七年级数学竞赛培优(含解析)专题24 相交线与平行线

1、七年级数学竞赛培优(含解析)专题24 相交线与平行线 七年级数学竞赛培优(含解析)专题24 相交线与平行线 七年级数学竞赛培优(含解析)专题24 相交线与平行线 专题24 相交线与平行线 阅读与考虑 在同一平面内，两条不同直线有两种位置关系：相交或平行. 当两条直线相交或两条直线分别与第三条直线相交，就产生对顶角、同位角、内错角、同旁内角等位置关系角，擅长从相交线中识别出以上不同名称的角是解相关问题的基础，把握对顶角有公共顶点，而同位角、内错角、同旁内角没有公共顶点且有一条边在截线上，这是识图的关键 两直线平行的断定方法和重要性质是我们研究平行线问题的主要根据 1平行线的断定 (1)同位角相等

2、、内错角相等，或同旁内角互补，两直线平行； (2)平行于同一直线的两条直线平行； (3)在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行 2平行线的性质 (1)过直线外一点，有且只要一条直线和这条直线平行； (2)两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补； (3)假如一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它和另一条也垂直. 熟悉下面基本图形： 例题与求解 【例1】 (1) 如图，AB DE ，ABC 0 80，CDE 0 140，则BCD _. 安徽省中考试题 (2) 如图，已知直线AB CD ，C 0 115，A 0 25，则E _. 浙江省杭州市中考试题 七年级数学竞赛培优(含解析)专题

3、24 相交线与平行线 七年级数学竞赛培优(含解析)专题24 相交线与平行线 图 A 解题思路：作平行线，运用内错角、同旁内角的特征进行求解. 【例2】如图，平行直线AB ，CD 与相交直线EF ，GH 相交，图中的同旁内角共有( ) A 4对 B 8对 C 12对 D 16对 “希望杯邀请赛试题 解题思路：每一个“三线八角基本图形都有两对同旁内角，从对原图进行分解入手 C D B 例2题图 例3题图 【例3】 如图，在ABC 中，CE AB 于E ，DF AB 于F ，AC /ED ，CE 是ACB 的平分线，求证：EDF BDF . 天津市竞赛试题 解题思路：综合运用垂直定义、角平分线、平行

4、线的断定与性质，由于图形复杂，因而，证实前注意分解图形 【例4】 如图，已知AB CD ，EAF 41EAB ，FCF 41ECD .求证：AFC 4 3 AEC . 湖北省武汉市竞赛试题 D E C A B 图1 七年级数学竞赛培优(含解析)专题24 相交线与平行线 七年级数学竞赛培优(含解析)专题24 相交线与平行线 解题思路：分别过点E ，F 作平行线，利用平行线的性质找角之间的关系. A D 例4题图 例5题图 【例5】如图，已知1 2，C D ，求证：A F . 解题思路：从角出发，导出两直线的位置关系，再推出新的角的关系，新的两直线的位置关系，是解这类问题的基本思路. 【例6】(1

5、)已知平面内有4条直线a ，b ，c 和d ，直线a ，b 和c 相交于一点，直线b ，c 和d 也相交于一点，试确定这4条直线共有多少个交点？并讲明你的理由 (2)作第5条直线e 与(1)中的直线d 平行. 讲明：以这5条直线的交点为端点的线段有多少条？ “希望杯邀请赛试题 解题思路：(1)先设直线a ，b ，c 的交点为P ，直线b ，c ，d 的交点为Q ，证得P 与Q 实为同一点，得出结论 (2)绘出图形，帮助解答，注意平行线的性质. F A B C 1 D E 2 七年级数学竞赛培优(含解析)专题24 相交线与平行线 七年级数学竞赛培优(含解析)专题24 相交线与平行线 能力训练 A

6、 级 1在同一平面内有1a ，2a ，3a ，10a 十条直线，假如1a /2a ，2a 3a ，3a /4a ，4a 5a ， 5a /6a ，6a 7a ，那么1a 与10a 的位置关系是_. 2如图，已知AE BD ，10 130，20 30，则C _ 湖南省常德市中考试题 3如图，直线a ，b 都与直线c 相交，下列命题中，能判定a b 的条件是_把你以为正确的序号填在横线上 12； 36； 18；580 180 陕西省中考试题 第4题图 第3题图 第2题图 A E a 4. 将两张矩形纸片如下图摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一边上，则12_. 山东省烟台市

7、中考试题 5下面四个命题中正确的是( ) 七年级数学竞赛培优(含解析)专题24 相交线与平行线 七年级数学竞赛培优(含解析)专题24 相交线与平行线 A 相等的两个角是对顶角 B 和等于0 180的两个角互为邻补角 C 连结两点的最短线是过这两点的直线 D 两条直线相交所成的四个角都相等，则这两条直线相互垂直 “希望杯邀请赛试题 6下列命题 两条相交直线组成的四个角相等，则这两直线垂直 两条相交直线组成的四个角中，若有一个直角，则四角都相等 两条直线相交，一角的两邻补角相等，则这两直线垂直 两条直线相交，一角与其邻补角相等，则这两直线垂直 其中正确的有( ) A 4个 B 3个 C 2个 D

8、1个 7如图，DH EG BC ，且DC EF ，那么图中与BFE 相等的角(不包括BFE )的个数是( ) A.2 B 4 C 5 D 6 山东省菏泽地区中考试题 8如图，AB CD EF GH ，AE DG ，点C 在AE 上，点F 在DG 上，设与相等的角的个数为 m 不包括a 本身，与互补的角的个数为n 若a ，则m n 的值是( ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 第8题图 第7题图 G B H 9如图，已知AB ED ，NCB 0 30，CM 平分BCE ，CN CM ，求B 的度数 七年级数学竞赛培优(含解析)专题24 相交线与平行线 七年级数学竞赛培优(含解析)专题

9、24 相交线与平行线 10.如图，已知E 是AB ，CD 外一点，D B E ，求证：AB CD . A E N 11.平面上有10条直线，无任何3条交于一点，要使它们出现31个交点，如何安排才能办到？ 吉林省竞赛试题 A B C 12.如图，已知CD EF ，12ABC ，求证： AB /GF . 重庆市竞赛试题 七年级数学竞赛培优(含解析)专题24 相交线与平行线 七年级数学竞赛培优(含解析)专题24 相交线与平行线 B级 1. 如图，A0 60，12，则ADC的度数是_. 2如图，直线ab，那么x 的度数是_. 五城市联赛试题 第1题图第2题图 第3题图 C B A B D 3如图，把一

10、个长方形纸片沿EF折叠后，点D， C分别落在D，C的位置，若EFB0 65，则AED_. 山东省中考试题4如图，已知DEBC， 20 70，10 40，那EBA的度数是_. B D l 第4题图第5题图 5. 如图，直线kl，43322一3d0其中30 90，10 50，则4最大可能的整数值是( ) A. 1070 B1080 七年级数学竞赛培优(含解析)专题24 相交线与平行线 七年级数学竞赛培优(含解析)专题24 相交线与平行线 C1090 D1100 6. 如图，ABCDEF，EHCD于H，则BACACECEH等于( ) A1800 B2700 C3600 D4500 (北京市竞赛试题

11、7如图，两直线AB，CD平行，则123456 ( ) A6300 B. 7200 C8000 D. 9000 “希望杯邀请赛试题 C D 第6题图第7题图 8两条直线a，b相互平行，直线a上顺次有10个点A1，A2，A10，直线b上顺次有9个点B1，B2，B3，将a上每一个点与b上每一个点相连可得线段若没有三条线段相交于同一点，则这些线段的交点个数是( ) A. 90 B.1620 C.6480 D.2006 9如图，已知两条平行线AB，CD被直线EF所截，交点分别为G，H ，P为HD上任意一点，过P点的直线交HF于O点，求证：HOPAGFHPO. C D 七年级数学竞赛培优(含解析)专题24

12、 相交线与平行线 七年级数学竞赛培优(含解析)专题24 相交线与平行线 10如图，在ABC 中，AB 7，AC 11，点M 是BC 的中点，AD 是BAC 的平分线，MF AD .求FC 的长 (2021年“（数学周报）杯竞赛试题) D M B C 11平面上有七条两两不平行的直线，试证：其中必有直线的交角小于260 莫斯科八年级竞赛试题 七年级数学竞赛培优(含解析)专题24 相交线与平行线 七年级数学竞赛培优(含解析)专题24 相交线与平行线 12如图，MA 1NA 2，则A 1A 2_. 如图，MA 1NA 3，则A 1A 2A 3_. 如图，MA 1NA 4，则A 1A 2A 3A 4_

13、. 如图，MA 1NA 5，则A 1A 2A 3A 4A 5_. 从上述结论中你发现了什么规律？请在图，图，图中选一个证实你的结论. 2如图5，n NA |MA 1，则=+n A A A A 321 . 3利用上述结论解决问题：如图已知CD |AB ，AB E 和CDE 的平分线相交于F ， 140E =，求B FD 的度数. A 6 A n A 5 A 4 A 2 A 1 M N A 2 第21题 A 1 M N A 3 A 2 A 1 M N A 3 A 4 A 2 A 1 M N A 3 A 5 A 4 A 2 A 1 M N A 3 图 图 图 图 图 F E B A C D 图 七年

14、级数学竞赛培优(含解析)专题24 相交线与平行线 七年级数学竞赛培优(含解析)专题24 相交线与平行线 专题24 相交线与平行线 例1 140 过点 C 作CF AB ，则BCF ABC 80DCF 18014040，BCD 8040=40. 290 过点E 作EM AB ，AB CD ，EM CD ，AEM =18025=155. CEM =180115=65，E =AE CEM =155-65=90. 例2 D 提示：原图可分解为8个基本图形. 例3 提示：由DF CE 得，BDF =BCE ，FDE =DEC ，AC DE ，得DEC =ECA . 例4 过E 作EM AB .AB 于C

15、D ，EM CD . AEC =AEM +CEM =EAB +ECD .同理：AFC =FAB +FCD .AEC =FAB +FCD +EAF + ECF =AFC +?EAB +14+ECD =AFC +?AEC .故AFC =?AEC . 例5 提示：先证BD CE ，再证DF BC . 例6 1直线a ，b ，c ，d 共有1个交点，理由如下：设直线a ， b ， c 的交点为P ，直线b ，c ， d 的交点为Q .这意味着点P 和点Q 都是直线b 和c 的交点.而两条不同直线至多有一个交点.因而P 和Q 必为同一个点.即4条直线a ，b ，c 和d 相交于同一个点.因而这4条直线只要一个交点. (2)不妨设1中交点为O .由于作的第5条直线e 与1中的直线d 平行，所以直线e 和直线d 没有公共点，因而这些e 不过点O .而直线a ，b ，c 与直线e 必然都相交. 如下图. 设直线e 与直线a ，b ，c 分