巧用定积分求极限(数学分析)

1、, n n , n n 定积分在极限中的应之迟辟智美作1知识准备学的占要 又学临 因 多 应夜素 .0“0” 型的 ” 型极 泰适求子加 ,泰以 效 . 观法 ,是琐 应学 事 微分正 代加 乘 , 乘与及 对关 逆 到 来限 限算 求现 .2 定积先顾以界 :定积分 函f ( x)间 在拔n-1 点 将 成 n x x i, 记 (i 1,2, , i i i , i i,f i) i( ) 些获i f ) i i( 分 ) 设max i, lim f ( i i) i在极及i无 ,则这极数f ( x)积 b ( x dx ( ) dx lim f i i) i f ( )积 1:牛公 积数

2、 故 了的 若ba ( x)dx殊 ,i殊得限积等 但立 , 这 在常 ,者 定积是者与式 关 积 分 字 暗 ba x)dx ba ) dt ba ) 察界 会分下 . 定无的 易在 于时趋 否限 . , 定一有 般 数 是数上穷 , 间函长的 ,年夜学的的 用散相 ,数主 连相 我来吧 概极n 为 , 给 总, n N | n, 则n a 列nn n x ,记lim a an a n n. a( : 趋于时 , n 是 或 趋 a 由于 正 , 数记n , lim an n a(n n.n n 不n 列 . 在列 n a 得 ; 数 a 近 ; ,一 就确 ,靠 ; 性 .意 , 是正 界

3、不| n 2“| n” 可 “| a n” 取 ; 小 限 个数 2:于 : ,一 , 而 , N N ) , N 赖 ; ,到 N ; N N 相不 定 定 100 使 n N ,| a n,则 ,最的 不多 基 ,用限 ,即而 “ n ”“ N”极f ( x) 0 A, 意数 何 ),n n i n n i ) 某 , 使适 x等 x 对函f ( x)不f ( x) , 么 做f ( xx x0,为lim f ( ) A或f ( ) 当 x )0 x .出限界是 , 个值某 数 ,数的式 数 ,函值 能常意 .2积在应出 , 无的函 , 它定 说丝 ,么揭间 妙 界一f ) i i ,且

4、i 充 沛 地 小 i f i) i 可 以 任 意 接 近 确 定 的 数ba ( x)dxlim (,正的 ,即 i) ( x) i .就极一力分 . 积年公 运众 式.求用们单 : 1. 1 1 n n 0,1i 1 dx 0,1i 1 dx =ln20 : 式 ,易限决 , 是计某果明 ,因里 ; 限也有 式歧 ; 再虑法 它穷的 非的 , 能 ; 那公 式来数题 展 多的成式 式 看也 .那是有的？ 是 实 , 与界些 那就考分解题 : 把转积 ,而 下 : limn ni i 出 , 其中是f ( ) 11 在间 个得 , i1 i i i, , i 1,2, n n n ).,1

5、 1 .题可 ,题将为 了所刃 .于 们 分中方 :n i n i ; i . n i i n i n i ; i . n i i lim (iSept1 限 , lim f ( i in i 取 i1 i i i, i n n n;Sept2 确积上 a=limn i( i取第一个值 n i(i取Sept3 用 x ,出达f ( x) ,原.上法 无的 方 ,有循 .现让看 ,中 以伐 n 2. 1 1 ） n 2 :Sept1 限 .=limn i 2 2 i . , ii 1, 即是进行 N等） n , 积 可 f 11+2, i 1,2, .Sept2 积下 .Sept3 积并 .=1

6、011 2dx x104. ,我们依结伐 , i b i b 出极 这体 ,那是 出性底定 .3用极结及,以结 : 1 如数f ( x), n,ii i b (b (b ), n n nlim b ni f i) af ( x dx.一 ,间 n 等T特 .据说 ,论 是到限都总个 我况 , 如 伐用限 再 习受 1 用 . 1)lim 2 n sin 1 .题项限 ,以思 到去 .让论 1 解极 习出 ,对 认 :(1) 极看f ( x sinx 的 . 0,11 0 n 1 n lim 0,11 0 n 1 n lim(2) , limn ni i, 被数f x间 极 =01 2 2 dx

7、 x) 1 3 3;sini(3) 原限 ii看 一到 :论 上式极 n 1 i n i n lim (sin sin sin sin n n n +1 n n ni i =10 2等取 1 2 nlim (sin ) lim n n i 1 i n 0sinxdx 2.2,的知 = 均用计 出 我 只个f ( x), 把极lim (i n i 积i f ( ) n n , 就出 f(x) 0,1 上的出 . 式行形 ,其是 n f(in )1n 了; 习 3 直 上 是limn f(in)1n 形 , 因 式 , ,n n i i i i n , ,n n i i i i n n 2 n 2

8、 . 2 n ln f ( ) dxlimn1 1 1+ n n 6) ( n lim 2 nsin sin 1 1 不i n 项对 以 3 极限式等i 公段nf ( ),如 我的 的 ,求极 值.结及 ,论 适 ,得极 法. 1 如数f ( x ( ), f ( x) ),:f ( x ( ), f ( x) ) i ii i,n n 0(当 ilim limin ilim f ( () i i ii f ( g ( = =f ( x) ( x) dx. 3. :1 2 n n sin cos( ) sin ) cos( ) n : 1 可, 10 xdx 2 210. 2 设ln f (

9、)在区上可积，则 lim f ) ( ) ) . 0,1f ( )i n f ( )f ( x ) dx1 2 . i i i i 0,1f ( )i n f ( )f ( x ) dx1 2 . i i i i 4.:lim(n n n ) n n1n.f ( x) 3 如数 积 1 nf lim1+ f ) ( f ) n n n nf ( ) dx.:A=n 2 1 f ( ) f ( ) f ( ) n,n 1 ilim f ( ) n n i n i lim ( )n n i n i ( )i nln A lim i ln1+ i ) lim ln e n lim n n n i i

10、 于是，A i ( ) 0f ( ) 5. n 2 ) (1 ) 2 3n :直论 推论 1 补 们 式限 还无乘 结 的路探 ,式积 用 ,但实 ,与 一 .们 住概 意分和 , 学赋 对行 , 量 限界上 .通了 ,定 原 由个 1 i n 1 i i i 1 i 对 lim ( f , ,lim f n 1+ f ( ) n n n n i i i i 1 1 i 1 limf ),limi i i i巩 n n n n n n 3 n 2 n n ;n 1 1 i 1 limf ),limi i i i巩 n n n n n n 3 n 2 n n ;n 1 .1 1 的们 ,定容极

11、.对一法 们察 , 都结 用推 ,论 我组 , 上 ,经种的 ,今 解问型 .让一i i n i if , ,lim f ( ,lim 1+ f ( )n n n n n ni i i i 的 .组用结 . 分下 (1)lim nn 1 2 (2 ) 2 ( ) ;(2)1 1 1 1 1 2 1 n ( )sin( )sin( +( )sin( n n n n(3)nlim (1n 2n)(1 2n ;(4)1 1 )(1 (1 ) n :题等 ,结 论 3 的 ,(1)lim nn 1 1 n 1 ( )(1 (2 2 ( ) 2 n ii n201 1 ; (1 ) 2(2) 1 2 2

12、 1 1 n lim ( )sin( +( )sin( n n 3 n 2 n n 2n n ni (1 (1 i 1 i i (1 (1 i 1 i b b n n n 1= ni iiii i , i 1,2, n=x xdx sin1 (3)limnn 2 i )(1 (1 lim )2n 2n n n 2 i 1n ln(1 x ) 2(12 2) ) ;1 n 1 n 1 2 n n(4) .在应移 经会式在 .于 ,们 把求 用到 例 ,利用法 式 ,或者一点问 .下面 证 : 函f ( x) 且 f ( x) af ( ) af ( x)dx )2.:f ( x) g ( x)

13、等 x 0 n. K 个kx , x k k b n.平几 , f ( f ( k f ( x ) b ) kf ( ) n b b J n n b b J n n ( f ( ） ( 1 1 b f ( ） ( ） f ( x ） n当 ，有 ( ) a f ( )dx b 2. : 巧 ,分极式 , 平于这 将为 较 与分的决关 我充积中 ,并能 , 以 问 到 题 lim 7.限 n(2 (2 )!.:问不用 1 或 1 至推 3 求 . 因表易论的 该解到吗否 之我沃由lim公 m)! (2 1)! 2m 2.: nxdx n 2 分容整递 :n J n J 00dx , 10sin

14、用推 m 2 m 2 , m xdx xdx m xdxA m m)! (2 )! m 1)! 2 (2 2m, m m(2 )! 1 1 0( m 2 (2 2 2, 的lim( B ) m m .0 2 B A m m,利limm m)! m 2m .我看式积关 ! 积J xdx ,地分达 ,们寻极金 ,积 是挥的 我用 探 吧 m)! 1 lim 2 利 (2 m 1)! 2m ,知lim 1)!(2 )!limm .水 ,们积决 中限 采来 一 n n 1 n 11 n n 1 n 11 在应善道也极出 .上 限将式成 分出结 能在 部现看的 ,明 . 8.:limn n. : 题面题

15、 前 们lim将的成 i f i) i,例 ,它我定限例像 ,为无i 1i,所我试的极分变 i ni i i. 如验 limn ni i 0 . 可是对 . ,有直积 ; ,用分01xdx1 知 0 xdx 1 lim(ln ) lim 1 lim(ln ) lim 0 lim limn1 n 11 1 n i 1 1i lim( )2 n x x n lim x lim x lim ln x x ( 统分 ,一 这经 x 是 析理 段限 ).们果 ,limn n.以 ,的 , 积不 整 其使 .总 ,只于 上念们 往 把思其题 . 来 求用 几 是的 且的适 等能分 . 分 要的 法 的 ,

16、重极论 段 . 类需种 华 倍.4文数上 ,认 . 行用 ,是切 一自 为 的,一法 ,还性 .,数具 是统现 . 本定极 . 与此 研 这数理立上 严 应题 其于 一数 用极 较模模 .决的 第 , 予以性可 ,识 发阶 , 理一重 每式 , 都从以华 .我 过与 到 “ 推论 1至“推 .三,是工 . 我数己 , 还于其 思 . 映复物 仍的形图示 分 用数 , 开 达步 .一法 究 . 它象 动 ,关系 炼性成量 和 想它方性 , 质一 ,式最 示 .积限算 , 意 都的 是的 觉 数 实明 .一理 ,另则世地 ; 是的 , 是作 可 况至的 却术一意 学 是以驱 .数认 .与绘 中 ,

17、还同自形 种式 是学语 . 其有 .术达带义的 , 们时 ,分之 交 .(2) 体其普 ; 数整于的 ,之 力 的和达 .(3) 为统 冻 .(4) 可 种感 唤的 , 意把 向 为 为内方 .(5) 在数的息换 其 是体 .研在,种符式悦 .数同 ; 艺的是 的 学上框 ,鉴赏的 超 , 显 . 在 学越 异类学 征 ,泛 .现商 艺学始 各 内 , ,情 求应 , 贡自 ,渐域定 经积问的 ,只们某心 并刻 能运其 .我定 结 进当 获意推 .要介在应 们 了及学中念 .后 之联 ,而一极 定限 .固 也空 它 中中思者的 . 所概思 ,之立 在数 必基 ,其互或种念 分 .对夜 ,行辑 . 们立 那发物 ,这发 异年 ; 设 , 我们好 概别 ,这我识处 , 的中 我去 , 年行 设我维 .的还 , 值去掘 . 希望 起玉 多乐起 出与限 家 与.参考文献1年系 育 2001 2 等 学习 . 北京 育 , 3 同济学. M 北 , 高书, 4 关 , 5.数 . .育 ,20016 经列 高教 , 7, .科 .京出 , 8学 及 ),2005英文摘要Abstract:In solving