sinxcos(x xlim y 22 lim 2xcos(x x 22ysinxx(,)都是连续的ycosx在区间(,)内连续证明 y ax在区间(,)内连续,其中a x(,),例证ya

4、xxax 证明 y ax在区间(,)内连续,其中a x(,),例证yaxxax ax(ax limax(ax limy limax(ex1) limax xlna 即函数 yaxx(,)都是连续的yloga x在区间(0,)内连续利用极限的有关性质，容易证明连续函数的下列性质：f(若函g( x)在点x0处连续定理f(fx g在点x0处也连续f(x)g(g(x ) 0g(设y fgx是由y f(u)与u gx)定理x0 D( f g),若g在x x0连续, f在对应的g( x0)u0 g( x0),利用极限的有关性质，容易证明连续函数的下列性质：f(若函g( x)在点x0处连续定理f(fx g在

5、点x0处也连续f(x)g(g(x ) 0g(设y fgx是由y f(u)与u gx)定理x0 D( f g),若g在x x0连续, f在对应的g( x0)u0 g( x0),y f gx)也在x x0连续定理严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函由y sin x与y cos x在（ ，）三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的由y sin x与y cos x在（ ，）三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的yax 与对数函数yxa(a 0, a 幂函数y 在其定义;yau ,uloga aloga 初等函数求极限可用代入法若( x)是初等函数， x0是其定义区间内的点，则lim f(

6、x)xf(x01 初等函数求极限可用代入法若( x)是初等函数， x0是其定义区间内的点，则lim f(x)xf(x01 exe例1 1 x2 1 lim1 x2 xx 2 1 x2 注在初等函数仅在其定间内其定义域内不一定连续;y cosx例如D:x这些孤立注在初等函数仅在其定间内其定义域内不一定连续;y cosx例如D:x这些孤立点的邻域内函数没有定义D:x 及xyx2(x1)3在0点的邻域内没有定义函数在区间 1,)上连.函数的间断点及其分类lim f(x)f在点x0处连f(x0 xfx)连续必须具备下面三个条件f(x)在点有定义 fx0lim f(函数的间断点及其分类lim f(x)f

7、在点x0处连f(x0 xfx)连续必须具备下面三个条件f(x)在点有定义 fx0lim f(极x lim f(x) xf(x0).fx)不连续如果其中有一个不满足，那么使函数f不连续的点x0称为f的间函数的间断点分为两类:左右极限都存在的间断点，称为第一类间断点不是第一类的间断点，都称为第二类间断点x 0,在点x 0处的连续性函数 fx) 例1 x yf(00) f(00)f函数的间断点分为两类:左右极限都存在的间断点，称为第一类间断点不是第一类的间断点，都称为第二类间断点x 0,在点x 0处的连续性函数 fx) 例1 x yf(00) f(00)f(00)f(0由f在点x0处不连续且x0为第

8、一类间断点xo这种左右极限存在但不相等的间断点，称为跳跃间断0 x x x y 函数fx) y 1 21y x虽然f在x1f(10 x x x y 函数fx) y 1 21y x虽然f在x1f(1li fx lim fx xo1即lim fx) 但是lim fxf可去间x 1.如果改变它在x1处的值，即重新定义f(1fx) tanx在x 处无定义，lim tanx 例x12为第二类x 2也称为无穷间断.2fx) sin1在fx) tanx在x 处无定义，lim tanx 例x12为第二类x 2也称为无穷间断.2fx) sin1在x 0无定义，所以x 0是间断x例limsin 1不存在x 0为第

9、二类间断点x这种情况称为震荡间断点.f(x) 间断点的类型函3x:x1x2x 1fxx例解fx的连续性x11ex 1x x是间断点0 xx1 ,110ex 0 x1xx1 x0 1e所以x0fx对于分段点xx 1fxx例解fx的连续性x11ex 1x x是间断点0 xx1 ,110ex 0 x1xx1 x0 1e所以x0fx对于分段点xxxx1 ,x10 ex11f x同理xx1ex11e所以x是的跳跃间断点。连续区间为 ,00,1fx连续的等价形式lim f(x) limf(x0 x) f(x0)f(x0 xlimy f(x)f(x )f(x00fx连续的等价形式lim f(x) limf(x0 x) f(x0)f(x0 xlimy f(x)f(x )f(x000左连右连2. f(在间断的可去间跳跃间第一类间断点(左右极限都存在(左右极限至少有一个不存第二类间3.一切初等函数在其间内都是连续的.思考题fx)在x0连续，则|fx|f 2思考题fx)在x0连续，则|fx|f 2x)在x0是否连续？又若|fx|f2x)在x0连续fx)在 x0是否连续？思考题解答f(x) f x)x0连续则f(x0 x0f(x) f(x)f(x0f