结构力学之渐近法

1、渐近法第七章9/19/202211、线性代数方程组的解法:直接法渐近法2、结构力学的渐近法力学建立方程，数学渐近解不建立方程式，直接逼近真实受力状态。其突出的优点是每一步都有明确的物理意义。3、位移法方程的两个特点:(1)每个方程最多是五项式；(2)主系数大于副系数的总和，即 kii kij， 适于渐近解法。4、不建立方程组的渐近解法有：(1)力矩分配法：适于连续梁与无侧移刚架。(2)无剪力分配法：适于规则的有侧移刚架。(3)迭代法：适于梁的刚度大于柱刚度的各种刚架。它们都属于位移法的渐近解法。kiikikkijkirkis7-1 渐近法概述9/19/202227-2 力矩分配法的基本概念力矩

2、分配法理论基础：位移法；计算对象：杆端弯矩；计算方法：逐渐逼近的方法；适用范围：连续梁和无侧移刚架。表示杆端对转动的抵抗能力。在数值上 = 仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。1SAB=4i1SAB=3iSAB=i1SAB=0SAB与杆的i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及远端支承有关，而与近端支承无关。一、转动刚度S：9/19/20223分配系数SAB = 4i1SAB= 3i11SAB= i二、分配系数 设A点有力矩M，求MAB、MAC和MADCABDiABiACiADM如用位移法求解：MMABMACMAD于是可得9/19/20224三、传递系数MAB = 4 iAB AMB

3、A = 2 iAB AMAB = 3iABAMAB= iABAMBA = - iAB A 在结点上的外力矩按各杆分配系数分配给各杆近端截面，各杆远端弯矩分别等于各杆近端弯矩乘以传递系数。AlAB近端远端ABAAAB9/19/20225基本运算ABCMABMBAMBCABCMABPMBAPMBCPMBMBMBAMBCMB=MBA+MBCABC-MB0-MB+=最后杆端弯矩：MBA =MBAP+MBC =MBCP+MAB=MABP+然后各跨分别叠加简支梁的弯矩图，即得最后弯矩图。固端弯矩带本身符号7-3 单结点的力矩分配9/19/20226例1. 用力矩分配法作图示连续梁的弯矩图。3m3m6mEI

4、EI200kN20kN/m（1）B点加约束ABC200kN20kN/mMAB=MBA=MBC=MB=MBA+ MBC=-150150-90（2）放松结点B，即加-60进行分配60ABC-60设i =EI/l计算转动刚度：SBA=4iSBC=3i分配系数：0.5710.429分配力矩:-34.3-25.7-17.20+(3) 最后结果。合并前面两个过程ABC0.5710.429-150150-90-34.3-25.7-17.20-167.2115.7-115.70167.2115.730090M图(kNm)ABC=9/19/202277-4 多结点的力矩分配ABCDBCMBAMBCMCBMCDM

5、ABMBMCmBAmBCmCB-MB放松，平衡了MC固定放松，平衡了-MC固定固定放松，平衡了渐近运算9/19/20228CB例1.用力矩分配法列表计算图示连续梁。ABCD6m6m4m4mEI=1EI=2EI=120kN/m100kN0.40.60.6670.333m-6060-100100分配与传递-33.3-66.7-33.429.4442214.7-14.7-7.3-7.34.42.92.2-1.5-0.7-0.70.30.41.50.2-43.692.6-92.641.3-41.3Mij043.692.6133.141.3ABCD21.9M图（kNm）9/19/20229ABCD6m6

6、m4m4mEI=1EI=2EI=120kN/m100kN43.6133.141.321.9M图（kNm）92.6ABCDABCD51.868.256.443.66.9Q图（kN）求支座反力68.256.4B124.69/19/202210上题若列位移法方程式，用逐次渐近解法：(1)将上式改写成(2)余数(3)BC第一次近似值24-66.67-8202.4-6.672-0.80.24-0.670.2-0.08结 果B=48.84C=-82.89精确值48.88-82.06 MBC= 4iBCB+2 iBCC-100 =9/19/202211 1）单结点力矩分配法得到精确解；多结点力矩分配法得到渐

7、近解。 2）首先从结点不平衡力矩绝对值较大的结点开始。 3）结点不平衡力矩要变号分配。 4）结点不平衡力矩的计算：结点不平衡力矩（第一轮第一结点）固端弯矩之和（第一轮第二、三结点）固端弯矩之和 加传递弯矩传递弯矩（其它轮次各结点）总等于附加刚臂上的约束力矩5）不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和传递系数），但可 以同时放松所有不相邻的结点，以加快收敛速度。力矩分配法小结：9/19/2022120.222111ABCDFEBCmBA= 40kNmmBC= - 41.7kNmmCB= 41.7kNm0.30.40.30.4450.33340-41.7-41.7-18.5-9.3-13.9-9

8、.33.33.34.42.2-1.0-0.5-0.7-0.50.150.150.2-4.651.65-0.250.0743.453.45-46.924.4-9.8-14.61.72-4.9043.546.924.514.73.451.79.84.89M图例2.4m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE9/19/202213ABC1m5m1mEI=常数D50kN5/61/65025-20.8-4.2-20.8+20.8+50例3. 带悬臂杆件的结构的力矩分配法。50kNmABMM/2ABC1m5m1mEI=常数D50kN9/19/2022144EI4EI2EI2EI用力矩分配法计算，作M图

9、。取EI=5i=4i=4i=2.5i=2.52kN/m20kN5m5m1m4m20kN20结点杆端AEBCFABEBBEBABCCBCFFCm0.2630.3160.4210.6150.38500031.2520.8320.8300(20)2.74 3.29 4.391.372.20MB=31.2520.83=10.42MC=20.83202.2=1.370.84 0.530.270.420.10 0.14 0.180.050.09 ABCEF9/19/2022152.85结点杆端AEBCFABEBBEBABCCBCFFCm0.2630.3160.4210.6150.38500031.2520

10、.8320.8300(-20)2.74 3.29 4.391.372.200.84 0.530.270.420.10 0.14 0.180.050.090.06 0.030.020.030.01 0.01 0.01M01.4227.8024.9619.940.560.29计算之前,去掉静定伸臂,将其上荷载向结点作等效平移。有结点集中力偶时,结点不平衡力矩=固端弯矩之和结点集中 力偶(顺时针为正)9/19/20221620kN/m3m3m3m2iiiiii4i2iSAG=4i20kN/m1.5miiACEGHSAC=4iSCA=4iSCH=2iSCE=4iAG=0.5AC=0.5CA=0.4CH

11、=0.2CE=0.4结点杆端ACEAGACCACHCECHm0.50.50.40.20.4159/19/2022170.50.50.40.20.4157.5 7.53.751.50 0.75 1.50 0.75 0.750.37 0.380.190.08 0.03 0.08 0.04 0.040.02 0.02结点杆端ACEAGACCACHCECHmM7.117.112.360.781.580.7920kN/m7.110.791.582.630.791.587.112.630.78M图（kN.m)9/19/202218例、 求矩形衬砌在上部土压力作用下的弯矩图。l1l2qqABDCEI1I2qEBF解：取等代结构如图。 设梁柱的线刚度为i1，i22i12i222iSBF=21iSBE=212iiiBF+=m211iiiBE+=m12)2(32121qllqmBE=212iii+i211ii+BEBF9/19/202219ABDCEFBEBF212iii+i211ii+mMM图当竖柱比横梁的刚度大很多时(如i220i1),梁端弯矩接近于固端弯矩ql2/12。此时竖柱对横梁起固定支座的作用。当横