平面向量经典精品结论总结

1、平面对量 复习基本学问点及经典结论总结1、向量有关概念：（ 1）向量的概念 ：既有大小又有方向的量,留意向量和数量的区分；向量常用有向线段来表示,留意 不能说向uuur r量就是有向线段,为什么（向量可以平移）； 如已知 A（1,2 ）, B（4,2 ）,就把向量 AB 按向量 a（ 1,3 ）平移后得到的向量是 _（答：（3,0 ）（ 2）零向量 ：长度为 0 的向量叫零向量,记作：0 ,留意 零向量的方向是任意的；|uuur uuur AB AB| ；（ 3）单位向量 ：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量uuur 与 AB共线的单位向量是（ 4）相等向量 ：长度相等且方向相同的两个向量叫

2、相等向量,相等向量有传递性；（ 5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量 a 、 b 叫做平行向量,记作：a b ,规定零向量和任何向量平行；提示 ：相等向量肯定是共线向量,但共线向量不肯定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线 , 但两条直线平行不包含两条直线重合； 平行向量无传递r uuur uuur性！（由于有 0 ；三点 A、 、C 共线 AB、AC 共线；（ 6）相反向量 ：长度相等方向相反的向量叫做相反向量；a 的相反向量是a ；r r r r如 以下命题：（1）如 a b,就 a b；（ 2）两个向量相等的充要条件是它们的起

3、点相同,终点相同；（3）如uuur uuur uuur uuur r r r r r rAB DC,就 ABCD 是平行四边形； （4）如 ABCD 是平行四边形,就 AB DC；（ 5）如 a b b c,就 a c；（ 6）r r r r r r如 a / , / c,就 a / c；其中正确选项 _（答：（4）（5）2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示,如 AB ,留意起点在前,终点在后；（2）符号表示法： 用一个小写的英文字母来表示,如 a ,b , c 等；（3）坐标表示法： 在平面内建立直角坐标系,以与 x 轴、r r ry 轴方向相同的两个单位向量 i ,

4、 j 为基底,就平面内的任一向量 a 可表示为 a xi y j x y,称 ,x y 为向量 a 的坐标, a ,x y叫做向量 a 的坐标表示；假如 向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同；3. 平面对量的基本定理：假如 e1 和 e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量 a,有且只r r有一对实数 1、2,使 a= 1e12e2；如（ 1）如 a 1,1, b1, 1, rc 1,2,就 c r_ （答：1a r 3b r）；（ 2） 以下向量组中,能作为平面内全部向量基底的是 A. 2 2e ur1 0,0, e uur2 1, 2 B. e ur1 1

5、,2, e uur2 5,7 C. ure 1 3,5, uure 2 6,10 D. ure 1 2, 3, e uur2 1 , 3 （答：B）；（ 3）2 4uuur uuur uuur r uuur r uuur r r已知 AD BE 分别是 ABC 的边 BC AC 上的中线 , 且 AD a BE b , 就 BC 可用向量 a b 表示为 _（答：2 a r 4 b r）；（4）已知 ABC中,点D在BC边上,且 CD 2 DB,CD r AB s AC,就 r s 的值是 _（答： 0）3 3r r4、实数与向量的积：实数 与向量 a 的积是一个向量, 记作 a ,它的长度和

6、方向规定如下：1 a a , 2当0 时,a 的方向与 a 的方向相同, 当0；当 P 点在线段 P 1 P 2 的延长线上时1；当 P 点在线段P 2 P1 的延长线上时10；如点 P 分有向线段uuuur PP 2所成的比为,就点 P分有向线段uuuur P P 1所成的比为1 ；如如点 P 分 AB uuur所成的比为3uuur,就 A 分 BP所成的比为 _（答：7 3）4（ 3）线段的定比分点公式：设P x 1,y 1、 2 P x2,y2, , P x y 分有向线段uuuur PP 2所成的比为,就xx 1x 21y 2,y 1y1 , x y ,xx 12x2特殊地,当1 时,

7、就得到线段P1 P2 的中点公式yy 12y2；在使用定比分点的坐标公式时,应明确x 1,y 1、x2,y2的意义,即分别为分点,起点,终点的坐标；在详细运算时应依据题设条件,敏捷地确定起点,分点和终点,并依据这些点确定对应的定比标为 _（答： 6,7）；（2）已知31；如（ 1）如 M（-3 ,-2 ）, N（6,-1 ）,且 MP MN,就点 P的坐3A a ,0, B 3,2 a ,直线 y 1ax 与线段 AB交于 M ,且 uuuurAM 2 uuurMB,就2a 等于 _（答：或）11. 平移公式：假如点 P x y , 按向量 a rh k 平移至 P x , y ,就 x x

8、h；曲线 f , 0 按向量y y kra h k 平移得曲线 f x h y k 0 . 留意 ：（ 1）函数按向量平移与平常“ 左加右减” 有何联系（2）向量平移r r具有坐标不变性；如（ 1） 按向量 a 把 2, 3 平移到 1, 2 ,就按向量 a 把点 7,2 平移到点 _（答：（,）；（2）函数 y sin 的图象按向量 a 平移后,所得函数的解析式是 y cosx 1,就 a _（答： 1,）412、向量中一些常用的结论：（ 1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量,要留意运用；r r r r r r r r r r r r r（ 2） | a | | b | | a b

9、| | a | | b |,特殊地,当 a b、 同向或有 0 | a b | | a | | b |r r r r r r r r r r r r r r r r r| a | | b | | a b |； 当 a b 反 向 或 有 0 | a b | | a | | b | | a | | b | | a b |； 当 a b 不 共 线r r r r r r| a | | b | | a b | | a | | b | 这些和实数比较类似 .（ 3）在 ABC 中,如 A x y 1 , B x 2 , y 2 , C x y 3,就其重心的坐标为 G x 1 x 2 x 3, y 1

10、 y 2 y 3；3 3如如 ABC的三边的中点分别为 （2,1）、（ -3 ,4）、（ -1 ,-1 ）,就 ABC的重心的坐标为 _（答： 2 4 , ）；3 3uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r PG 1 3 PA PB PC G 为 ABC 的重心,特殊地 PA PB PC 0 P 为 ABC 的重心；uuur uuur uuur uuur uuur uuur PA PB PB PC PC PA P 为 ABC的垂心；uuur uuur向量 uuur AB uuur AC 0 所在直线过 ABC 的内心 是 BAC 的角平分线所在直线 ；| AB | | AC |uuur uuur uuur uuur uuur uuur r | AB PC | BC | PA | CA PB 0 P ABC的内心；（ 3）如 P 分有向线段 uuuurPP 2 所成的比为,点 M 为平面内的任一点,就 uuurMP uuuurMP 1 uuuurMP 2,特殊地 P 为 P P 的1中点 uuurMP uuuurMP 1 uuuurMP 2；2uuur uuur uuur uu