测量误差分析与处理

1、 测量误差分析与处理当对同一量进行多次等精度重复测量，得到一系列不同的测量值，称为测量列。利用统计学的方法，从理论上来估计随机误差对测量结果的影响，也就是首先从测量列中求得一个最优概值，然后对最优概值的测量误差作出估计，得出测量值，这就是数据处理。 随机误差的分布规律 一、随机误差的正态分布性质测定值的随机性表明了测量误差的随机性质。随机误差就其个体来说变化是无规律的，但在总体上却遵循一定的统计规律。测量列中的随机误差： i = xiX0式中,i 测量列的随机误差，i = 1，2，3，n； xi 测量列的测量值； X0 被测量的真值。 随机误差分布的性质有界性：在一定的测量条件下，测量的随机误

2、差总是在一定的、相当窄的范围内变动，绝对值很大的误差出现的概率接近于零。单峰性：绝对值小的误差出现的概率大，绝对值大的误差出现的概率小，绝对值为零的误差出现的概率比任何其它数值的误差出现的概率都大。对称性：绝对值相等而符号相反的随机误差出现的概率相同，其分布呈对称性。抵偿性：在等精度测量条件下，当测量次数不断增加而趋于无穷时，全部随机误差的算术平均值趋于零。正态分布的分布密度函数为 式中， 标准误差（均方根误差）； e 自然对数的底。如用测定值x本身来表示，则二、正态分布密度函数与概率积分对于一定的被测量，在静态情况下，X0是一定的，的大小表征着诸测定值的弥散程度。值越小，正态分布密度曲线越尖

3、锐，幅值越大；值越大，正态分布密度曲线越平坦，幅值越小。可用参数来表征测量的精密度，越小，表明测量的精密度越高。并不是一个具体的误差，它的数值大小只说明了在一定条件下进行一列等精度测量时，随机误差出现的概率密度分布情况。在一定条件下进行等精度测量时，任何单次测定值的误差i可能都不等于，但我们认为这列测定值具有同样的均方根误差；而不同条件下进行的两列等精度测量，一般来说具有不同的值。随机误差出现的性质决定了人们不可能正确地获得单个测定值的真误差i的数值，而只能在一定的概率意义之下估计测量随机误差数值的范围，或者求得误差出现于某个区间得概率。将正态分布密度函数积分概率积分若令a=z，则直接测量误差

4、分析与处理子样平均值：代表由n个测定值x1, x2, , xn组成的子样的散布中心子样方差：描述子样在其平均值附近散布程度一、算术平均值原理 测定值子样的算术平均值是被测量真值的最佳估计值。算术平均值的意义 设x1、x2、，xn为n次测量所得的值，则算术平均值 为 算术平均值的性质 用算术平均值代替被测量的真值，则有 式中 vi xi的剩余误差； xi 第i个测量值，i=1，2，n。 （1）剩余误差的代数和等于零，即 （2）剩余误差的平方和为最小，即测定值子样平均值的均方根误差是测定值母体均方根误差的 倍。在等精度测量条件下对某一被测量进行多次测量，用测定值子样平均值估计被测量真值比用单次测量

5、测定值估计具有更高的精密度。二、贝塞尔公式 因为真值X0为未知，所以必须用残差vi来表示，即 此式称贝塞尔公式。三、测量结果的置信度 假设用 对进行估计的误差为 ，那么 。对于某一指定的区间, ， 落在该区间内的概率为 。 同样地，可以求得测定值子样平均值 落在区间, 的概率为 表示“测定值子样平均值这一随机变量出现于一个固定区间内 ”这一事件的概率； 表示“在宽度一定作随机变动的随机区间 内包含被测量真值”这一事件的概率。定义区间 为测量结果的置信区间，也称为置信限为置信区间半长，也称为误差限概率 为测量经过在置信区间 内的置信概率。危险率：置信区间与置信概率共同表明了测量结果的置信度，即测

6、量结果的可信程度。对于同一测量结果，置信区间不同，其置信概率是不同的。置信区间越宽，置信概率越大；反之亦然。一列等精度测量的结果可以表达为在一定的置信概率之下，以测定值子样平均值为中心，以置信区间半长为误差限的量 测量结果子样平均值置信区间半长（置信概率P？）在实际测量工作中，并非任何场合下都能对被测量进行多次测量，而多为单次测量。如果知道了在某种测量条件下测量的精密度参数，而且在同样的测量条件下取得单次测量的测定值，那么单次测量情况下测量结果的表达式为：测量结果单次测定值置信区间半长（置信概率P？）四、测量结果的误差评价标准误差若测量结果用单次测定值表示，误差限采用标准误差，则 测量结果单次

7、测定值x标准误差 （P=68.3%）若测量结果用测定值子样平均值表示，误差限采用标准误差，则 测量结果子样平均值x标准误差 （P=68.3%）极限误差测量列标准误差的三倍，定义为测量列的极限误差子样平均值的极限误差与测量列极限误差的关系是五、小子样误差分析与t分布 当测量次数很少时，子样平均值的标准误差很不准确，并且子样容量愈小，这种情况就愈严重。 为了在未知的情况下，根据子样平均值估计被测量真值，就须考虑一个统计量。它的分布只取决于子样容量n，而与无关。这时需引入统计量t。 定义t为t不服从正态分布，而服从t分布，其概率密度函数为式中， 是特殊函数，v是正整数，称为t分布的自由度。 当进行n

8、次独立测量时，由于t受平均值的约束，服从自由度为n1的t分布，所以 n1。t分布与母体均方根误差无关，只与子样容量n有关。 表中列有在各种自由度和置信概率下，满足式 的tp值。它表明自由度为v的t分布在区间tp，tp内的概率为P。假设一列等精度独立测定值x1，x2，xn服从正态分布，真值和均方根误差均未知。根据这一列测定值可求得算术平均值及其均方根误差的估计值： 由于 服从自由度v = n1的t分布，所以可用上式做以下的概率描述或测量结果可表示为： 测量结果 系统误差与随机误差在性质上是不同的，它的出现具有一定的规律性，不能像随机误差那样依靠统计的方法来处理，只能采取具体问题具体分析的方法，通

9、过仔细的校验和精心的试验才能发现与消除。 系统误差的分析与处理 设有一列测定值x1，x2，xn，若测定值xi中含有系统误差i，消除系统误差之后其值为xi，则xi = xi +i，其算术平均值为 式中， 是消除系统误差之后的一列测定值的算术平均值。 一、系统误差的性质 测定值xi的残差 式中，vi是消除系统误差之后的测定值的残差。由此，可以得到系统误差的两点性质：（1）对恒值系统误差，由于 ，所以vi = vi。由残差计算出的测量列的均方根误差 式中， 是消除系统误差后测量列的均方根误差。 因此，得到系统误差的性质之一：恒值系统误差的存在，只影响测量结果的准确度，不影响测量的精密度参数。如果测定

10、值子样容量足够大，含有恒值系统误差的测定值仍服从正态分布。 (2)对变值系统误差，一般有 ，所以vi vi，。 因此，得到系统误差的第二个性质：变值系统误差的存在，不仅影响测量结果的准确度，而且会影响测量的精密度参数。 二、系统误差处理的一般原则 1在测量之前，应该尽可能预见到产生系统误差的来源，设法消除之。或者使其影响减少到可以接收的程度。 系统误差的来源一般可以归纳为以下几个方面：由于测量设备、试验装置不完善，或安装、调整，使用不得当而引起的误差。由于外界环境因素的影响而引起的误差。由于测量方法不正确，或者测量方法所赖以存在的理论本身不完善而引起的误差。 2在实际测量时，尽可能地采用有效的

11、测量方法，消除或减弱系统误差对测量结果的影响。 （1）对置法：消除恒值系统误差常用的方法。 这种方法的实质是交换某些测量条件，使得引起恒值系统误差的原因以相反的方向影响测量结果，从而中和其影响。 例如，在两臂为l1,l2的天平上称重，先将被测重量x放在左边，标准砝码P放在右边，调平衡后，有 若l1与l2不严格相等，则取xP必引入恒值系统误差，此时，若将x、P交换位置，由于l1l2，P需换为P才能与x平衡，即 于是可取 这样可消除因天平臂长不等而引入的恒值系统误差。 （2）对称观测法：消除线性变化的累进系统误差最有效的方法。 若在测量过程中存在某种随时间呈线性变化的系统误差，则可以通过对称观测法

12、来消除。它就是将测量以某一时刻为中心对称地安排，取各对称点两次测定值的算术平均值作为测量结果，即可达到消除线性变化的累进系统误差的目的。 由于许多系统误差都随时间变化，而且在短时间内可认为是线性变化。因此，如果条件许可均宜采用对称观测法。（3）半周期偶数观测法：可以很好地消除周期性变化的系统误差。 周期性系统误差可表示为 其中为常数，t 为决定周期性误差的量，T为周期性系统误差的变化周期。 当t = t0时，周期性误差0为当 时， 而 。 可见，测得一个数据后，相隔t的半个周期再测一个数据，取二者的平均值，即可消去周期性系统误差。 3在测量之后，通过对测定值进行数据处理，检查是否存在尚未被注意

13、到的变值系统误差。 4最后，要设法估计出未被消除而残留下来的系统误差对最终测量结果的影响。 三、系统误差存在与否的检验一般情况下，人们不能直接通过对等精度测量数据的统计处理来判断恒值系统误差的存在，除非改变恒值系统误差产生的测量条件；但对于变值系统误差，有可能通过对等精度测量数据的统计处理来判定变值系统误差的存在。在容量相当大的测量列中，如果存在着非正态分布的变值系统误差，那么测定值的分布将偏离正态，检验测定值分布的正态性，将揭露出变值系统误差的存在。在实际测量中，往往不必作烦冗细致的正态分布检验，可以借助于考察测定值残差的变化情况和利用某些较为简捷的判据来检验变值系统误差的存在。 1根据测定

14、值残差的变化判定变值系统误差的存在 若对某一被测量进行多次等精度测量，获得一系列测定值x1，x2，xn，各测定值的残差表示为 如果测定值中系统误差比随机误差大，那么，残差vi的符号将主要由 项的符号来决定。因此，如果将残差按照测量的先后顺序排列起来。这些残差的符号变化将反映出 的符号变化，进而反映出i的符号变化。由于变值系统误差i的变化具有某种规律，因而残差vi的变化也具有大致相同的规律性。 由此可得： 准则：将测量列中诸测定值按测量的先后顺序排定，若残差的大小有规律地向一个方向变化，由正到负或者相反，则测量列中会有累进的系统误差。 准则：将测量列中诸测定值按测量的先后顺序排定，若残差的符号呈

15、有规律的交替变化，则测量列中含有周期性的系统误差。 例 对某一尺寸进行10次测量，获得如下测定值： 20.06，20.07，20.06，20.08，20.10 20.12，20.14，20.18，20.18，20.21 试判定该测量列中是否存在变值系统误差。解：计算各测定值的残差，并按先后顺序排列如下：-0.06，-0.05，-0.06，-0.04，-0.02，0，0.02，0.06，0.06，0.09 可见，残差由负变正，其数值逐渐增大，故测量列中存在累进系统误差。 2利用判据来判定变值系统误差的存在 根据残差变化情况来判定变值系统误差的存在，只有在测定值所含系统误差比随机误差大的情况下才是

16、有效的。否则，残差的变化情况并不能作为变值系统误差存在与否的依据。为此，还需要进一步依靠统计的方法来判别。下面给出几个变值系统误差存在与否的判据。这些判据的实质是以检验分布是否偏离正态为基础的。 判据1：对某一被测量进行多次等精度测量，获得一列测定值x1，x2，xn，各测定值的残差依次为v1，v2，vn。把前面k个残差和后面（nk）个残差分别求和（当n为偶数时，取k = n/2；当n为奇数时，取k = (n + 1)/2），并取其差值 若差值D显著地异于零，则测量列中含有累进的系统误差。 判据2：对某一被测量进行多次等精度测量，获得一列测定值x1，x2，xn，各测定值的真误差依次为1，2，n。

17、 设 ，若 ，则可认为该测量列中含有周期性系统误差。其中是该测量列的均方根误差。 判据2是以独立真误差的正态分布为基础的。在实际计算中，可以用残差vi来代替i。例7 试用判据1、2来判定例6中的测量列是否含有系统误差。解：计算得到各测定值的残差：-0.06，-0.05，-0.06，-0.04，-0.02，0，0.02，0.06，0.06，0.09用判据1检验因为可见，D显著地异于零，故可认为测量列中含有累进系统误差。这与准则1判定的结论相同。当测量次数无穷大时，只要D0，一般就可认为测量列中含有累进系统误差。当测量次数n有限时， D0不能说明累进误差的存在，一般采用D vmax作为判定测量列中

18、累进系统误差存在的依据。用判据2检验因为 故可判定测量列内含有周期性系统误差。这一结果在例6中未曾得到。 这说明，在判定一个测量列中是否会有变值系统误差时，联合运用上述判定变值系统误差存在与否的准则和判据是有益的。3. 利用数据比较判定任意两组数据间系统误差的存在 设对某一被测量进行m组测量，其测量结果为 任意两组测量数据之间不存在系统误差的条件是 粗大误差粗大误差是指不能用测量客观条件解释为合理的那些突出误差，它明显地歪曲了测量结果。含有粗大误差的测定值称为坏值，应予以剔除。产生粗大误差的原因：测量者的主观原因客观外界条件的原因一、拉伊达准则拉伊特准则(3准则)：如果测量列中某一测定值残差v

19、i的绝对值大于该测量列标准误差的3倍，那么可认为该测量列中有粗大误差存在，且该测定值为坏值。坏值剔除后，应重新计算新测量列的算术平均值及标准误差，并再次进行检验看余下的数据中是否还含有坏值。拉伊特准则是判定粗大误差存在的一种最简单的方法。拉伊特准则是在重复测量次数n趋于无穷大的前提下建立的，当n有限时，尤其是当n很小时（如n10），此准则就不可靠。二、格拉布斯准则 对某一被测量进行多次等精度独立测量，获得一列测定值x1，x2，xn。 为了检查测定值中是否含有粗大误差，将xi由小到大按顺序排列为格拉布斯按照数理统计理论导出了统计量的分布，取定危险率a，可求得临界值g0(n,a)，而 这样，得到了

20、判定粗大误差的格拉布斯准则：若测量列中最大测定值或最小测定值的残差有满足 者，则可认为含有残差vi的测定值是坏值，因此该测定值按危险率a应该剔除。用格拉布斯准则判定测量列中是否含有粗大误差的坏值时，选择不同的危险率可能得到不同的结果。危险率的含义是按本准则判定为异常数据，而实际上并不是，从而犯错误的概率。危险率就是误剔除的概率。例5 测某一尺寸15次，得到以下一列测定值数据（）： 20.42，20.43，20.40，20.43，20.42， 20.43，20.39，20.30，20.40，20.43， 20.42，20.41，20.39，20.39，20.40 试判断其中有无含有粗大误差的坏值

21、。解：(1)按大小顺序将测定值重新排列20.30，20.39，20.39，20.39，20.40，20.40，20.40，20.41，20.42，20.42，20.42，20.43，20.43，20.43，20.43(2)计算子样平均值和测量列标准误差(3)选取a5，查表得g0(15,5)2.41(4) 计算最大与最小测定值的残差，并用格拉布斯准则判定因故x(1)20.30在a5下被判定为坏值而剔除。(5)剔除含有粗大误差的坏值后，重新计算余下测定值的算术平均值和标准误差，查表求新的临界值，再进行判定。 故余下的测定值中已无粗大误差的坏值。间接测量误差分析与处理在间接测量中，测量误差是各个测量

22、值误差的函数。因此，研究间接测量的误差也就是研究函数误差。 研究函数误差有下列三个基本内容：已知函数关系和各个测量值的误差，求函数即间接测量值的误差。已知函数关系和规定的函数总误差，要求分配各个测量值的误差。确定最佳的测量条件，即使函数误差达到最小值时的测量条件。 一、误差传布原理设间接测量值y是直接测量值x1，x2，xm的函数，其函数关系的一般形式可表示为y = f（x1，x2，xm）假定对x1，x2，xm各进行了n次测量，那么每个xi都有自己的一列测定值xi1，xi2，xin，其相应的随机误差为 ， ， ， 。若将测量x1，x2，xm时所获得的第一个测定值代入函数关系式，可求得间接测量值的

23、第一个测定值y1，即y1 = f（x11，x21，xm1）由于测定值x11，x21，xm1与真值之间存在随机误差，所以y1与真值之间也必定有误差，记为y1。由误差的定义，上式可写为 Y+y1=f（X1+11 , X2 +21 , Xm+m1 ） 若 较小，且诸Xi是彼此独立的量，将上式按泰勒公式展开，并取其误差的一阶项作为一次近似，略去一切高阶误差项，那么上式可近似写成 同样地，将测量x1，x2，xn时所获得的第二、第三，直至第n个测定值分别代入函数关系式，可得 将上述各式相加并除以n，可求得间接测量值的算术平均值 ，也就是Y的最优概值 式中， 正好是测量xm时所得一列测定值的算术平均值 的随

24、机误差，记为 ，所以 另一方面，将直接测量x1，x2，xm所获得的测定值的算术平均值 ， , 代入函数关系式，并将其在x1，x2，xm的邻域内用泰勒公式展开，可有 将上两式进行比较，可得 由此可得出结论：间接测量值的最佳估计值可以由与其有关的各直接测量值的算术平均值代入函数关系式求得。 并且可以知道，直接测量值x1，x2，xm第j次测量获得的测定值的误差 ， ， 与其相应的间接测量值Y的误差 之间关系应为 假定 的分布服从正态分布（只有当y与x1，x2，xn之间存在线性关系时，这种假设才成立，否则只是近似成立），那么可求得y的标准误差 其中 根据随机误差的性质，若直接测量值xi彼此独立，则当测量次数无限增加时，必有 （ik） 所以 则 而 正好是第i个直接测量值xi的标准误差的平方 ，因此可得出间接测量值的标准误差 与诸直接测量值的标准误差之间如下的关系： 式中， 称为误差传递系数， 称为自变量xi的部分误差，记为Di。 由此可得出结论：间接测量值的标准误差是各独立直接测量值的标准误差和函数对该直接测量值偏导数乘积的平方和的平方根。 以上两