概率论与数理统计第八章假设检验

1、假设检验步骤(三部曲) 根据实际问题所关心的内容,建立H0与H1。(原假设应当和已有的事实相悖) 假设H0为真时,选择合适的统计量T, 并确定检验水平为 的拒绝域。 根据样本值计算,并作出相应的判断.8.2 正态均值的假设检验( 已知)( 未知) 0 0 0 0 0正态 检验法 (2 已知)原假设 H0备择假设 H1检验统计量及其H0为真时的分布拒绝域 0 0 0 0 0T 检验法 ( 2 未知)原假设 H0备择假设 H1检验统计量及其H0为真时的分布拒绝域 8.4 均值的比较的检验 设总体X N(1, 12 ), X1,X2,Xn为来自总体X的样本，样本均值为 ，样本方差为 。 设总体Y N

2、(2, 22 ), Y1,Y2,Ym为来自总体Y的样本，样本均值为 ，样本方差为 。假设X与Y 独立。检验统计量检验水平为 拒绝域为当H0成立时， 如果W发生，就称检验是显著的. 这时，否定犯错误的概率不超过。(1)A.已知12，22时， 的检验(2)检验水平为 拒绝域为 如果W发生，就称检验是显著的. 这时，否定犯错误的概率不超过。(3)检验水平为 拒绝域为 如果W发生，就称检验是显著的. 这时，否定犯错误的概率不超过。已知 均值的比较例1：甲乙两家公司都是生产700MB的光盘，从甲的产品中抽查了7张光盘，从乙生产的产品中抽查了9张光盘。分别测得它们的实际储量如下：现已知甲的光盘储量XN(

3、,2),乙的光盘储量YN( ,3),在显著性水平 =0.05下，甲乙两家公司生产的光盘的平均储量有无显著性差异？解：作假设当H0成立时，检验水平为 的拒绝域为由n=7, m=9, , 且 因此可以在水平0.05下认为两家公司光盘的平均储量有显著性差异。例2：能否在检验水平0.02下认为甲光盘的平均储量大于乙光盘的平均储量？解: 由于于是作假设令检验水平为0.02的拒绝域为由抽样数据因此拒绝原假设，在水平0.02下认为甲的储量大于乙。B.未知 ，但已知12 =22时， 的检验(1)检验水平为 拒绝域为当H0成立时， 如果W发生，就称检验是显著的. 这时，否定犯错误的概率不超过。检验统计量(2)(

4、3)检验水平为 拒绝域为 如果W发生，就称检验是显著的. 这时，否定犯错误的概率不超过。检验水平为 拒绝域为 如果W发生，就称检验是显著的. 这时，否定犯错误的概率不超过。未知 但已知 均值的比较例3：甲乙两家公司用同型号的组装线分别试生产128MB的闪盘，从甲的产品中抽查了7只，从乙生产的产品中抽查了9只。分别测得它们的实际储量如下：设甲和乙的闪盘储量都服从正态分布，且有相同的标准差。(1)在显著性水平0.05下，这两家光盘的平均储量 有无显著性差异？(2)在显著性水平0.05下，能否认为EXEY?解: (1) 作假设当H0成立时，检验水平为0.05的拒绝域为经过计算得所以不能在水平0.05

5、下认为有显著性差异。(2) 由于于是作假设检验水平为0.05的拒绝域为经过计算得所以拒绝原假设，在水平0.05下认为甲的平均储量大于乙。C.方差未知时成对数据的假设检验(即n=m)(1)令设设 则要检验的假设转化为即转化成一个样本的检验问题当H0成立时，检验统计量检验水平为 拒绝域为 如果W发生，就称检验是显著的. 这时，否定犯错误的概率不超过。(2)(3)检验水平为 拒绝域为 如果W发生，就称检验是显著的. 这时，否定犯错误的概率不超过。检验水平为 拒绝域为 如果W发生，就称检验是显著的. 这时，否定犯错误的概率不超过。例：考古学中，人们可以用碳14方法确定发掘物的年代。现在考古学家们在某建

6、筑工地陆续发掘出了已经碳化的谷物种子的12个样本。X,Y两个考古单位分别对这12个样本用碳14方法进行了年代测定（单位：万年），结果如下。XY0.81 0.57 0.69 0.53 0.72 0.59 0.84 0.61 0.75 0.72 0.600.72 0.63 0.53 0.70 0.69 0.80 0.69 0.57 0.67 0.53 0.63(1) 在检验水平0.05下，这两家的测量年代有无明显差异?(2) 认为有明显差异时犯错误的概率是多少？解: (1)设设 则要检验的假设转化为当H0成立时，检验统计量检验水平为0.05 拒绝域为经过计算得所以不能在水平0.05下认为有显著性差

7、异。(2)若有明显差异，即否定H0时，拒绝域为因此犯错误的概率为D.未知 时， 的检验（要求大样本）(1)检验水平为 拒绝域为当H0成立时， 如果W发生，就称检验是显著的.检验统计量(2)检验水平为 拒绝域为 如果W发生，就称检验是显著的. 这时，否定犯错误的概率不超过。(3)检验水平为 拒绝域为 如果W发生，就称检验是显著的. 这时，否定犯错误的概率不超过。例4. X,Y两个渔场在初春放养鳜鱼苗, 但是采用不同的方法喂养。入冬时第一渔场打捞出59 条鳜鱼, 从第二渔场打捞出41条鳜鱼。分别秤出他们的平均质量和样本标准差如下： 在显著性水平=0.05下, 就平均质量来讲，两个渔场有无显著性差异

8、。解：对n=59,m=41, 容易计算出检验水平为 拒绝域为所以在水平0.05下不能认为两个渔场有显著性差异。8.5 方差的假设检验例1. 渔场在初春放养鳜鱼苗, 入冬时渔场打捞出59 条鳜鱼, 秤出他们重量的样本标准差S=0.2(单位:kg), 对02=0.182, 在显著性水平=0.05下, 解决以下检验问题. (1) H0: 2 = 02 vs H1: 2 02， (2) H0: 2 02 vs H1: 2 02解: 设渔场入冬时渔场打捞出的鳜鱼重量为X, 假设XN(, 2 ).设X1, X2, ., X50是来自总体X的样本, 则 (1) 在H0下S2是 2 的无偏估计, 所以取值过大

9、和过小都是拒绝H0的依据. 用2 (n-1) 表示 2 (n-1)的上 分位数, 则可以构造出假设(1)的水平 拒绝域 此时, 在H0下有H0: 2 = 02 H1: 2 02， 本例中, 查表得到 否定域是 本检验是用 2 分布完成的, 所以又称为 2检验.现在所以在检验水平0.05下不能否定H0. (2) 在 H0: 2 02下， 2 是真参数, 可得 于是水平为 的拒绝域为 所以 现在 所以在检验水平0.05下不能否定H0. 2 02 2 02 2 0.00040. H0 : 2 0.00040 ； H1 : 2 0.00040. 取统计量拒绝域故拒绝H0. 即改革后的方差显著大于改革前

10、的方差, 因此下一步的改革应朝相反方向进行.经计算例2. 新设计的某种化学天平，其测量的误差服 从正态分布，现要求 3 0.1。现拿它与标准天平相比，得10个误差数据，其样本方差s2=0.0009. 试问在 = 0.05的水平上能否认为满足设计要求？解:H0: 1/30 ；H1: 1/30拒绝域：选检验统计量经计算故不拒绝原假设。即： 3 0.1不显著。 设总体X N(1, 12 ), X1,X2,Xn为来自总体X的样本，样本均值为 ，样本方差为 . 设总体Y N(2, 22 ), Y1,Y2,Ym为来自总体Y的样本，样本均值为 ，样本方差为假设X与Y 独立。3. 关于方差比的假设检验由于当H0成立时，按照控制第一类错误的原则，为了计算方便，取(1)因此，拒绝域为利用检验统计量 ，确定拒绝域的形式并控制第一类错误，(2)由于且所以取故而所以拒绝域为利用检验统计量 ，确定拒绝域的形式并控制第一类错误，(3)由于且所以取故而所以拒绝域为原假设 H0备择假设 H1检验统计量及其在H0为真时的分布拒绝域关于方差的比较检验例4 为比较两台自动机床的精度，分别取容量为10和8的两个样本，测量某个指标的尺寸(假定服从正态分布)，得到下列结果：在 =0.1时， 问这两台机床是否有同样的精度?车床甲：1.08, 1.10, 1.12, 1.14, 1.15, 1.25, 1.36, 1.3