运筹学对偶单纯形法PPT

1、关于运筹学对偶单纯形法第一张，PPT共十四页，创作于2022年6月方法：设原问题 max z = CX AX = b X 0 设B是一个基，令B=(P1 ,P2 , ,Pm)，它对应的变量为 XB = ( x1 ,x2 , ,xm) 当非基变量都为零时，可以得到XB = B-1b。若在B-1b中至少有一个负分量，设(B-1b)i 0, 并且在单纯形表的检验数行中的检验数都为非正，即对偶问题保持可行解，它的各分量是 1、对应基变量x1，x2， ，xm的检验数是 i = ci zi = ci - CB B-1Pi = 0，i = 1 ,2 , ,m 2、对应非基变量xm+1， ，xn的检验数是 j

2、 = cj zj = cj - CB B-1Pj 0，j = m+1 , ,n第二张，PPT共十四页，创作于2022年6月每次迭代时，将基变量中的负分量xl取出（换出变量）, 去替换非基变量中的xk，要求在所有检验数仍保持非正（对偶问题可行性）的前提下，进行基变换。从原问题来看，经过每次迭代, 原问题由非可行解往可行解更靠近，当原问题得到可行解时，便得到了最优解（原问题、对偶问题）。注意：1. 对偶单纯形法不是解对偶问题的单纯形法，而是应用对偶原理求解原问题最优解的一种方法。当然，当求解得到原问题的最优解的同时，也就得到对偶问题的最优解。2.在具体计算中，不另外构造单纯形表格，而是在原始问题的

3、单纯形表格基础上进行对偶处理。第三张，PPT共十四页，创作于2022年6月对偶单纯形法的计算步骤:(1) 根据线性规划问题，列出初始单纯形表，检查b列的数值，若都为非负，并且检验数都为非正，则已得到最优解。停止计算；若b 列的数值至少还有一个负分量，检验数保持非正，那么进行计算。(3) 确定换入变量： 检查xl所在行的各系数alj(j = 1,2,n)。 若所有的 alj0,则无可行解，停止计算。(2) 先确定换出变量：若 min(B-1b)i|(B-1b)i 0 = (B-1b)l对应的基变量xl为换出变量。（实际上，可取任何一个取负值的基变量作为换出变量。取最小的含义是尽快）第四张，PPT

4、共十四页，创作于2022年6月若存在alj 0,(j = 1,2,n)，计算按规则所对应的非基变量xk为换入变量(保持对偶问题解的可行性)。(4) 以alk为主元素，进行迭代，即进行矩阵行变换。得新的单纯形表。重复（1）-（4）步，直到求出最优解为止。为什么要用下式来确定换入变量呢？原因如下：第五张，PPT共十四页，创作于2022年6月第六张，PPT共十四页，创作于2022年6月第l行变成：行变换将Pk变成单位向量，因为bl0，一定要求bl/alk0, 要选主元素alk0。检验数变成（行变换）要保证可行性，就要有jnew 0，j=1,n),1,0,0,1, . 0,0,(ln1lklklmlk

5、lklaaaaaabLLLL+),0,0,0,0,0(ln11klknklklmmlkkaaaaasssss-+LLLL第七张，PPT共十四页，创作于2022年6月令T=j|alj0 当jT时， alj 0，从而jnew= j-al j/al kk 0，满足可行性。 当jT时， jnew= j-al j/al kk = al jj /al j- k /al k 由于j ，k， al k ，al j均小于0，从而上述括号内的比值均大于0。 又由于alj0，为保证jnew 0， （ jT） 故只要选取就能有方括号内大于等于0，从而jnew 0。第八张，PPT共十四页，创作于2022年6月 解: 先

6、将这问题转化（此时b可以是负的）,以便得到对偶问题的初始可行基 max z = -2x1 - 3x2 - 4x3 -x1 - 2x2 - x3 + x4 = -3 -2x1 + x2 - 3x3 + x5 = -4 xj 0,j = 1,2,3,4,5 建立这个问题的初始单纯形表例：用对偶单纯形法求解： min = 2x1 + 3x2 + 4x3 x1 + 2x2 + x3 3 2x1 - x2 + 3x3 4 x1 , x2 , x3 0 第九张，PPT共十四页，创作于2022年6月第十张，PPT共十四页，创作于2022年6月第十一张，PPT共十四页，创作于2022年6月则 X*=（11/5，2/5，0，0，0）T为原问题的最优解。同时 Y*=（y1*，y2*）=（8/5，1/5）第十二张，PPT共十四页，创作于2022年6月对偶单纯形法特点:(1) 简化计算：不引入人工变量将线性规划化成标准型, 构造初始单纯形表(初始解是非可行解), 只要检验数非负(最优检验数), 就可以进行基的转换；(2) 适于变量多于约束条件：当变量少于约束方程的个数时，可考虑变成对偶问题后，再用对偶单纯形