二项式定理1版块六二项式定理的应用3近似计算或估计学生版

1、二匸知识内容1二项式定理二项式定理(a + b - C0an + Cian-ib + C2an-2方2 +. + Cnbn (n e N*) TOC o 1-5 h z nnnn这个公式表示的定理叫做二项式定理二项式系数、二项式的通项C 0 an + C1 an-1b + C 2 an-2b2 + . + Cnbn 叫做(a + b )n 的二项展开式，其中的系数 nnnnCr （r - 0,1,2,., n）叫做二项式系数，式中的Cwb叫做二项展开式的通项，用T表示,nnr 十 1即通项为展开式的第r + 1项：T - Cran-rbr .r十1n二项式展开式的各项幂指数二项式（a + b）

2、n的展开式项数为n +1项，各项的幕指数状况是各项的次数都等于二项式的幕指数n .字母a的按降幕排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零，字母b按升幕排列，从 第一项起，次数由零逐项增1直到n .几点注意通项T - Cran-rbr是（a + b、的展开式的第r +1项，这里r - 0, 1, 2, ., n .r十1n二项式（a + b的r +1项和（b + a的展开式的第r +1项Crbn-rar是有区别的，应用二项式n定理时，其中的a和b是不能随便交换的.注意二项式系数（Cr ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而n项的系数有时可为负通项公式是（a + b丄这个标准

3、形式下而言的，如（a-b丄的二项展开式的通项公式是T -（-1 Cran-rbr （只须把-b看成b代入二项式定理）这与T - CrQn-rbr是不同的，在这 r十1nr十1 n里对应项的二项式系数是相等的都是Cr，但项的系数一个是(-l)rCr，一个是C，可看出, n n n二项式系数与项的系数是不同的概念设 a = 1, b = X，贝I得公式：(1 + x)n = 1 + ClX + C2x2 + . + Crxr + . + Xn .nnn通项是T = Cran-rbr (r = 0,1,2,., n)中含有T , a, b, n, r 五个元素，r十1nr十1只要知道其中四个即可求第

4、五个元素当n不是很大，|x比较小时可以用展开式的前几项求(1+ x)n的近似值.2二项式系数的性质杨辉三角形：对于n是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可 以直接用杨辉三角计算杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是 1其余各数都等于它肩上两个数字的和” 二项式系数的性质：(a + 展开式的二项式系数是：C 0, C1, C 2,., Cn，从函数的角度看Cr可以看成是r为自n n nnn变量的函数f (r)，其定义域是:0, 1, 2, 3,n.当n = 6时，f (r)的图象为下图:20E68这样我们利用“杨辉三角”和n = 6时8这样我们利用“杨辉

5、三角”和n = 6时f的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质.对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由公式Cm =n*n-m得到.n增减性与最大值如果二项式的幕指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大由于展开式各项的二项式系数顺次是小n (n -1)Co = 1, Ci =, C2 =nn 1 n 2n(n - 1)(n - 2)C 3 =,n 123n (n n (n - 1)(n - 2)-(n - k + 2), Ck =nCk-1 =n123 (k -1)n (n 1)(n 2 ).(n k

6、+ 2 )(n k +1)123(k - l)k，Cn =1 n其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1 的数（如 n,n-1, n-2, ），分母是乘以逐次增大的数（如1， 2， 3，）因为，一个自然数乘以 一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k依次取1, 2, 3,等值时， Cr 的值转化为不递增而递减了又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，n 所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间当n是偶数时，n +1是奇数，展开式共有n +1项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为C；.n当n是奇数时，n +1是偶数，展开式共有n +1项，所以有中间两项.这两项的二项式系数相等并且最大，最大为C=CT .nn二项式系数的和为 2n，即 C0 + C1 + C2 +. + Cr +. + Cn = 2n.n n nnn奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C0 + C2 + C4 +. = C1 + C3 + C5 +. = 2n-1 .