材料力学第四章弯曲内力

1、材料力学第四章弯曲内力材料力学第1页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学4.1 弯曲的概念和实例弯曲内力/弯曲的概念和实例第2页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学q弯曲：杆件受到垂直于杆轴线的外力即横向力或受到位于杆轴平面内的外力偶作用时，杆的轴线由直线弯成曲线。轴线以弯曲为主要变形的杆件称之为梁。弯曲内力/弯曲的概念和实例一. 弯曲的概念第3页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学工程中常见的梁，其横截面均有对称轴，例如：弯曲内力/弯曲的概念和实例矩形梁圆截面梁工形梁T形梁第4页，共108页，2022年，5月

2、20日，22点4分，星期四材料力学轴线纵向对称面FqM梁弯曲后的轴线梁所受外力和弯曲后的轴线都在纵向对称面上。通过梁轴线和截面对称轴的平面。弯曲内力/弯曲的概念和实例纵向对称面：平面对称弯曲：概 念 图 解横截面对称轴第5页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学二. 弯曲实例杠铃横杠第6页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学起重机横梁第7页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学第8页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学4.2 受弯杆件的简化弯曲内力/受弯杆件的简化第9页，共108页，20

3、22年，5月20日，22点4分，星期四材料力学 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析计算，应对受弯杆件进行必要的简化，抽象出计算简图。1.构件本身的简化2.载荷的简化3.支座的简化一.受弯杆件的简化第10页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学1.构件本身的简化通常取梁的轴线代替梁。第11页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学2.载荷的简化通常将载荷简化为集中载荷和均布载荷。F1F2桥面板作用在钢梁的力第12页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学均布载荷（设载荷为F，长度为L）：q=F/Lq为单位长

4、度内的载荷，称为载荷集度。第13页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学3.支座的简化（1）固定铰支座两个约束，一个自由度（2）可动铰支座一个约束，两个自由度第14页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学（3）固定端XAYAMAA三个约束，无自由度第15页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学弯曲内力/受弯杆件的简化二.静定梁的基本形式静定梁： 支座反力可由静力平衡方程完全求出。静定梁分类：简支梁外伸梁悬臂梁第16页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学（a）简支梁（c）悬臂梁（b）外伸梁弯

5、曲内力/受弯杆件的简化第17页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学第18页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学弯曲内力/剪力和弯矩4.3 剪力和弯矩第19页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学一.弯曲内力的含义 设有一简支梁AB，受集中力F作用。现分析距A端为x处的横截面m-m上的内力。xALBFabmm第20页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学x1.根据平衡条件求支座反力2.求m-m截面上的内力AxmmM剪力 使截面不产生移动弯矩M 使截面不产生转动oALBFabmm第21页，共

6、108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学AxmmMo注：弯曲时横截面上的内力 既包括剪力又包括弯矩。第22页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学弯曲内力/剪力和弯矩 为使同一位置处两侧截面上内力分量必须具有相同的正负号，根据梁的变形来规定内力的符号。思考： 如截取m-m截面右段梁， 则内力方向有何改变？第23页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学剪力FS 符号规定：规定产生顺时针转动效果的剪力为正，反之为负。概括为“左上右下，剪力为正”。弯曲内力/剪力和弯矩第24页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期

7、四材料力学使梁弯曲呈下凸的弯矩为正，反之则为负。 概括为“左顺时针右逆时针，弯矩为正”。压拉弯曲内力/剪力和弯矩弯矩M 符号规定：第25页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学二. 弯曲内力的计算练习qAB4aaaC练习一：简支梁受力如图，试求C截面（跨中截面）上的内力。第26页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学1.根据平衡条件求支座反力qAB4aaaC第27页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学2.求C截面（跨中截面）上的内力qAaC弯曲内力/剪力和弯矩第28页，共108页，2022年，5月20日，22点4分

8、，星期四材料力学qBaC如以右侧梁作为研究对象，则：弯曲内力/剪力和弯矩第29页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学弯曲内力/剪力和弯矩总结：截面法求内力的注意事项1.切一刀：2.取一段：3.加内力：4.列平衡：按指定截面和指定要求切；取简单的一段；内力（必须）为正方向；平衡方程中的正负号。第30页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDF练习二： 一外伸梁受力如图所示，试求（1）C截面上的内力；（2）B左和B右截面上的内力；（3）分析B左和B右截面上内力的相互关系。第31页，共108页，

9、2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDF1.根据平衡条件求支座反力弯曲内力/剪力和弯矩第32页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学2、求指定横截面上的剪力和弯矩AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDF弯曲内力/剪力和弯矩FSC() + q1() FAy() =0FSC=1KNM(逆) +q10.5 (逆) +Mo(逆) -FAy2 (顺) =0M= 3KNm（2）求C截面上的内力第33页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学（3）求B左截面上的内力AB1m1m

10、1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDF弯曲内力/剪力和弯矩FSB左=3KNM= 5KNm第34页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学（4）求B右截面上的内力AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDF弯曲内力/剪力和弯矩FSB右=4KNM= 5KNm第35页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDF弯曲内力/剪力和弯矩（5） B左右截面内力的关系第36页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学弯曲内力/剪力和弯矩结论 在集中力作用处的截面两侧，剪力

11、有突变，而弯矩没有变化。第37页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学ABqFCa2a练习三：一外伸梁受力如图，分析D左截面和D右截面上内力的相互关系。a/2M0D第38页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学 在集中力偶作用处的截面两侧，弯矩有突变，而剪力没有变化。结论第39页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学弯曲内力/剪力和弯矩完成课本118页例4.1第40页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学4.4 剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图第4

12、1页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图一.剪力方程和弯矩方程 在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面的位置而变化。（如图）AB1m1m1m3mq=2KN/mP=2KNEDF第42页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学 因此，剪力和弯矩均可表示为截面位置x的函数，即 称为剪力方程和弯矩方程。FS=FS(x) M=M(x)弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图第43页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图思考： 一般情

13、况下梁横截面上的剪力和弯矩随截面的位置而变化，在解题的时候，如何对梁进行分段？利用控制截面分段控制截面指外力规律发生变化的截面，例如集中力、集中力偶的作用点、分布载荷的起点和终点对应的横截面。以控制截面为分界线，将梁进行分段，各段单独列剪力方程和弯矩方程。第44页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学AB1m1m1m3mq=2KN/mP=2KNEDF练习：利用控制截面法将梁进行分段弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图5个控制截面，将梁分为段第45页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学xx二.剪力图和弯矩图弯曲内力/剪力方程和弯矩方程

14、 剪力图和弯矩图用图示的方法表示剪力和弯矩沿轴线的变化情况。剪力图：弯矩图：第46页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学绘制剪力图和弯矩图的注意事项：1.横坐标要与杆件长度相对应；2.纵坐标要标明数值大小及正负;3.纵坐标大小要成比例；4.是一条连续的图线，不能间断；5.在图上要画出阴影线.第47页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学练习一：悬臂梁受力如图所示，列出梁的剪力方程和弯矩方程， 作出梁的剪力图和弯矩图，并求出梁的FSmax和Mmax 及其所在截面位置。Pm=PaACBaa第48页，共108页，2022年，5月20日，22点4分

15、，星期四材料力学Pm=PaACBaa1.列出梁的剪力方程和弯矩方程弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图不同截面上的内力是不同的，因此，先利用控制截面法将梁进行分段第49页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学求AB段的剪力和弯矩：Pm=PaACBaax(1) 切一刀(2) 取一段(3) 加内力(4) 列平衡m=Pa第50页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学求BC段的剪力和弯矩：Pm=PaACBaa(1) 切一刀(2) 取一段(3) 加内力(4) 列平衡xxm=PaP第51页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材

16、料力学2.作梁的剪力图和弯矩图-PPa弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图Pm=PaACBaaAB段：BC段：第52页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学3.求FSmax和Mmax （在AB段的各横截面上）（在BC段的各横截面上）Pm=PaACBaa-PPa第53页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学 注意：1. 在列梁的剪力方程和弯矩方程时，参数x可以从坐标原点算 起，也可从另外的点算起，仅需要写清楚方程的适用范围 （x的区间）即可。2. 剪力、弯矩方程的适用范围，在集中力（包括支座反力）作 用处，F S(x)应为开区间，因在该

17、处剪力图有突变；而在集中 力偶作用处，M(x)应为开区间，因在该处弯矩图有突变。3. 若所得方程为x的二次或二次以上方程时，则在作图时除计 算控制截面的值外，应注意曲线的凹凸向及其极值。弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图第54页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学练习二：外伸简支梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩方程，作出梁的剪力图和弯矩图。ABqF=qaCa2a第55页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学ABqF=qaCa2a1.根据平衡条件求支座反力弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图第56页，共108页，20

18、22年，5月20日，22点4分，星期四材料力学2.分段列剪力方程和弯矩方程CA段:弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图ABqF=qaCa2ax第57页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学AB段 :x弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图ABqF=qaCa2a第58页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学ABqF=qaCa2a3.作剪力图-qaCA段:AB段 :第59页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学ABqF=qaCa2a4.作弯矩图-qaCA段:AB段 :AB段的弯矩为二次函数，必须求极值，方法

19、如下：第60页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学 弯矩为二次函数时,在剪力为零的位置,弯矩出现极值。结论 弯矩的凹凸性由均布载荷的方向决定。第61页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图相似题目课本119页例4.2、例4.3、例4.4第62页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学AB横梁、立柱与刚节点。立柱刚节点横梁特点：1.平面刚架简介弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图组成：受力以后，刚节点处夹角保持不变。刚节点能承受力与力矩。三.平面刚架内力图（专题讲座）

20、第63页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学2.根据刚架的外力特征，判断其变形形式刚架在F1的作用下：刚架在F1和F2共同作用下：AC杆产生弯曲变形；BC杆产生弯曲和拉压的组合变形。同上。第64页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学3.根据刚架的变形形式，判断其内力组成刚架的变形：拉压和弯曲刚架的内力：轴力、剪力和弯矩回顾：轴力、剪力和弯矩的符号规定思考：轴力、剪力和弯矩的正负号与观察者的位置是否有关？第65页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学* 内力分量的正负号与观察者位置的关系：轴力：第66页，共108页

21、，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学剪力：第67页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学弯矩：第68页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学结论 轴力和剪力的符号与观察者的位置无关，而弯矩的符号与观察者的位置有关。第69页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学4. 刚架内力图的规定轴力FN图和剪力FS图由于轴力和剪力的符号与观察者的位置无关，因此轴力和剪力的符号规定仍然适用于立柱；刚架立柱横截面上的轴力和剪力画在立柱的里侧和外侧均可，但必须标出正负号。第70页，共108页，2022年，5月20日，22

22、点4分，星期四材料力学弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图弯矩图压拉由于弯矩的符号与观察者的位置有关，所以立柱的弯矩不再规定为下凸为正，而是要求弯矩的数值标注在受压一侧（即凹入的一侧）。第71页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图练习：求做刚架的剪力图和弯矩图第72页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学1.分段列剪力方程和弯矩方程 首先将横梁和立柱分为两大段，再根据具体的受力情况分别将横梁和立柱分段。第73页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学AC段（横梁）：

23、注：如题目没要求列方程，则可以不标注x的范围。第74页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学BC段（立柱）：加内力时注意：3.立柱截面上除了剪力和弯矩外还有轴力；2.立柱的弯矩不再规定为下凸为正。1.立柱的剪力符号规定仍然为左上右下为正；FN第75页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学BC段（立柱）：FN第76页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学2.根据剪力方程做剪力图AC段（横梁）：BC段（立柱）：+_第77页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学3.根据弯矩方程做弯矩图AC段（横梁

24、）：BC段（立柱）：第78页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学4.5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系弯曲内力/载荷集度、剪力和弯矩间的关系第79页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学弯曲内力/载荷集度、剪力和弯矩间的关系了解载荷集度、剪力、弯矩之间相互关系的目的：1. 剪力图和弯矩图的检验;2. 在不列方程的情况下，根据关系直接绘制剪力图和弯矩图.第80页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学设梁上作用有任意分布荷载其集度弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系q = q (x)规定 q (x)向上为正.将 x 轴的

25、坐标原点取在梁的左端.xyq(x)FM弯曲内力/载荷集度、剪力和弯矩间的关系第81页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学xyq(x)FMFS(x)M(x)FS(x)+dFS(x)M(x)+dM(x) 假想地用坐标为 x 和 x+dx的两横截面m-m和n-n从梁中取出dx 微段.mmnnq(x)C x+dx 截面处 则分别为 FS(x)+dFS(x) ， M(x)+dM(x) .由于dx很小，略去q(x) 沿dx的变化.m-m截面上内力为 FS(x) ,M(x)nxmmn dx弯曲内力/载荷集度、剪力和弯矩间的关系第82页，共108页，2022年，5月20日，22点4

26、分，星期四材料力学FS(x)M(x)FS(x)+dFS(x)M(x)+dM(x)mmnnq(x)C写出微段梁的平衡方程得到 略去二阶无穷小量即得弯曲内力/载荷集度、剪力和弯矩间的关系第83页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学公式的几何意义（1）剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小;（2）弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小;（3）根据q(x)0或q(x) 0来判断弯矩图的凹凸性.第84页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学ABqF=qaCa2a(-)-qa(-)(-)(+)E(+)在梁的某一段内若无载荷作用，即q(x

27、)=0， 则剪力与x轴无关，剪力图是平行于x轴的直线，弯矩是x的一次函数，为斜直线。2.在梁的某一段内若作用均布载荷，即q(x)=常数， 则剪力是x轴的一次函数，为斜直线；弯矩为x轴的二次函数，为抛物线。3.在梁的某一截面上，若剪力为0，则在这一截面上，弯矩有一极值。 集中力作用处剪力有突变，弯矩图有尖角；集中力偶作用处，剪力无变化，弯矩图有突变。4.两截面上的剪力之差，等于两截面间载荷图的面积；两截面上的弯矩之差，等于两截面间剪力图的面积。载荷集度、剪力图和弯矩图的关系第85页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学无荷载集中力FC集中力偶MC水平直线一般斜直线或在C

28、处有尖角一段梁上的外力情况剪力图的特征弯矩图的特征在C处有突变F在C处有突变M在C处无变化根据载荷集度、剪力和弯矩的变化规律填空：向下倾斜的直线上凸的二次抛物线q0向下的均布荷载第86页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学弯曲内力/载荷集度、剪力和弯矩间的关系练习一：外伸梁受力如图所示，试作梁的剪力图、弯矩图。AB1m1m4mF=3KNCDq=2KN/m要求：不列剪力方程和弯矩方程， 利用载荷集度、剪力和弯矩的关系绘图。第87页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学1. 根据平衡条件求支座反力AB1m1m4mF=3KNCDq=2KN/m弯曲

29、内力/载荷集度、剪力和弯矩间的关系第88页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学AB1m1m4mF=3KNCDq=2KN/m载荷CADBAD斜直线斜直线水平线水平线斜直线抛物线q=常数弯曲内力/载荷集度、剪力和弯矩间的关系2. 判断各段的形状第89页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学AB1m1m4mF=3KNCDq=2KN/m-3KN4.2KN-3.8KN弯曲内力/载荷集度、剪力和弯矩间的关系3.作剪力图第90页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学AB1m1m4mF=3KNCDq=2KN/m(-)-3KN4.2

30、KN-3.8KN(+)(-)-3KN.mEx弯曲内力/载荷集度、剪力和弯矩间的关系4.作弯矩图第91页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学AB2m2m4mF=2KNCDq=2KN/m练习二：外伸梁受力如图所示，试作梁的剪力图、弯矩图。2.利用载荷集度、剪力和弯矩的关系绘图。1.利用剪力方程和弯矩方程绘图； 要求：第92页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学利用剪力方程和弯矩方程绘图剪力图和弯矩图要求一第93页，共108页，2022年，5月20日，22点4分，星期四材料力学AB2m2m4mF=2KNCDq=2KN/m1.根据平衡条件求支座反