数值分析论文

1、数值分析论文_自己写的论数值分析插值法的应用摘要:数值分析是高等学校理工科一门重要的基础课程，主要研究数学方法的 数值求解。数值分析是各种计算性科学的联系纽带和共性基础，是一门兼有基础 性、应用性和边缘性的交叉学科，数值分析中插值法包括拉格朗日插值法、牛顿插 值法、埃尔米特插值法等。本文主要介绍了牛顿插值法。关键字:数值分析;数值求解;插值法；1引言数值分析是数学学科的一个分支，是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的数学课程，也是科学计算的基础。数值分析是以各类数学问题的数值 解法作为研究对象，并结合现代计算机科学与技术为解决科学与工程中遇到的各类 数学问题提供基本的算法。它对于培养工科学生

2、利用计算机处理工程与学上出现的 计算问题尤为重要。通过该课程的学习，可以培养学生分析问题、解决问题的能力, 使学生的数学应用能力得到极大提高，它是一门兼具理论性与实践性的课程。我们 所学的课本数值分析与算法包括以下几方面的内容:矩阵与线性代数方程组、 矩阵特征值、非线性方程与方程组、代数插值法、函数逼近与拟合、数值积分与数 值微分、常微分方程数值解、连分式及其新计算方法。2数值分析中插值法插值法是一种古老的数学方法，它来自生产实践.早在一千多年前，我国科学 家在研究历法时就应用了线性插值与二次插值，但它的基本理论却是在微积分产生 以后才逐步完善的，其应用也日益广泛.特别是由于计算机的使用和航空

3、、造船、 精密机械加工等实际问题的需要，使插值法在理论上和实践上得到进一步发展.尤 其是近几十年发展起来的样条(Spline)插值，获得了极为广泛的应用，并成为计算机图形学的基础。插值法的定义插值方法是根据一组数据，如表1所示：表1插值数据表x1 x2 x3 x4 xnF(x1) F(x2) F(x3) F(x4)F(xn)求函数f ( x)的近似表达式p ( x)的 方法.插值方法的必要条件是误差函数或余项R( x) =f ( x) - p ( x)满足关系式 R( xi ) = 0 ( i = 0 ,2 , ?n)当插值函数p( x)是多项式时，称为代数插值方法.代数插值方法有Lagran

4、ge 插值方法，逐次线性插值法Newton插值方法，Hermite插值方法，分段插值方法 和样条插值方法等.其基本思想都是用高次代数多项式或分段的低次多项式作被插 函数p( x)的近似表达式。牛顿插值法先介绍差商及其性质函数关于xi，xj 一介差商二阶差商一般的k阶差商定义为特别地，f(x)关于一个点xi的零阶差商定义为函数值本身，即差商的性质：(1)差商与节点的排列次序无关，称为差商的对称性；(2)高阶差商可由低阶差商反复作一阶差商得到，计算具有递推性。由差商定义可得又代入得式中第一项为牛顿差值公式，第二项为牛顿差值余项。n=1n=2注:牛顿插值只需增加一项，拉氏插值需要重新计算。牛顿插值法

5、的特点:计算量省，便于程序设计;具有承袭性的插值公式，便于理论分析。两点说明：(1).由插值多项式的唯一性，两余项是等价的，即(2)牛顿插值法由差商表中的差商值可判断出插值多项式的次数，而拉氏插值法则要计算到最后。3应用(1)简单的数学应用例 已知函数y=f(x)的观测数据如下，试用全部节点构造牛顿差商插值多项式，并用二次插值求f(3)的近似值。0 2 4 5 6F(x) 1 5 9 -4 13解构造差商表如下f(xi) 一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商0 1 2 5 2 4 9 2 0 5 -4-13 -5 -1 6 13 -17 15 5 1 由表可知用二次插值求f (3)时，取x0=2,

6、 x1=4, x2=5,得(2)牛顿插值法在凸轮曲线修正设计中的应用凸轮机构在高速包装机械设备中应用广泛，是一种不可缺少和替代的重要机3 构。一般情况下，高速包装机械中凸轮工作廓线的设计多采用解析法，这样既4 保证了凸轮的运动特性，又便于对凸轮机构进行运动学和动力学分析，因此这就使得不同工况下，凸轮设计的解析方程式往往是不相同的。这样虽然能保证 凸轮的精度，但同时也对凸轮在实际使用中的修正提高了难度，因为只有建立新的 解析方程才能对凸轮进行修正，尤其是只需对凸轮局部曲线进行修正时，也要建立 相应的解析方程，这样就使曲线修正的工作量大增，工作效率降低。本文利用、B、C三段，在实际的使用中发现高速

7、包装机上有一凸轮，其工作廓线共有分A5A段和c段的行程符合设计要求，而B段的行程须进行修正设计。牛顿插值 法，提出了一种简单、实用的凸轮工作廓线的修正设计方法，这种方法不必再去考 虑原有解析方程的形式，只需通过对要进行修正的曲线附近的一些离散点的数据进 行处理，就能对现有凸轮工作廓线进行修正，特别适合凸轮曲线在实际使用中的局 部修正设计。轮曲线修正设计举例：已知凸轮A段曲线数据，如表1所示。表1xi 239 240 241 242 243F(xi) 14.227 14.03 13.854 13.681 13.562 已知凸轮 c 段曲线数据，如表 2 所示。表2xi 249 250 251 2

8、52 253F(xi) 13.098 13.095 13.085 13.067 13.039 由于篇幅有限，本文仅以 xi=242，243，249，250这4个点的数据用三次牛顿插值法求出口段Xi=244， 245, ？，248的数据为例进行说明，但这样的计算可能导致计算结果的误差较大。 实际操作中应使用所有上述给出的数据点进行计算，这样就能进行更高次的牛顿插 值，从而获得误差较小的计算结果。首先，对现有数据进行处理，根据牛顿插值 的定义做差商表，如表3所示。表3xi F(xi) 一介差商二阶差商三阶差商13.68113.526 -0.155249 13.098 -0.07133 0.0119

9、52250 13.095 -0.003 0.009762 -0.00027再根据牛顿插值法的定义，用差商表 中的数据进行计算：1 +(2421x(-0.155 M t-242)( r-243 lx10.011952(244)=13.394904)+(je-242 (a243 )(jt-249 )x(-0.00027)/(244)244 )= 13.394904+(-242 K243)G-249 M -0.00027)=13.394904以此方法算出B段曲线上其他点的数据，结果见表4。表4xi 244 245 246 247 248F(xi) 13.398 13.294 13.214 13.156 13.118用牛顿插值法对凸轮进行修正设计是一种简单、实用的方法，其优点为:这种 方法只须借助凸轮上一些离散的点的数值就能对凸轮曲线进行修正设计，同时掌握 的数据越多，就越能进行更高次的插值计算，所得结果的误差也就越小。当然，插 值计算是一种在现有数值的基础上进行的一种估算，因此牛顿插值只能对6凸轮曲线进行局部的修正设计，而不能对凸轮曲线进行整体设计。参考文献1李庆扬，王能超，易大义.数值分析M.武汉:华中科技大学出版1982. 2 吴才斌.插值方法J .湖北大学成人教育学院学报，1999 ,(5) 3徐萃薇，孙 绳武.计算方法引论M.北京:高等教育出版社.4王慧武