第 04章 4 次课 - 刚体角动量守恒定律解题 力矩作功 动能定理

1、1大小 的方向符合右手法则.作用于质点的合力对参考点 O 的力矩, 等于质点对该点 O 的角动量随时间的变化率.4.3 角动量 角动量守恒定律一、质点的角动量定理和角动量守恒定律1. 质点的角动量作圆周运动的质点角动量为冲量矩质点的角动量定理：对同一参考点O, 质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量.2. 质点的角动量定理质点所受对参考点O 的合力矩为零时, 质点对该参考点O的角动量为一恒矢量. 恒矢量 3. 质点的角动量守恒定律/162二、刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律1. 刚体绕定轴转动的角动量2. 刚体定轴转动的角动量定理4.3 角动量 角动量守恒定律J 为刚体绕OZ轴转动的转动

2、惯量.即或O力矩对时间的累积效果是使刚体的角动量发生变化./1633. 角动量守恒定律4.3 角动量 角动量守恒定律非刚体的定轴转动的角动量定理:刚体定轴转动的角动量定理上式中, J 是刚体的转动惯量. 刚体做定轴转动时 J 是常数.，则若对于非刚体做定轴转动时 , 转动惯量J 不是常数./164例4 一杂技演员 M 由距水平跷板高为 h 处自由下落到跷板的一端A, 并把跷 板另一端的演员N 弹了起来. 设跷板是匀质的,长度为l, 质量为m, 跷板可 绕中部支撑点C 在竖直平面内转动, 演员的质量都是m. 假定演员 M落在 跷板上, 与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞. 问演员N可弹起多高?ll/2

3、CABM,mN,mh解: 三点假设：演员视为质点, 跷板视为刚体, 跷板为水平放置.(ii) M与跷板碰撞后的瞬间, 跷板绕支撑点C转动. 因此M、N具有相同的线速度.4.3 角动量 角动量守恒定律由得/16(i) 碰撞前 M 落在 A点的速 度(自由落体运动)本问题分为三个过程：M自由落体; 刚体定轴转动; N竖直上抛.uu5解得因此, 演员 N 以初速度 u 起跳, 达到的最大高度为4.3 角动量 角动量守恒定律(iii) 碰撞后, N作上抛运动, 初速度为/16因此在M和跷板碰撞过程中角动量守恒, 即 L1=L2 .M、N的重力在跷板上对C点的力矩大小相等, 方向相反, 合力矩为零.CM

4、NmgmgFNmguu64.3 角动量 角动量守恒定律如何才能使N跳得尽量高 ? 即h尽可能大！1. 尽量减小跷扳m; 当m m 时, 有/162. 尽量增大演员M的质量: 但此时合力矩不等于零，因此角动量不守恒。 演示ll/2CABM,mN,mh7一、力矩作功 即, 力的空间累积效应 力做功, 动能发生变化.刚体在外力矩作用下产生角位移, 外力矩做功吗 ? 刚体的动能发生变化吗 ?4.4 力矩做功 刚体绕定轴转动的动能定理质点在外力作用下产生位移, 则力对质点做功.如图所示, 一刚体在外力F作用下转动, 产生一角位移 d.将外力F分解为切向分量Ft 和法向分量Fn, 法向分量Fn不作功,切向

5、分量Ft 做的功为又因为法向分量Fn对转轴O的力矩为零.切向分量Ft 对转轴O的力矩为因此, 外力所做的功可以表示为dW称为力矩M在角位移d上所做的元功./168二、力矩的功率4.4 力矩做功 刚体绕定轴转动的动能定理力矩做的元功(1)(i) 当力矩大小和方向都不变(恒力矩)时, 刚体转过角后, 力矩做的功为(2)(ii) 当力矩大小或方向都变时, 力矩做功为(3)与功率反映力F做功快慢相类似, 力矩做功的快慢用力矩的功率来表示.(4)当力矩为恒力矩时, 有(5)/169三 、转动动能四、刚体绕定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理: 合外力矩对刚体所作的功, 等于刚体转动动能的增量.4.4 力

6、矩做功 刚体绕定轴转动的动能定理刚体在转动时, 刚体上的所有质点都在运动, 因此都具有动能.刚体在转动过程中的动能如何计算 ?O质元mi的动能为刚体的转动动能为(6)转动动能等于转动惯量与角速度平方乘积的一半. ( )外力矩做功使刚体的角速度发生变化, 使刚体的转动动能发生变化.力矩做功与转动动能的变化之间有什么数量关系 ?即(7)/1610圆锥摆子弹击入杆以子弹和杆为系统机械能不守恒.角动量守恒；动量不守恒；以子弹和沙袋为系统动量守恒；角动量守恒；机械能不守恒.圆锥摆系统动量不守恒；角动量守恒；机械能守恒.子弹击入沙袋细绳质量不计4.4 力矩做功 刚体绕定轴转动的动能定理为了便于理解刚体做定

7、轴转动的规律, 书上P127表4-3将质点运动与刚体转动的基本公式进行了比较, 其物理量有一一对应的关系.希望大家好好研究表4-3的内容, 便于记忆.例1 判断下列运动过程的动量、角动量和能量的守恒情况. /1611例2 一长为 l, 质量为m的杆可绕支点O自由转动. 一质量为m、速率为V的子 弹射入杆内距支点为a处, 使杆的偏转角为30. 问子弹的初速率为多少 ?解 把子弹和杆看作一个系统, 系统所受的外力只有重力和支点O处的支持力.4.4 力矩做功 刚体绕定轴转动的动能定理子弹射入竿的过程中, 内力远大小外力, 因此系统对O点的角动量守恒.子弹射入杆前, 系统的总角动量为子弹射入杆后, 系

8、统的总角动量为由角动量守恒得, L0 = L1由此求得射入杆后, 以子弹、细杆和地球为系统, 在细杆绕O点转动的过程中, 只有重力做功, 因此机械能守恒./1612取A点位置处的势能为零, 则A点处的总机械能为B点的总机械能为ABC由机械能守恒得 EA = EB , 即将 代入上式可求得, 4.4 力矩做功 刚体绕定轴转动的动能定理/16 牛顿力学的成就和局限性/161781年英国天文学家威廉赫歇耳发现了天王星，随后在天王星的运动中又发现了神秘的异常现象摄动. 1832年英国天文学爱好者哈赛伊提出一种假设，认为这种摄动是由于当时“天王星外” 某颗尚未发现的行星作用引起的。英国剑桥大学27岁的数

9、学系学生JC亚当斯于1845年9月，根据牛顿力学计算出了那颗未知行星应有的位置。在同一时期，另有一位法国的年轻天文学家勒维耶，得出了与亚当斯相同的结果。勒维耶找到德国天文学家伽勒帮助检查他所指出的那片天区是否有一颗未知的行星。伽勒于1846年9月23日夜晚仅用了一个小时就找到了一颗当时的星象图上没有标记的星-这就是海王星。 17 世纪牛顿力学构成了体系. 这个体系是物理学第一次伟大的综合. 牛顿建立了两个定律，一个是运动定律，一个是万有引力定律，并发展了变量数学-微积分，具有解决实际问题的能力. 他开拓了天体力学这一科学，海王星的发现就充分显示了这一点.太阳系八大行星1314一. 经典力学只适

10、用于处理物体的低速运动（ ）1. 质点高速运动时伽利略变换为洛伦兹变换所代替2. 运动质点质量是随速度变化的 - 相对论性质量 牛顿力学的成就和局限性式中u是运动坐标系S相对于“静止”动坐标系S的运动速度.牛顿第二定律不再简单表达成 F = ma 的形式/16154. 相对论质能关系3. 物体在高速度运动时的动能 - 相对论动能 牛顿力学的成就和局限性二. 确定性与随机性确定性：已知物体初始运动状态及所受的力，应用牛顿定律可以确定运动物体任意时刻的运动状态和确定的运动轨迹. 初始运动状态的微小变化只能引起运动轨迹的微小变动. 海王星的发现是牛顿力学确定论成功的典范.物体运动的随机性：自然界中物体的运动还表现出偶然性和随机性，并不总是能预测出物体的运动轨迹, 如原子电子的运动. 此外物理体系普遍存在的问题都是非线性的，物体的运动对初始条件特别敏感，存在混沌现象或所谓的“蝴蝶效应”. 目前关于混沌的研究已涉及到生物学、天文学、社会学等领域./1616三. 能量的连续性