单因素试验的统计分析

1、第十二章 单因素试验的统计分析第一节 对比法和间比法试验的统计分析第二节 完全随机和随机区组试验的统计分析第三节 拉丁方试验的统计分析第四节 试验处理的合并比较第一节 对比法和间比法试验的统计分析一、对比法试验结果的统计分析二、间比法试验结果的统计分析一、对比法试验结果的统计分析百分比法：设对照(CK)的产量(或其它性状)为100，然后将各处理产量和对照相比较，求出其百分数。但因处理作顺序排列不能估计无偏的试验误差，难以进行假设测验和统计推断。例12.1 有A、B、C、D、E、F 6个玉米品种的比较试验，设标准品种CK，采用3次重复的对比设计，田间排列在表12.1第1列基础上作阶梯式更替，此处

2、图形从略。小区计产面积40m2，所得产量结果列于表12.1，试作分析。表12.1首先将各品种在各重复中的小区产量相加，得面积上的产量总和 。然后，将各个 除以重复次数得各小区平均产量。再计算各品种产量对邻近CK产量的百分数： 例如 或 其余品种皆类推。表12.1 玉米品比试验(对比法)的产量结果分析 总和平均品种名称各重复小区产量(kg)对邻近CK的%CK37.036.535.5109.036.3100.0A36.436.834.0107.235.798.3B38.037.034.5109.536.5119.3CK31.530.829.591.830.6100.0C36.535.031.010

3、2.534.2111.7D35.232.030.197.332.4106.7CK30.632.927.791.230.4100.0E28.425.823.677.825.985.3F30.629.728.388.629.590.4CK35.232.330.598.032.7100.0计算各品种对邻近CK的百分数是为得到一个比较精确的、表示各品种相对生产力的指标。相对生产力100%的品种，其相对生产力愈高，就愈可能显著地优于对照品种。但是决不能认为相对生产力100%，所有品种都是显著地优于对照的。由于误差的存在，一般田间试验很难察觉处理间差异在5%以下的显著性。对于对比法(以及后面的间比法)的试

4、验结果，要判断某品种的生产力确优于对照，其相对生产力一般至少应超过对照10%以上；相对生产力仅超过对照5%左右的品种，宜继续试验，再作结论。当然，由于不同试验的误差大小不同，上述标准仅具有参考性质。在本例，B品种产量最高，超过对照19.3%；C品种占第二位，超过对照11.7%；大体上可以认为它们确是优于对照。D品种占第三位，仅超过对照6.7%；再查看各重复的产量，有两个重复(和)D超过CK，一个重复()D低于CK；因而显然不能作出D品种确优于对照的结论。作物产量习惯于用每亩产量表示。其折算方法，先算得对照区的总产量。然后将对照区总产量乘以化对照区总产量为亩产量的改算系数cf，得到对照的亩产量。

5、(121)中的A是小区计产面积，以m2为单位；n是小区数目。最后可用各品种的相对生产力乘对照的亩产量，即得各品种的亩产量。(121) 如本例，由表12.1可算得对照区总产量=109.9+91.8+91.2+98.0=390.0(kg)，cf=666.67/(1240)=1.3889，所以 对照种亩产量=390.01.3889=541.7(kg) A品种亩产量=541.798.3%=532.5(kg) ，依此类推。本例题的田间排列方法也可以按第二章第五节所提排列，即A，CK，B，C，CK，D，E，CK，F，这样可以减少一个对照小区，分析方法相同。二、间比法试验结果的统计分析1：计算前后两个对照产

6、量的平均数 。2：计算各品系产量相对应 产量的百分数，即得各品系的相对生产力。间比法设计中，采用推广良种作为对照计算肥力指数调整供试家系产量，所以在参试家系数目较多时一般常用两个或两个以上的对照品种。 例12.2 有12个小麦新品系鉴定试验，另加一推广品种CK，采用5次重复间比法设计，田间排列在表12.2第1列基础上按阶梯式更替，小区计产面积70m2，每隔4个品系设一个CK，所得产量结果列于表12.2，试作分析。表12.2 小麦品系鉴定试验(间比法)的产量结果与分析总 和平 均对 照对品 系各重复小区产量(kg)的%CK135.940.528.231.929.0165.533.1A37.139

7、.434.036.935.8183.136.633.3109.9B39.842.036.841.428.9188.937.833.3113.5C38.239.925.433.128.9165.533.133.3 99.4D37.343.239.134.934.0188.537.733.3113.2CK233.042.129.034.628.8167.533.5E38.040.234.539.837.5190.038.034.2111.1F36.134.332.827.129.7160.032.034.2 93.6G37.836.341.334.239.9189.037.834.2110.5H3

8、4.039.127.334.728.9164.032.834.295.9CK336.040.131.537.829.6175.035.0I29.038.140.034.331.1172.534.533.7102.4J36.336.038.239.137.4187.037.433.7111.0K43.034.241.239.936.2194.538.933.7115.4L29.423.030.834.132.9150.530.133.7 89.3CK435.238.727.432.528.2162.032.4首先，计算前后两个对照产量的平均数 如A、B、C、D 4品系的=(33.1+33.5)/

9、2=33.3(kg)，然后，计算各品系产量相对应产量的百分数，即得各品系的相对生产力。如品系A的相对生产力(%)= 100=109.9，等。结果表明，相对生产力超过对照10%以上的品系有K、B、D、E、J、G 6个，其中K品系增产幅度最大，达15.4%。间比法设计中，采用推广良种作为对照计算肥力指数调整供试家系产量，所以在参试家系数目较多时一般常用两个或两个以上的对照品种。第二节 完全随机和随机区组试验的统计分析一、完全随机试验设计的统计分析二、随机区组试验结果的分析示例三、随机区组的线性模型与期望均方四、随机区组试验的缺区估计和结果分析一、完全随机试验设计的统计分析完全随机试验设计是指每一供

10、试单位都有同等机会(等概率)接受所有可能处理的试验设计方法，没有局部控制，但要求在尽可能一致的环境中进行试验。它用于估算试验误差的自由度最多，统计显著性要求的F 值最小。 二、随机区组试验结果的分析示例随机区组试验结果的统计分析，可应用第六章所述两向分组单个观察值资料的方差分析法。这里可将处理看作A因素，区组看作B因素，其剩余部分则为试验误差。设试验有 个处理， 个区组，则其自由度和平方和的分解式如下： 总自由度=区组自由度+处理自由度+误差自由度 (123) (122)y表示各小区产量(或其他性状)， 表示区组平均 数， 表示处理平均数， 表示全试验平均数。 总平方和=区组平方和+处理平方和

11、+试验误差平方和 例12.3 有一小麦品比试验，共有A、B、C、D、E、F、G、H 8个品种(k =8)，其中A是标准品种，采用随机区组设计，重复3次(n =3)，小区计产面积25m2，其产量结果列于表12.3，试作分析。表12.3 小麦品比试验(随机区组)的产量结果(kg) 品 种区 组A10.99.112.232.210.7B10.812.314.037.112.4C11.112.510.534.111.4D9.110.710.129.910.0E11.813.916.842.514.2F10.110.611.832.510.8G10.011.514.135.611.9H9.310.414

12、.434.111.483.191.0103.9T=278.010.411.413.0=11.6(1) 自由度和平方和的分解 自由度的分解：总 区组 品种误差 平方和的分解：矫正数总 区组品种误差 =84.61-27.56-34.08=22.97(2) F 测验将上述计算结果列入表12.4，算得各变异来源的MS值。表12.4 表12.3结果的方差分析变异来源DFSSMSFF0.05区 组 间 227.5613.788.403.74品 种 间 734.08 4.872.972.77误 差1422.97 1.64总 变 异2384.61对区组间MS作F测验，在此有H0： ，HA： 、 、 不全相等(

13、 、 、 分别代表区组、的总体平均数)，得F =13.78/1.64=8.40F0.05，所以H0应予否定，说明3个区组间的土壤肥力有显著差别。在这个试验中，区组作为局部控制的一项手段，对于减少误差是相当有效的(一般区组间的F测验可以不必进行，因为试验目的不是研究区组效应)。对品种间MS 作F 测验，有H0： ，HA： 、 、 不全相等( 、 、 分别代表品种A、B、H的总体平均数)，得 F =4.87/1.64=2.97F0.05，所以H0应予否定，说明8个供试品种的总体平均数有显著差异。需进一步作多重比较。(3) 品种间平均数的多重比较 最小显著差数法(LSD法) 本例目的是要测验各供试品

14、种是否与标准品种A有显著差异，宜应用LSD法。首先应算得品种间平均数或总和数差数的标准误。在以各品种的小区平均产量作比较时，差数标准误为：(124) 从而(125) 如果以各品种的小区总产量作比较，则因总产量大 n 倍，故差数标准误为： (124)(127)中，为方差分析表中的误差项均方MS；t值的，即误差项自由度。凡品种与对照的差异达到或超过者为显著，达到或超过者为极显著。如果试验结果需以亩产量表示，只要将总产量和总产量的LSD皆乘以cf即可。 (126) 并有：(127) 在此，如以各品种的小区平均产量(即表12.3的)进行比较，则由于 时， =2.145， =2.977，故 (kg)，

15、(kg)如对各品种的三个小区总产量(表12.3的 )进行比较，则(kg) 如以亩产量表示试验结果，则可算得化各品种总产量为亩产量的改算系数：因此，品种A的亩产量= (kg)(kg) (kg) (kg) 品种B的亩产量= (kg) ，余类推并且有 亩产量 (kg) 亩产量 (kg)上述结果皆列于表12.5不论哪一种比较，结果都完全一样，只有E品种与对照有极显著的差异，其余品种都和对照没有显著差异。表12.5 表12.3资料各品种产量和对照相比的差异显著性 品 种 的 比 较 的 比 较亩产量的比较差 异差 异kg/亩差 异E14.23.5*42.510.3*37892*B12.41.737.14

16、.933044G11.91.235.63.431630H11.40.734.11.930216C11.40.734.11.930216F10.80.132.50.32882A(CK)10.732.2286D10.0-0.729.9-2.3266-20 新复极差测验(LSR法) 如果我们不仅要测验各品种和对照相比的差异显著性，而且要测验各品种相互比较的差异显著性，则宜应用LSR法。首先，应算得品种的标准误SE。在小区平均数的比较时为(128) 在小区总数的比较时为 (129) 在亩产量的比较时为然后，查附表8当 时， 自2至 的SSR0.05和SSR0.01值，进而算得LSR0.05和LSR0.

17、01值。本例如以小区平均数为比较标准，则有查附表8，得到自由度、不同显著水平和秩次距p下的SSR值，进而算得LSR值(表12.6)。品种平均数差(1210) (kg) 异显著性结果见表12.7。表12.6 表12.3资料新复极差测验的最小显著极差 p23456783.033.183.273.333.373.393.414.214.424.554.634.704.784.832.242.352.422.462.492.512.523.123.273.373.433.483.543.57表12.7 表12.3资料的新复极差测验结果产 量(品 种)差 异 显 著 性 5% 1%E14.2 a AB1

18、2.4 ab ABG11.9 ab ABH11.4 b ABC11.4 b ABF10.8 b ABA10.7 b ABD10.0 b B结果表明：E品种与H、C、F、A、D 5个品种有5%水平上的差异显著性，E品种与D品种有1%水平上的差异显著性，其余各品种之间都没有显著差异。以上是以各品种的小区平均产量为比较标准。如以各品种总产量或亩产量为比较标准，则只要应用由(129)或(1210)算出的SE 值即可，方法类同，不再赘述。用时，仅需选择上述3种比较的任一种。三、随机区组的线性模型与期望均方(一) 线性模型一个随机区组的试验结果，若以I 代横行(处理)，则i=1，2，k ；以j 代纵行(区

19、组)，则j =1，2，n，整个资料共有k行n列。所以，在第i行j列的方格可以ij表示之(参见表12.3)。如果每一方格仅有一个观察值yij，则其线性模型为： 上式中， 为总体平均， 为行的效应或处理效应，可为固定模型或随机模型，在固定模型中，假定 ，在随机模型中，假定 N(0， ）； 为列的效应或区组效应，一般为随机模型，假定 N(0， ），若为固定模型则假定 ；而 则为相互独立的随机误差，服从N(0， ）。 (1211) (二) 期望均方随机区组的各种效应一般有3种模型(参见第六章)，即固定模型(称模型)，随机模型(称模型)和混合模型。这3种模型的期望均方(EMS )列于表12.8。 表12

20、.8 随机区组设计的期望均方变异来源DFMS固定模型(区组、处理均固定)随机模型(区组、处理均随机)混 合 模 型(区组随机，处理固定)(区组固定，处理随机)区 组 间MSR处理或品种MSt试验误差MSe固定模型：随机区组中仅有两个或较少的处理或品种时是适用。随机区组试验是随机模型，则表示处理(或品种)和区组都是从处理(或品种)总体和区组总体中随机抽取的。试验结论则推断到有关处理(或品种)和区组总体，而不是仅涉及某一特定处理(或特定品种)。 四、随机区组试验的缺区估计和结果分析缺区估计可采用最小二乘法 (1212) 移项可得缺区估计值为：(1213) (一) 随机区组试验缺一个小区产量的结果分

21、析 例12.4 有一玉米栽培试验，缺失一区产量ye(kg)，其结果如表12.9，试作分析。表12.9 玉米随机区组试验缺一区产量(kg)的试验结果处 理区 组A27.827.328.538.5122.1B30.628.8ye39.598.9+yeC27.722.734.936.8122.1D16.215.014.119.664.9E16.217.017.715.466.3F24.922.522.726.396.4143.4133.3117.9+ye176.1570.7+ye首先，应估计出缺值ye。根据(1212)可得：如将表12.9中有关数值代入(1213)，也同样可得：即 所以， (kg)

22、然后，将该置入表12.9 ye的位置，得表12.10。表12.10的形式和表12.3完全一样，因此可同样进行平方和的分解；但在分解自由度时需注意：因为是一个没有误差的理论值，它不占有自由度，所以误差项和总变异项的自由度都要比常规的少1个。由此得到的方差分析表如表12.11。表12.10 玉米随机区组试验结果 处 理区 组A27.827.328.538.5122.1B30.628.833.039.5131.9C27.722.734.936.8122.1D16.215.014.119.664.9E16.217.017.715.466.3F24.922.522.726.396.4143.4133.3

23、150.9176.1603.7表12.11 玉米栽培试验(缺一区)的方差分析 变异来源DFSSMSFF0.05区 组 3 166.84处 理 51093.20218.6421.502.66误 差14 142.44 10.17总 变 异221402.48 在进行处理间的比较时，一般用t 测验。对于非缺 区处理间的比较，其仍由(124)式算出(假定以小区 平均产量作为比较标准)，对于缺区处理和非缺区处 理间的比较， (1214) 上式的MSe为误差项均方，n为区组数，k为处理数。在本例可求得：(kg) (二)随机区组试验缺二个小区产量的结果分析例12.5 有一水稻栽培试验，假定缺失两区产量(yc和

24、ya)，其结果如表12.12，试分析。表12.12 水稻随机区组试验缺两区产量(kg/小区)的试验结果处 理区组A 81412 816ya58+yaB 91110 711 957C16171412yc1372+yc3342362727+yc22+ya187+yc+ya首先，应估计出缺值yc和ya。采用解方程法，根据(1212)，对yc有方程对ya有方程整理成二元一次联立方程，解之得：yc=18.09(kg)，ya=10.09(kg)将yc18kg，ya10kg置入表12.12中，即得表12.13。然后进行方差分析，得到表12.14。由于表12.13中有两个缺区估计值，它们不占有自由度，故表12

25、.14中误差项和总变异项的自由度均比通常的少2个。表12.13 水稻随机区组试验结果 处 理区组A 81412 816(10) 68B 91110 711 9 57C16171412(18)13 90334236274532215表12.14 水稻随机区组试验(缺二区)的方差分析 在进行处理间比较时，非缺区处理间比较的差数标准误仍由(124)给出(当以各处理小区平均数相比较时)；若相互比较的处理中有缺区的，则其平均数差数的标准误为变异来源DFSSMSFF0.05区 组574.28处 理294.1147.0620.283.68误 差818.562.32总 变 异15186.95 上式中的为误差项

26、均方，和分别表示两个相比较处理的有效重复数，其计算方法是：在同一区组内，若两处理都不缺区，则各记为1；若一处理缺区，另一处理不缺区，则缺区处理记0，不缺区处理记，其中k为试验的处理数目。 例如，本试验在A和B比较时，(1215) A的有效重复数 B的有效重复数 在A和C比较时， A的有效重复数 C的有效重复数故 故 (kg)(kg)第三节 拉丁方试验的统计分析一、拉丁方试验结果的分析示例二、拉丁方的线性模型与期望均方三、拉丁方试验的缺区估计和结果分析一、拉丁方试验结果的分析示例拉丁方试验在纵横两个方向都应用了局部控制，使得纵横两向皆成区组。设有k个处理(或品种)作拉丁方试验，则必有横行区组和纵

27、行区组各k个，其自由度和平方和的分解式为： (1216)总自由度=横行自由度+纵行自由度+处理自由度+ 误差自由度 (1217)总平方和 = 横行平方和+纵行平方和+处理平方和+误差平方和 例12.6 有A、B、C、D、E 5个水稻品种作比较试验，其中E为标准品种，采用55拉丁方设计，其田间排列和产量结果见表12.15，试作分析。表12.15 水稻品比55拉丁方试验的产量结果(kg)横行区组纵 行 区 组D(37)A(38)C(38)B(44)E(38)195B(48)E(40)D(36)C(32)A(35)191C(27)B(32)A(32)E(30)D(26)147E(28)D(37)B(

28、43)A(38)C(41)187A(34)C(30)E(27)D(30)B(41)162174177176174181T=882首先，在表12.15算得各横行区组总和和各纵行区组总和，并得全试验总和。再在表12.16算得各品种的总和和小区平均产量。然后进入以下步骤：表12.16 表12.15资料的品种总和和品种平均数品 种A38+35+32+38+34=17735.4B44+48+32+43+41=20841.6C38+32+27+41+30=16833.6D37+36+26+37+30=16633.2E38+40+30+28+27=16333.6(1) 自由度和平方和的分解 自由度的分解 由

29、(1216)可得：总 横行 纵行 品种 误差 平方和的分解 由(1217)可得：矫正数 总 横行区组 纵行区组 品种 =815.04-348.64-6.64-271.44=188.32(2)方差分析和F 测验将上述结果列入表12.17，算得各变异来源的MS值。表12.17 表12.15资料的方差分析对品种间作F 测验， ， 、 、不全相等( 、 、 )分别代表A、B、E品种的总体平均数)得，变异来源DFSSMSFF0.05横行区组4348.6487.16纵行区组46.641.66品 种4271.4467.864.333.26试验误差12188.3215.69总 变 异24815.04 F0.0

30、5=3.26，所以 应被否定，即各供试品种的产量有显著差异。(3) 品种平均数间的比较 最小显著差数法(LSD 法) 应用(124)，得当 =12时， ， ，应用(125)(kg) (kg) (kg) 以之为尺度，在表12.18测验各品种对标准品种(E)的差异显著性。结果只有B品种的产量极显著地高于对照，其余品种皆与对照无显著差异。表12.18 表12.15资料各品种与标准品种相比的差异显著性品 种小区平均产量(kg)差 异B41.69.0*A35.42.8C33.61.0D33.20.6E(CK)32.6*表示达1%显著水平 新复极差测验(LSR 法) 根据(128)计算，求得再根据 =12

31、时的和的值算得 =2，3，4，5时的和的值于表12.19。根据表12.19的和的尺度，测验各品种小区平均产量的差异显著性于表12.20。表12.19 表12.15资料各品种小区平均产量( )互比时的LSR 值(kg) 23453.083.233.333.364.324.554.684.765.455.725.895.957.648.038.288.43表12.20 水稻品比试验的新复极差测验由表12.20可见，B品种与其他各品种的差异都达到 =0.05水平，而B品种与D、E品种的差异达到 =0.01水平，A、C、D、E 4品种之间则无显著差异。小区平均产量(品 种 )差异显著性5%1%B41.

32、6 a AA35.4 b ABC33.6 b ABD33.2 b BE32.6 b B二、拉丁方的线性模型与期望均方用 代表拉丁方的 横行、 纵行的交叉观察值，再以 代表处理，则拉丁方试验的线性模型为： (1218) 上式中 为总体平均数； 为横行效应， 为纵行效应，若两者为固定模型，有若两者均为随机模型，有 N(0， )， N(0， )； 为处理效应，固定模型有 ，随机模型时 N(0， )；相互独立的随机误差 N(0， )。 拉丁方设计的固定模型和随机模型的期望均方如下表： 拉丁方设计的期望均方 变异来源DF固定模型随机模型横 行 间纵 行 间处 理 间试验误差三、拉丁方试验的缺区估计和结果

33、分析缺值ye的估计公式为： (1219) 移项可得： (1220) 当仅有一个缺区时，可由(1219)或(1220) 直接解得 ye 值；当有多个缺区时，可由(1219)建立联立方程组，解出各个缺区估计值。例12.7 有一甘蔗品比试验，采用55拉丁方设计，缺失一区产量，其结果见表12.22，试求该缺区估计值ye并作分析。 表12.22 55甘蔗试验缺失一区产量的试验结果(100kg/区) 横行区组纵 行 区 组A 14E 22D 20C 18B 2599D 19B 21A 16E 23C 1897B 23A 15C 20D 18E 2399C 21D (ye)E 24B 21A 1783+ye

34、E 23C 16B 23A 17D 209910074+ye10397103477+ye首先求缺区估计值ye。将表12.21的有关数值代入(1219)可得：则 (100kg)同样，代入(1220)得： (100kg)将置入表12.22的ye位置，得表12.23。表12.23 55甘蔗试验具有一个估计值的试验结果(100kg/区)横行区组纵 行 区 组A 14E 22D 20C 18B 2599D 19B 21A 16E 23C 1897B 23A 15C 20D 18E 2399C 21 D (18)E 24B 21A 17101E 23C 16B 23A 17D 20991009210397

35、103T=495A=79B=113C=93D=95E=11515.822.618.619.023.0表12.23可按没有缺区的拉丁方资料作出方差分析，仅误差项和总变异项的自由度比没有缺区的拉丁方资料少一个，因为有一个缺区估计值，它不占有自由度。由此所得的结果列于表12.24。表12.24 甘蔗55拉丁方试验(缺一区)的方差分析变异来源DFSSMSFF0.05横 行41.60.40纵 行417.24.30品 种4180.845.2024.433.36误 差1120.41.85总 变 异23220.0在对各品种的小区平均数作t测验时，没有缺区品种间的比较仍用(124)；但当缺区品种与非缺区品种比较

36、时，其差数标准误应为：(1221) 如在本例中， (100kg) 以上是有一个缺区的拉丁方试验的分析。如果拉丁方试验有几个缺区，则首先应算得各个缺区的估计值。这些估计值可由(1219)建立联立方程解出。算得各缺区估计值后，可按正常(没有缺区的)拉丁方资料计算各变异来源的平方和，但误差项和总变异项的自由度要比正常的少l个（l为缺区数目）。在对各处理小区平均数作t测验时，没有缺区的处理间比较的差数标准误仍由(124)给出；若相互比较的处理中有缺区存在，则其平均数差数的标准误为： (1222)中的为误差项均方，和分别代表两个相互比较的处理的有效重复数，其计算方法是：（1）若相互比较的甲、乙二处理在横

37、行和纵行皆不缺区，则分别记1；（2）若甲处理不缺区，而其所在的横行或纵行的乙处理缺一区，则甲记2/3；（3）若甲处理不缺区，而其所在的横行和纵行的乙处理皆缺区，则甲记1/3；（4）若甲处理本身为缺区，则记0。例如，有一55拉丁方试验为：(1222) 以上有圆圈者表示缺区。则在B、C、E处理间比较时，其 用(124)，其余各处理相互比较都要先计算有效重复数，再代入(1222)计算 。如：A与E比较时，A的有效重复数AEDCBDBAECBACDECEBECBA E的有效重复数故 而A与D比较时，A的有效重复数D的有效重复数故其余类推。第四节 试验处理的合并比较正交性(orthogonality)：

38、任两比较间的系数乘积之和为0。正交对比或正交比较(orthogonal comparison)：若在所有对比(比较)中，两两比较间的比较系数 ( )乘积之和都为0的比较。这种比较系数称为正交系数(orthogonal coefficient)。 例如，处理为氨水1(A)、氨水2 (B)、碳酸氢铵(C)、尿素(D)和不施肥(E)按完全随机设计进行试验的例6.10，就预先安排了以下几个特定的比较： 施肥与不施肥，即A+B+C+D与E； 液态氮与固态氮，即A+B与C+D； 液态氮之间的比较，即A与B； 固态氮之间的比较，即C与D。可以看出，比较和是将处理合并后进行比较的，因此，这种比较称为试验处理的

39、合并比较。在比较、中，相比较的处理个数是相同的，这时在同一比较的所有处理都占相同比例，其系数均为1，但是，在比较中，用A+B+C+D 4处理与E 1个处理比较，其处理数是不同的，显然不是均衡比较，缺乏可比性，应该将4处理的合并值与E处理的4倍进行比较，即A、B、C、D各用1份而E用4份才有可比性，换句话说，前者的系数为1，后者的系数为4。同时，在同一比较(或对比)中，一方系数为正，另一方系数为负，如比较，若A与B的系数为正，则C与D的系数为负。按此方法将4种比较的系数填于表12.25。表12.25 表6.11资料单一自由度比较的正交系数(Ci)和计算 处 理 A B CD ESSQ(MS) 1

40、08 98 114 126 80比 较A+B+C+D对E 1 1 1 1 -4 126 80 198.45A+B对C+D 1 1 -1 -1 0 -34 16 72.25A对B 1 -1 0 0 0 10 8 12.50C对D 0 0 1 -1 0 -12 8 18.00 总 和 301.20可以发现，该比较中，任两比较间的系数乘积之和为0，如与对比：11+11+1(-1)+1(-1)+(-4)0=0这称为正交性(orthogonality)。若在所有对比(比较)中，两两比较间的比较系数()乘积之和都为0，则称这种对比为正交对比或正交比较(orthogonal comparison)，这种比较

41、系数称为正交系数(orthogonal coefficient)。例12.8 在采用完全随机设计的表6.11资料中，已事先确定要研究以下4种比较的差异显著性； 施肥对不施肥， 施液体肥与施固体肥， 施氨水1对施氨水2， 施碳酸氢铵对施尿素。试作比较。分析比较步骤： (1)将资料各处理的总产量列于表12.25(为便于计算，不用平均产量，但后面所得结果仍是关于平均产量的)。 (2)写出各个预定比较的正交系数Ci(见上表)。按上述方法获得正交系数Ci后，可以计算每一比较的差数 (1223) 因而， 由 进一步计算每一比较的SS(即MS，因为每一比较的自由度都是1）： (1224) 例如比较的 同理：

42、 这里可注意 ，正是表6.12中的。也就是我们已将表6.12处理间具4个自由度的平方和再分解为属于4个独立比较的平方和，各具，因此，将这种比较也称为单一自由度的独立比较(independent comparison of single degree of freedom)，其方差分析表于12.26(与表6.12对照）。表12.26 表6.11资料单一自由度的方差分析变 异 来 源DFQSSQMSQF施 肥 对 不 施 肥1198.45198.4529.49*施固体肥对施液体肥172.2572.2510.74*施氨水1对施氨水2112.5012.501.86施尿素对施碳酸氢铵118.0018.0

43、02.67试 验 误 差15101.006.73将表中各个MSQ与MSe比，得到F值，查F表当 ， 时， ， ，结果表明该试验预定的4个比较中，施肥对不施肥、施固体肥对施液体肥的差异极显著，其余两种比较的差异不显著。如果要计算平均数，可由下式求得：(1225) 式中 表示比较中取正值的正交系数，如 (g) (g)即表示施肥比不施肥平均每盆增产7.875克，施固体 肥比液体肥平均每盆增产4.250克，皆为极显著。由上分析可知，处理的合并比较十分简便，值得推广应用。正确进行处理合并比较的关键是正确确定比较的内容和正确写出比较的正交系数。为此，须满足下列3个条件：(1) 比较的数目必须为k-1，以使

44、每一比较占有而且 仅占有1个自由度；(2) 每一独立比较的正交系数之和必须为0，即 以使每一比较都是均衡的。(3) 任何两个独立比较的相应正交系数乘积之和必须为0，即 ，以保证 却好分解为 个 。例如表12.25比较和的 比较和的 等，如果出现 ，则比较就不再是独立的，其后果是各个比较的 之和必不等于 。 这一点在试验设计时需特别注意。如有相等的3个处理，其总和数分别为 、 、 ，则2-1-1或 11-20 1-1-11 0等皆为两个独立的比较，而1-1 0或0 1-11 0-11-1 0等则为不独立的，因为前者的 ，后者的 。在具体写出各个独立比较的正交系数时，可按下列规则进行：(1) 若被

45、比较的两个组的处理数目相等，则给一个组的各处理以系数+1，另一个组的各处理都是系数-1。到底哪个组取+1，哪个组取-1，可以随便，一般以“在前”的组(如施肥对不施肥的比较，施肥在前)取“+”号。(2) 若被比较的两个组的处理数目不相等，则第一组的系数为第二组的处理数，第二组的系数为第一组的处理数，例如2个处理(第一组)与3个处理的一个比较，其写作3，3，-2，-2，-2。(3) 如果写出的 有公约数，则应将其约为最小的整数，例如4个处理与2个处理的一个比较，按规则（2）其 为2，2，2，2，-4，-4，应简化成1，1，1，1，-2，-2。(4) 如果某一处理已经和所有其余处理作过一次比较(如表

46、12.25的处理)，则该处理不能再参加其余比较，否则一定破坏了 。因子式试验在供试因子增加时，处理组合数迅速增加，这给试验带来了巨大的工作量和试验误差的增大。若试验目的并不在于研究各因子间的交互作用而是主要了解各因子的主效。那么，有些试验可以删去一些次要的处理组合。这时，因子间不是正交的关系，而是一种分枝式关系。如例12.8和例12.9。例12.9 现有一肥料比较的盆钵试验。每处理含氮量相等，重复六个盆钵，每盆栽5棵稻苗，随机区组排列，成熟后收获计产，结果列于表12.27。试进行处理的合并比较。表12.27 水稻肥料盆钵试验产量结果(单位：10g)变异来源DFSSMSFF0.01区 组 510

47、2.5020.5处 理 71210.58172.9429.92*3.20误 差35202.175.78总471515.25然而，表12.28的结果并未研究因子的主效。为此，应该进行处理的合并比较： 施与未施，即A与B+C+D+E+F+G+H； 化肥与有机肥，即B+C与D+E+F+G+H； 化肥间，即B与C； 畜粪尿与堆肥间，即D+E与F+G+H； 畜粪尿间，即D与E； 堆肥老方法与新方法间，即F与G+H； 堆肥新方法间，即G与H。按正交系数的构成原则，其正交系数见表12.29。对于比较，施肥处理合并与未施肥相比其效应的总和Q1与其平方和 分别为：其余比较同理可得，并将结果一并填入表12.29。

48、并将与误差均方比较，进行单一自由度的F 测验( ， )，其结果也见表12.29。 Q1=T2+T3+T8-7T1=32+33+84-722=274 处 理ABCDEFGHQi(MS)FTt22323344119516584比 较Ci-71111111274656223.4438.66*055-2-2-2-2-2401670382.8666.24*01-100000-1620.08100033-2-2-28963044.017.61*0001-1000-7562468.7581.10*000002-1-1-746661.364.62*0000001-1-196230.085.20*总1210.5

49、8表12.29 水稻肥料盆钵试验各种处理合并的计算和结果 由表12.29可知，比较、均存在极显著差异，比较差异显著，只有比较不显著。第十三章 多因素试验结果的统计分析第一节 多因素完全随机和随机区组 试验的统计分析第二节 裂区试验的统计分析第三节 一组相同试验方案数据的联合分析第四节 多因素混杂和部分实施试验的 设计和分析(正交试验法)第五节 响应面分析第一节 多因素完全随机和随机区组 试验的统计分析一、二 因素试验的统计分析二、三因素试验的统计分析一、二因素试验的统计分析 (一) 二因素随机区组试验结果的分析设有A和B两个试验因素，各具a和b个水平，那么共有ab个处理组合，作随机区组设计，有

50、r次重复，则该试验共得rab个观察值。它与单因素随机区组试验比较，在变异来源上的区别仅在于前者的处理项可分解为A因素水平间(简记为A)、B因素水平间(简记为B)、和AB互作间(简记为AB)三个部分。 (131) (132) 其中，j=1，2，r；k=1，2，a；l=1，2，b； 、 、 、 和 分别为第r个区组平均数、 A因素第k个水平平均数、B因素第l个水平平均数、处理组合AkBl平均数和总平均数。表13.1 二因素随机区组试验自由度的分解 SSR= SSt= SST=变异来源DF平 方 和区 组 r-1处理组合 ab-1误 差 (r-1)(ab-1) SSe=SST-SSR-SSt总 变

51、异 rab-1(二) 二因素随机区组试验的线性模型和期望均方二因素随机区组试验的线性模型为: (133)表13.8 二因素随机区组设计的期望均方变异来源DF固定模型随机模型混合模型(A随机，B固定)区组间 r-1处理A a-1处理B b-1AB (a-1)(b-1)误差 (r-1)(ab-1)二、三因素试验的统计分析(一) 三因素完全随机试验的统计分析 在三因素试验中，可供选择的一种试验设计为三因素完全随机试验设计，它不设置区组，每一个处理组合均有若干个(n个)重复观察值，以重复观察值间的变异作为环境误差的度量。1. 结果整理 2. 自由度和平方和的分解总变异可以分解为处理组合变异加上误差变异

52、。处理组合变异又可作分解： 处理 DF =DFA +DFB +DFC +DFAB +DFAC +DFBC +DFABC 处理 SS=SSA +SSB +SSC +SSAB +SSAC +SSBC +SSABC 表13.13 三因素完全随机试验的平方和及自由度分解变异来源DF SS总 变 异 abcn-1处理组合 abc-1A a-1B b-1C c-1 AB (a-1)(b-1) AC (a-1)(c-1) BC (b-1)(c-1) ABC (a-1)(b-1)(c-1)误 差 abc(n-1) SSe=SST-SSt3. 多重比较的标准误公式A因素间比较时单个平均数的标准误B因素间比较时单

53、个平均数的标准误C因素间比较时单个平均数的标准误AB处理组合的平均数的标准误为： (二) 三因素随机区组试验结果的分析 设有A、B、C三个试验因素，各具a、b、c个水平，作随机区组设计，设有r个区组，则该试验共有rabc个观察值，其各项变异来源及自由度的分解见表13.15。 表13.15 三因素随机区组试验的平方和及自由度分解变异来源DF SS区 组 r-1处 理 abc-1A a-1B b-1C c-1 AB (a-1)(b-1) -SSA-SSB AC (a-1)(c-1) -SSA-SSC BC (b-1)(c-1) -SSB-SSC ABC (a-1)(b-1)(c-1) SSABC=

54、SSt-SSA-SSB-SSC-SSAB-SSAC-SSBC误 差 (r-1)(abc-1) SSe=SST-SSt-SSR总 变 异 rabc-1 DFt=DFA+DFB+DFC+DFAB+DFAC+DFBC+DFABC (134) SSt=SSA+SSB+SSC+SSAB+SSAC+SSBC+SSABC (135)(三) 三因素试验的线性模型和期望均方1. 完全随机设计三因素完全随机试验每一观察值 yijkl 的线性模型为： (136) 变异来源DFMS期望均方EMS固定模型随机模型混合模型A、B固定，C随机A a-1 MSAB b-1 MSBC c-1 MSCAB (a-1) (b-1)

55、 MSABAC (a-1) (c-1) MSACBC (b-1) (c-1) MSBCABC (a-1)(b-1)(c-1) MSABC误 差 abc(n-1) MSe表13.21 三因素随机试验设计的期望均方2. 随机区组设计三因素随机区组试验每一观察值yjklm的线性模型为：其中， 代表区组效应，固定模型时有 ，随机模型时 ，其余参数参见三因素完全随机设计的情形。 (137) 变异来源DFMS期望均方固定模型随机模型混合模型A、B固定，C随机区组间 r-1A a-1 MSAB b-1 SSBC c-1 SSCAB (a-1)(b-1) SSABAC (a-1)(c-1) SSACBC (b

56、-1)(c-1) SSBCABC (a-1)(b-1)(c-1) SSABC误 差 abc(n-1) SSe表13.22 三因素随机区组设计的期望均方二、间比法试验结果的统计分析1：计算前后两个对照产量的平均数 。2：计算各品系产量相对应 产量的百分数，即得各品系的相对生产力。间比法设计中，采用推广良种作为对照计算肥力指数调整供试家系产量，所以在参试家系数目较多时一般常用两个或两个以上的对照品种。 例12.2 有12个小麦新品系鉴定试验，另加一推广品种CK，采用5次重复间比法设计，田间排列在表12.2第1列基础上按阶梯式更替，小区计产面积70m2，每隔4个品系设一个CK，所得产量结果列于表12

57、.2，试作分析。表12.2 小麦品系鉴定试验(间比法)的产量结果与分析总 和平 均对 照对品 系各重复小区产量(kg)的%CK135.940.528.231.929.0165.533.1A37.139.434.036.935.8183.136.633.3109.9B39.842.036.841.428.9188.937.833.3113.5C38.239.925.433.128.9165.533.133.3 99.4D37.343.239.134.934.0188.537.733.3113.2CK233.042.129.034.628.8167.533.5E38.040.234.539.837

58、.5190.038.034.2111.1F36.134.332.827.129.7160.032.034.2 93.6G37.836.341.334.239.9189.037.834.2110.5H34.039.127.334.728.9164.032.834.295.9CK336.040.131.537.829.6175.035.0I29.038.140.034.331.1172.534.533.7102.4J36.336.038.239.137.4187.037.433.7111.0K43.034.241.239.936.2194.538.933.7115.4L29.423.030.834

59、.132.9150.530.133.7 89.3CK435.238.727.432.528.2162.032.4首先，计算前后两个对照产量的平均数 如A、B、C、D 4品系的=(33.1+33.5)/2=33.3(kg)，然后，计算各品系产量相对应产量的百分数，即得各品系的相对生产力。如品系A的相对生产力(%)= 100=109.9，等。结果表明，相对生产力超过对照10%以上的品系有K、B、D、E、J、G 6个，其中K品系增产幅度最大，达15.4%。间比法设计中，采用推广良种作为对照计算肥力指数调整供试家系产量，所以在参试家系数目较多时一般常用两个或两个以上的对照品种。第二节 完全随机和随机区

60、组试验的统计分析一、完全随机试验设计的统计分析二、随机区组试验结果的分析示例三、随机区组的线性模型与期望均方四、随机区组试验的缺区估计和结果分析一、完全随机试验设计的统计分析完全随机试验设计是指每一供试单位都有同等机会(等概率)接受所有可能处理的试验设计方法，没有局部控制，但要求在尽可能一致的环境中进行试验。它用于估算试验误差的自由度最多，统计显著性要求的F 值最小。 二、随机区组试验结果的分析示例随机区组试验结果的统计分析，可应用第六章所述两向分组单个观察值资料的方差分析法。这里可将处理看作A因素，区组看作B因素，其剩余部分则为试验误差。设试验有 个处理， 个区组，则其自由度和平方和的分解式