傅里叶级数-变换创新课件

1、第四章 傅里叶变换和系统的频域分析4.1 信号分解为正交函数 4.2 傅里叶级数 4.3 周期信号的频谱 4.4 非周期信号的频谱（傅里叶变换） 4.5 傅里叶变换的性质 4.6 周期信号的傅里叶变换 4.7 LTI连续系统的频域分析 4.8 取样定理本章主要内容: 变换域分析的基本思想仍为：将信号分解为基本信号之和或积分的形式，再求系统对基本信号的响应，从而求出系统对给定信号的响应（零状态响应）。Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011

2、Aspose Pty Ltd.在第二章中我们以为基本信号将任意信号进行分解其中h(t)反映了系统的特性。(虚指数函数) 为基本信号本章以正弦函数或任意周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦或 虚指数函数之和。任意非周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦或虚 指数函数积分。Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.具有一定幅度和相位，角频率为的虚指数函数作用于LTI连续系统时，所引起的响应(零状态响应)是同频率的

3、虚指数函数，可表示为： 系统的影响表现为频率响应函数，它是信号角频率的函数，而与时间t无关，用于系统分析的独立变 量为，故称之为频域分析。 Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.信号分解为正交函数的原理与矢量分解为正交矢量的 概念相似。 为各相应方向的正交单位矢量。 它们组成一个二维正交矢量集。矢量正交分解的概念可以推广到信号空间，在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中的任意信号均可

4、表示成它们的线性组合。4.1 信号分解为正交函数Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.（3）完备正交函数集之外不存在函数 如果在正交函数集 满足等式 ，则称该函数集为完备正交函数集。 在区间 内组成完备正交函数集。对于复函数:若复函数集 在区间 满足 ，则称此复函数集为正交函数集。 Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client

5、Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.复函数集 在区间 内是完备的正交函数集。 其中 。二、信号分解为正交函数设有n个函数 在区间 构成一个正交函数空间。将任一函数 用这 个正交函数的线性组合来近似，可表示为： Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.4.2 傅里叶级数 将周期信号 在区间 内展开成完备正交信号空间中的无穷级数。如果完备的正交函数

6、集 是三角函数集或指数函数集，那么，周期信号所展开的 无穷级数就分别称为“三角形傅里叶级数”或“指数形傅 里叶级数”，统称为傅里叶级数。 Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.一、周期信号的分解设有一个周期信号 ，它的周期是 ，角频率 ，它可分解为：其中 称为傅里叶系数， 。Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Prof

7、ile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.那么,傅里叶系数如何求得呢?式中：Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.由上式可见， 是 的偶函数 ， 是 的奇函数， 由于是同频率项,因此可将其合并 Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Cop

8、yright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.式中： 则有 可见， 是 的偶函数，即有 而 是的奇函数，即有 Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.可见，任何满足狄里赫利条件的周期信号均可分解为直 流分量 ，一次谐波或基波 ，它的角 频率与原周期信号相同，二次谐波 ， 以此类推，三次，四次等谐波。 一般而言 称为 次谐波 ， 是 次谐波的振幅， 是其初相角。 *结论：周期信号可分解为各次谐

9、波分量之和。Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Pro

10、file .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.TT/ 20t(a)基波0T/ 2Tt(b)基波+三次谐波0T/ 2Tt(c)基波+三次谐波+五次谐波0T/ 2Tt(c)基波+三次谐波+五次谐波+七次谐波图 4.2-3 方波的组成Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.（1）所取项愈多，合成波形（除间断点外）愈接近于原方波信号。（2）所取项数愈多，在间断点附近，

11、尖峰愈靠近间断点。（3）即使 ，在间断点处尖峰仍不能与之吻合，有 的偏差。但在均方的意义上合成波形同原方波的真值之间没有区别。 (吉布斯现象）主体 -低频 细节-高频Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.若给定的 有某些特点，那么，有些傅里叶系数将等于零从而式计算较为简便。（1） 为偶函数则有 ，波形对称于纵坐标。 二、奇偶函数的傅里叶系数Evaluation only.Created with Aspos

12、e.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.从而有 Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.（2） 为奇函数则有 ，波形对称于原点。Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Cop

13、yright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.进而有这时有Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.如果 的前半周期波形移动 后，与后半周期波形 对称于横轴即： ，称为奇谐函数。 此时傅里叶级数展开式中将只含有奇次谐波分量，而不 含有偶次谐波分量。即 0t-TT-T/ 2f (t)T/ 21-1图 4.2-6 奇谐函数（3） 为奇谐函数Evaluation only.Created with

14、Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.例4.2-2 正弦交流信号 经全波或半波整流后的波形分别如下图所示。求它们的傅里叶级数展开式。（a）全波整流信号 （b）半波整流信号解 （1）全波整流信号图（a）的全波整流信号可写成（其周期 ， 为原正弦信号角频率 ） Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose

15、 Pty Ltd.Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.可见，它除直流外，仅含有 的偶次谐波。 Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.想一想：本题中若把 f1(t)看成以T/2为周期，则 Evaluation only.

16、Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.由于它仍是的偶函数，故 ，Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.令 ，则 对上式进行变量替换: Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Cli

17、ent Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.（2）半波整流信号图（b）的半波整流信号可写为（其周期 ）Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Asp

18、ose Pty Ltd.它的傅里叶级数可直接由下式求出Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.Evaluation only.Created with Aspose.Slides fo

19、r .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.本题也可将它分解成奇函数和偶函数两部分： Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-20

20、11 Aspose Pty Ltd.Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.讨论 关于n的奇偶性。是n的偶函数。是n的奇函数。是n的偶函数。是n的奇函数。Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.三、傅里叶级数的指数形式将上式

21、第三项中的 用 代换，并考虑到 是 的偶函数，即 ； 是 的奇函数, 则上式可写为 :Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.如将上式中的 写成 （ ）， 则上式可以写成:Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.令复数量 ，

22、称其为复傅里叶 系数，简称傅里叶系数。其模为 ，相角为 ， 则得傅里叶级数的指数形式为 Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.复傅里叶系数 Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.这就是求指数形式傅里叶级数的复系数 的公式。 任意周期信号 可分解为许多不同频率的虚指数信号 之和，其各分量的复数幅度（或相量）为 。Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Cli