高等数学课件：3-1函数的微分

1、二、微分的基本公式及运算法则三、微分的应用第一节一、微分的概念 函数的微分 第三章 一、微分的概念 引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则面积的增量为当 x 在取得增量时,变到边长由其关于x 的线性主部x的高阶无穷小时为故称为函数在 的微分再例如,定义3.1若函数在点的微分,( A 为不依赖于x 的常数)则称函数而 称为记作即在点可微,的增量可表示为问题: 是否所有函数的改变量都含有这种关于x 的线性函数(改变量的主要部分)? 它是什么? 如何求?定理3.1 函数在点 可微的充要条件是且当f(x) 在点时, 其微分一定是处

2、可微证 “必要性” 已知在点 可微 ,则故在点 可导,且, 从而“充分性”已知在点则定理2.4 函数在点 可微的充要条件是且当f(x) 在点微分一定是处可微时, 其处可导,注 1时 ,2 当即当时与是等价无穷小,于是有3由定理3.1知，4“微商”.微分的几何意义当 很小时,切线纵坐标的增量MNT例1 求函数解时的增量和微分.由此可见当 很小时,1. 基本初等函数的微分公式 二、 微分的基本公式及运算法则设 u(x) , v(x) 均可微 , 则(C 为常数)2. 函数的和、差、积、商的微分法则分别可微 ,的微分为一阶微分形式的不变性3. 复合函数的微分法则则复合函数结论：解 (方法1)例2利用

3、微分形式不变性(方法2)解由积的微分法则及微分形式不变性,有例3例4 设求 解 利用一阶微分形式不变性 , 有由此解得利用一阶微分形式不变性求隐函数的微分是好方法例5解三、 微分的应用当很小时,使用原则:得近似等式:1. 微分在近似计算中的应用特别当很小时,常用近似公式:很小)证令得的近似值 .解 设取则例6 求例7 有一批半径为1cm 的球 , 为了提高球面的光洁度,解 已知球体体积为则镀铜体积为 时体积V的增量因此每只球需用铜约为( g )用铜多少克 . 估计一下, 每只球需要镀上一层铜 ,厚度定为 0.01cm , 2. 微分在误差估计中的应用某量的精确值为 A ,其近似值为 a ,称为

4、a 的绝对误差称为a 的相对误差若称为测量 A 的绝对误差限称为测量 A 的相对误差限内容小结1. 微分概念 微分的定义及几何意义 可导可微2. 微分运算法则微分形式不变性 :( u 是自变量或中间变量 )3. 微分的应用近似计算估计误差思考与练习1. 设函数的图形如下, 试在图中标出点处的及并说明其正负 .在下列括号中填入适当的函数使等式成立:解 (1)2.注 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.(3)3.4.6.5. 设 且则解由积的微分法则,有备用题例 2-1解例2-2例2-3已知求解 因为所以例4-1 由方程确定,解方程两边求微分,得当时由上式得求方程两边求微分, 得已知求解例4-2例4-3解 (方法1)解 (方法2)(隐函数求导法)的近似值 .解例6-1 计算误差传递公式 :已知测量误差限为按公式计算 y 值时的误差故 y 的绝对误差限约为相对误差限约为若直接测量某量得 x ,例9 设测得圆钢截面