固定收益证券：第七章 利率期限结构：动态模型

1、第七章 利率期限结构：动态模型 利率期限结构：动态模型动态利率模型概述仿射利率期限结构模型HJM分析框架与无套利模型动态利率模型参数的估计与校准学习目标：在学习完本章之后，你应该能够理解和掌握动态利率期限结构模型的基本原理仿射模型基本框架及常见的仿射模型HJM模型分析框架及常见的无套利动态利率模型LIBOR市场模型动态利率模型的参数估计与校准 动态利率模型概述动态利率模型的基本框架动态利率模型的评价标准动态利率模型的分类与演进动态利率模型的基本框架动态利率模型的建模对象瞬时利率：货币市场账户：贴现因子（零息票债券）瞬时远期利率与到期收益率：动态利率模型的基本框架动态利率模型的建模随机微分方程动

2、态利率模型的基本框架动态利率模型的建模偏微分方程法（无套利法）用两个债券构造组合W权重W1、 W2使得动态利率模型的基本框架偏微分方程法（无套利法）组合W的随机过程整理可得到瞬时利率的市场风险价格由于债券是任意选取的，因此对于任意债券有动态利率模型的基本框架等价鞅测度法存在一个市场风险价值使得不同世界的风险源满足 则风险中性世界的债券价格满足 动态利率模型的基本框架动态利率模型与静态利率模型的比较信息含量拟合度建模对象输入信息输出信息动态利率模型的评价标准动态利率模型的评价利率的均值回归特征：长期来看，利率总围绕一个相对稳定的长期水平上下波动利率的分布特征：现实中的利率分布通常具有肥尾、非对称

3、分布等特征。利率期限结构长短端变动不一致的特征：现实中的长期、短期利率出现幅度、甚至是方向不一的变化。利率波动率的特征：利率的波动率与利率水平有关动态利率模型隐含的利率波动率曲线是否合理也是模型优劣的判断标准之一。动态利率模型的分类与演进均衡模型Merton模型Vasicek模型CIR模型等无套利模型（HJM框架）Ho-Lee模型Hull-White模型等 仿射利率期限结构模型引例：最简单的动态利率模型Vasicek模型及其扩展CIR模型及其扩展仿射模型的一般形式引例：最简单的动态利率模型Merton模型风险中性测度下零息债价格Vasicek模型及其扩展Vasicek模型风险中性测度下零息票债

4、券价格Vasicek模型及其扩展Vasicek模型债券期权价格Vasicek模型及其扩展Vasicek模型的基本性质均值回复，回复速度长期利率收敛短期利率波动率大于长期可能出现负利率无法刻画驼峰状利率波动率曲线Vasicek模型及其扩展Hull-White 单因子模型风险中性 其中 是模型与利率期限结构的接口，能够满足任何利率期限结构的形状Vasicek模型及其扩展Hull-White 单因子模型零息票债券价格特点继承了Vasicek大部分的优缺点，但是可以完全拟合利率期限结构Vasicek模型及其扩展Hull-White双因子模型风险中性世界其中 是和利率期限结构模型的接口Vasicek模型

5、及其扩展Hull-White双因子模型其中Vasicek模型及其扩展Hull-White双因子模型零息票债券价格Vasicek模型及其扩展Hull-White双因子模型零息票债券价格Vasicek模型及其扩展Hull-White双因子模型零息票债券价格Vasicek模型及其扩展Hull-White双因子模型的性质两个风险源对利率波动率期限结构的拟合效果增加长短期利率不再完全相关校准出模型的参数非常复杂CIR模型及其扩展CIR模型风险中性世界中其中 、 和 均为常数且大于0，且与Vasicek不同之处不会出现负利率波动率与利率水平成正比CIR模型及其扩展CIR模型CIR模型零息票债券的价格其中C

6、IR模型及其扩展CIR模型CIR模型零息票债券期权的价格其中CIR模型及其扩展CIR模型的特点 利率非负均值回归较为合理的利率波动率特征难以充分拟合实际的利率期限结构难以刻画短期利率与长期利率的不同变动仿射模型的一般形式Longstaff-Schwartz模型状态变量所服从的随机过程利率与波动率与状态变量的关系仿射模型的一般形式LS模型利率与波动率的动态过程仿射模型的一般形式一般的仿射模型利率与状态变量关系状态变量所服从的过程其中仿射模型的一般形式仿射模型下零息票债券的价格其中参数满足该常微分方程组的初始条件为：仿射模型仿射模型的优势给定瞬时利率的随机过程，我们并不需要求解偏微分方程或公式，而

7、直接通过求解式就可以很方便地得到债券价格的解析解，极大地降低了模型分析的工作量。仿射模型的不足之处仿射模型采用线性形式，而对仿射模型定价误差的研究表明，仿射模型定价误差的存在可能是由于忽略了一些非线性因素。这也引发了研究人员考虑更复杂的模型形式，例如二次模型，或者考虑更多的风险源，例如跳跃模型等。 HJM分析框架与无套利模型HJM分析框架无套利模型LIBOR市场模型HJM分析框架与无套利模型HJM分析框架瞬时远期利率在现实测度下积分可得并且HJM分析框架与无套利模型HJM分析框架根据之前远期利率与零息票债券的关系其中HJM分析框架与无套利模型HJM分析框架根据伊藤引理，以及上式对t求偏可得经过

8、测度变换则，在风险中性世界中有HJM分析框架与无套利模型HJM分析框架注意到在风险中性世界中零息票债券的漂移了必须为无风险利率，因此 必须为0，则HJM分析框架与无套利模型HJM分析框架将上市代回远期利率的等式其中所以风险中性测度下HJM分析框架与无套利模型HJM分析框架该式反映了它在无套利条件下，风险中性测度下瞬时远期利率的漂移项是波动项的函数，由于这里假设风险中性测度和现实测度下的波动项是相同的。因此，在HJM框架下，市场风险价格的设定并不影响瞬时远期利率和瞬时利率在风险中性测度下的漂移项，从而也就不会对资产定价产生影响无套利模型连续时间的无套利模型HJM框架下的波动率为常数的模型零息票债

9、券的价格无套利模型连续时间的无套利模型单一风险源且波动项为时间的函数此时瞬时远期利率的过程可以写成瞬时利率的过程可以写成无套利模型离散时间的无套利模型Ho-Lee模型其中无套利模型离散时间的无套利模型Ho-Lee模型对应的债券无套利模型BDT离散模型利率树债券树图无套利模型BDT利率树图如何到债券树图？即期利率树图与波动率曲线算出到期收益率树图波动率满足波动率期限结构节点重合通过到期收益率转化成债券价格无套利模型其他的无套利模型BDT的连续形式BK模型LIBOR市场模型基本原理我们可以找到某些测度，其对应的计价单位是市场中人们熟悉的资产，而在这些测度下，某些特定变量服从鞅过程，为某些金融资产定

10、价非常便利。LIBOR市场模型正是为了给市场上的不同产品定价将测度转换到方便定价的各个世界中。风险中性测度：以货币市场账户作为计价单位远期测度：以零息票债券价格作为记账单位互换测度：以年金现值因子作为计价单位LIBOR市场模型LFM在LFM中远期利率服从鞅过程其中 为 远期测度下的标准布朗运动LIBOR市场模型LSM在互换测度下，远期互换利率的随机过程LIBOR市场模型LFM与LSM的异同相似性：都给出了某一测度下某种利率遵循的鞅过程，并通过假设某种测度下的波动率为时间的确定性函数得到该利率的分布，并可由此得出相应产品价格的解析解。其中的漂移项都是波动项的函数，波动项完全决定了整个随机过程。不同之处：两者研究的是不同测度下不同利率的变化过程。LFM模型考察的是远期测度下的远期利率过程，其结论是远期利率在该测度下服从对数正态分布LSM模型考察的是互换测度下的远期互换利率过程，并得出远期互换利率在该测度下服从对数正态分布的结论LFM模型和LSM模型存在内在的矛盾。第四节动态利率模型参数的估计与校准 动态利率模型的参数估计与校准动态利率模型的参数估计动态利率模型的参数校准动态利率模型的参数估计极大似然估计以CKLS为例首先离散化之后计算似