从数学史看数学教育的人文性及其实现

1、从数学史看数学教育的人文性及其实现摘要：为了实现数学史与数学教育的真正融合，有必要从数学教育哲学的视角重 新审视数学教育中引进数学史的理由与发展空间。历史语境和逻辑结构是“理解数 学”知识的两个维度。传统数学教育存在与人文教育割裂的弊病，数学史是联结数学教 育与人文教育的桥梁。数学史与数学教育的融合引起数学哲学教育观的转变。关键词：数学史；数学教育；人文教育；历史重建数学史运用于数学教育已成为数学教育发展的趋势。国际上对数学史与数学教育 (History and Pedagogy of Mathematics ,简称HPM)的研究最早可追溯到1758年。这一年法国 数学家蒙蒂克拉(Jean-f

2、itienne Montucla)出版专著数学史，标志着数学史作为一个独立研 究领域的出现。1968年，荷兰数学家弗赖登塔尔(Hans Freudenthal)主持召开第一次国际数学 教育大会(ICME-1)，标志着数学教育成为一门独立的学科。1972年，第二届国际数学教育大 会(ICME-2)在英国埃克赛特举办，这次大会成立了 “数学史与数学教育国际研究小组”，标志 着“数学史与数学教育”成为一门独立的学科。20世纪末，国际社会对HPM的研究热情空前 高涨。我国于1981年7月成立了“数学史与数学教育工作小组”，并定期举办HPM研讨会, 至今已8届。国内对HPM的研究呈现三大特点：以课例研究

3、为主要模式;关注HPM与学科德 育、核心素养的关系;研究各学段(小学、初中、高中、大学)渗透数学史的方式门。以往的研究,多从教材教法的角度探讨如何在数学教学中应用数学史，从哲学的角度探讨 数学史融入数学教育并影响数学教育的研究未见有记载。为了实现数学史与数学教育的真正 融合，进一步推动数学教育改革深入发展，有必要从哲学视角对数学史融入数学教育的教育原 理作分析探讨。一、“理解数学”的两个维度：逻辑结构与历史语境“理解数学”是继“问题解决”之后数学教育界关注的又一个热点问题。美国学者芬内玛 (Elizabeth Fennema)等人指出，数学知识只有被深刻理解了，才具有迁移和应用的活性。为了 培

4、养21世纪具有数学素养的公民，课堂需要被重新构建,使得学生能理解地学习数学。但 是，何谓“理解数学”，或者说“理解数学”究竟指什么？学界并未给出明确一致的解释。在相 关的研究中，比较具有代表性的理论有两种：一是英国数学教育心理学家斯根普(Richard Skemp)对“理解数学”的划分，他把“理解数学”分成“关系性理解”和“工具性理解”。斯根普 对“关系性理解”和“工具性理解”进行了深入的分析与比较，并明确提出数学教学应更多强调 “关系性理解”。二是美国教育心理学家奥苏贝尔(David Ausubel)对两类学习(机械学习、 意义学习)的划分。尽管奥苏贝尔并未指明这类划分是否专门针对数学学习，

5、但是相关的研 究表明这类划分被广泛应用于数学教育研究4-6。斯根普和奥苏贝尔的理论存在明显差异：奥苏贝尔的理论更加关注学习的结果，即已习 得的知识信息在人脑中的两种不同的存储方式;斯根普则更关注学习过程的心理机制，即面对 新的知识，学习者如何在大脑中进行信息加工。当然，这两种理论也有相同的立场:反对被动 的、死记硬背式的数学学习，提倡积极主动的数学学习，以形成知识的网络系统,从而建立知识 之间的内在逻辑联系。应该肯定的是，斯根普与奥苏贝尔的理论对数学教育有重要的意义，他 们对“如何有效地学习数学”做了心理学上的解释,促使人们将数学教育研究重点从关心教师 如何去“教”转到关心学生如何去“学”。这

6、两种理论还有一个共同之处,即二者都强调对数学 的知识结构、命题语句进行逻辑分析，主张学习者在数学学习过程中建立概念或命题之间的非 人为的、实质性的联系。概述之,他们把“理解数学”的实质解释成运用推理、判断和论证的方 式建立数学知识间的逻辑联系,以此为基础进一步确立数学知识的合理性。尽管从逻辑的角度去“理解数学”，有利于促进学生把所学的知识系统化、结构化,从而使 学生集中地、有效地学习数学知识，但是这种形式的学习的局限性也是明显的:并没有关注到 数学知识的生长或发生的过程。奥苏贝尔理论站在心理学的角度解释讲授式课堂教学的意 义,从而维护了讲授法这一传统方法的合理性，但他的理论并未涉及知识探究与发

7、现过程。从 现代数学哲学的观点来看,数学知识并不能完全规约于逻辑。由逻辑推理所形成的严密性，虽 然能引导人们比较深入地“理解数学”事实，以及这些事实间相互依存的关系，同时还使人们 更加清晰地“理解数学”概念的重要性，但这并不能代表全部数学7o历史地去看，某个数学 知识的产生，有时并不是由于学科逻辑体系的需要而表现出必然性，相反却带有较大的偶然 性,受到研究者个体或社会文化的影响。因此，仅从数学知识间的逻辑关系上去“理解数 学”是不完整的、片面的,有时也是行不通的。对数学知识之间的逻辑分析只是认识或“理解 数学，的一个维度，而对数学知识发生过程、发展历史及来龙去脉的考察是通向，理解数学，的 另一

8、种方式，即是说对数学知识历史语境的考察是“理解数学”的又一维度。学习和“理解数学”之所以不能脱离历史语境，是因为:第一,数学是一个思想方法系统， 作为某一思想方法的数学理论,早已存在于一个历史的连贯性之中，其中每一个数学概念或方 法的产生都依赖于它先前的数学理论和思想,它不是凭空产生的。第二,发现这个概念或方法 的数学家个体不能与历史隔离，相反，他们的思想、态度、方法、价值取向都与历史相关。第三， 由于任何一个数学概念与方法并不是凭空产生的理解数学”就必须把数学文本放在当初创 造它的历史背景中进行，把数学文本同历史上所要回应的问题结合起来进行考察。牛顿的 “站在巨人的肩膀上”的名言，恰如其分地

9、说明了数学（科学）发现的历史依赖性。从恩格斯所 说的“任何科学都是历史”的一般观点出发,也可得出任何数学知识都与某个历史阶段相联系 的结论。因此，要全面地看待数学学科的功能，就应把它放到尽可能广阔的历史背景上来考 察，离开历史背景就不可能达到对数学的充分理解9。历史语境对数学教学具有重要的意义。人类认识的历史过程是不断探索未知，发现客观 真理的过程，其中充满着错综复杂的偶然因素，是一条曲折漫长的道路。我们在进行数学知识 传播时，为了提高效率，往往排除人类认识史上那些偶然因素和曲折道路，而恰恰在这里包含 着丰富的经验教训,包括偶然因素的积极作用。也就是说，单纯的系统的理论教学，还不可能 使学生充

10、分“理解数学”规律是如何形成的，必须在数学知识的教学中渗透数学史，让学生结 合历史语境学习和理解数学|0。让历史上的障碍在教学过程中重现，帮助学生认识问题产生 的背景、难点及突破，进而产生足够的动机,并以更深刻的方式去理解数学概念、理论、方法或 证明的内容|。总之，历史语境是理解数学的新视角，使学生能在更高的层面上解释数学的 产生、证明、交流、传播与应用。二、数学教育和人文教育的内在融合（一）传统数学教育存在与人文教育割裂的弊病传统数学教育存在与人文教育割裂的弊病，由此带来数学教育中应试教育与素质发展之 间的矛盾，表现出几种形式:只把数学看成定义、公式、定理及证明的汇集，割断了数学与生活、 数

11、学与社会之间的联系，忘却了数学知识的来龙去脉和发生、发展的过程;重视数学知识，轻视 数学精神;强调数学技能技巧，忽视数学思想方法，学生并未真正领会数学的精髓;注重数学结 论的系统性、逻辑性、科学性，忽略数学的历史性、建构性和文化性|2。数学教育与人文教育的对立既源于学科专业的不断分化，也源于人们对数学人文性的模 糊认识以及对数学教育与人文教育的不当诠释:认为数学先天不具备人文属性,数学教育只追 求推理与逻辑思维，而推理与逻辑和人文教育是格格不入的;把数学教育中的人文教育解释为 数学教育与人文教育的简单叠加。因此，在实践中出现了一些偏差:如为强调数学内容的人文 性,一些学校只是改革选修课程，增加

12、有关数学文化或数学史的相关内容，而数学必修课程内 容却未有改变;又如为强调教学方法的人文性而过分追求课堂教学的趣味性、活动性，致使 “数学课堂”失去了自身的“数学味”。尽管这些做法对传统的数学教育作出了很大的改进，但 这并非是真正意义上的数学教育与人文教育的融合，其缺陷在于对数学教育与人文教育做了 二元对立划分，实践中也未取得良好的效果。（二）实施人文教育是数学教育的内在要求从数学知识的建构性和文化性的立场出发，可以看出数学并非绝对客观的、价值无涉的知 识系统，人们对自然现象的数学规律的认识同样受到研究者价值观、世界观的影响。数学的探 索和创造过程并非只有逻辑演绎推理的参与,其中人（研究者）的

13、直观、想象、猜测等因素发挥 着十分重要的作用，而直觉与猜想又与人的审美联系着。因此，数学认识活动体现了人的主动 性和个人魅力，展示人的精神魅力和价值追求。无论是数学的结论体系还是数学的发展过程 都足以表明，数学并非先天不具备人文特性,数学的显性概念与方法体系背后蕴含着丰富的人 文价值l3o因此,数学教育与人文教育并非是两种不同形式的教育，而是同一个过程的两个 方面，即实施人文教育是数学教育的内在要求，是数学教育的特性所在。数学史是联结数学教育与人文教育的桥梁如何沟通“数学”与“人文”，实现数学教育人文化，除了需要数学教育观念的引领外，还需 要建立两者融合的渠道和桥梁，其中数学史扮演着十分重要的

14、角色。著名科学史家萨顿 (George Sarton)在研究科学史与新人文主义的关系时，对科学史的教育功能作了独到的分析， 他指出“使科学工作人性化的唯一方法是在科学工作中注入一些历史精神” “没有历史，科学 知识可能会有害于文化，同历史相结合，用敬仰来调和,它将培养出最高尚的文化” l4。著名 科学家拉比(Isidor Isaac Rabi)曾经说过，只有把自然科学和人文科学融为一体，我们才能期 望达到与我们的时代和我们这一代人相称的智慧的顶点l5。上述观点也适用于数学科学，历 史精神就是增强对人类文化的整体认识和纵向理解，从而融于主体身上的一种人文关怀，是 数学人文化的有效表达方式。因此,

15、数学史向数学课堂的渗透是数学教育培育学生人文精神 的最佳选择，是联通数学与人文之间的渠道和桥梁l6o数学史在数学教学中的价值，可进一 步从以下几方面去认识：第一,数学发现的历史表明，数学发展不是数学知识渐进的、积累的、线性的模式，而是一 个在理论与实践、正确与谬误、进步与保守、成功与失败的矛盾过程中不断前进和演变的过程。 将数学史融入数学教育,引导学生追溯一项创造发明的历史，向学生呈现数学研究过程中出现 的各种困难以及数学家怎样克服困难、战胜困难、解决困难，会使学生理解数学活动不仅是科 学探究的个人活动也是社会活动。其中数学概念的提出或数学方法的发现是数学家在当时历 史社会文化脉络中进行数学探

16、究活动的产物。这就开辟了一条改变学生对数学学科的看法、 通往理解数学与社会关系的新道路。通过揭示数学的人文价值，并使学生把认识外部“自然界 数学规律”与理解内在“人性发展”相结合，这就跳出了数学课堂中数学知识与各种人文知识叠 加的教学模式，真正实现数学教育与人文教育的融合。第二，数学发展的历史承载着数学家的探索历程和创新精神，渗透着数学家求真、至善、至 臻的人文情怀和情感意志，这些会内化为学生的理性、审美、理想、信念等人文激情。将数学回 归到数学史，可以使学生受到精神与价值观的熏陶，培养学生坚韧不拔的意志,激励学生持续 不断地为科学探索而努力。这样的教学所体现出的价值已远远超越了知识范畴，在于

17、唤醒学 生的研究者、创造者的角色意识l7。如果数学的目标只是关注现存数学结论的教学,而将数 学的历史抛在一边,那么历史上数学家的高尚品质、求真的献身精神等人性的东西无法向学生 揭示出来,数学教育的育人功能就不能得以充分实现。第三，通过追问数学思想的起源，可以培养学生的批判和质疑精神。批判和质疑是人走向 思想独立、精神独立的标志，是人文教育追求的重要目标。以逻辑的方式组织教学，使得学生 系统、便捷地接受知识，但是往往给学生一种误解，认为数学知识是与生俱来、永恒不变的真过程,进而意识到数学知识是不断发展的，是相对的,也是可错的。数学学科的发展依赖对以 往认识的不断质疑与挑战,数学知识体系的形成是不

18、断提出假设、质疑并反驳假设的过程。最后，由于数学是国际性共同的语言,代表人类共同的进步，通过渗透数学史,有利于增进 学生对人类文化的整体认识，有利于增进学生的世界意识和人类情怀。通过接触不同文化的 数学，学生能以更开放的态度吸收新的数学知识。当学习其他文化对数学发展所作出的贡献 时,学生可能会与本国文化、历史进行比较,从而达到对自身文化更深入的理解，有时还能作出 新的发现。将数学史引入数学课堂,学生将超越狭隘的民族主义，“谁比谁早”已经显得不重 要了,最重要的是，以宽广的胸怀、包容的心态、广阔的视野认识古代文明的数学成就,并学会 欣赏丰富多彩的数学文化。总之，数学史可以使原有“见物不见人”的数

19、学课程具有更为浓厚的人文气息，而通过追 溯数学思想的起源来达到对数学知识与方法的理解,实质就是把数学当成一种人文研究，进而 达到对数学的人文理解。三、数学教育哲学观的转变数学史作为一个独立的研究领域出现不久，人们就注意到它对数学教育的意义。例如，19 世纪的数学史家泰尔凯(Olry Terquem)就曾指出，数学家的传记、轶闻、故事可以启发学生的 人格，后来，他又在杂志上发表了大量数学家的传记，以激励数学学习者8。到20世纪，包括 庞加莱(Henri Poincare)、克莱因(Morris Kline)、波利亚(George Polya)在内的著名学者都对数 学史向数学教育渗透给予积极的评价

20、。20世纪下半叶，国际上还成立了研究数学史与数学教 育关系的专门组织。如今，“数学史与数学教育融合”已成为国际性的数学教育热点问题。近年来,我国中小学一线数学教师在积极尝试将数学史运用于数学课堂中,如把数学史作 为一段插曲或情境，用以调动课堂气氛和鼓励学生。数学课程编制者也在尝试选择一些数学 史料,作为学生课堂学习的补充阅读材料,或为某个经典的数学内容做补充注释。尽管这些探 索是积极且有效的，但这只是教材教法层面上的探讨，更深层次的研究必须对数学史融入数学 教学做出哲学层面及教育原理层面的解释。只把数学史当成数学教育的外在补充内容，未按 数学思想方法发展的历史脉络去调整教学内容和教学方法，数学

21、课堂结构就不会出现根本性 的变化,数学史与数学教育就无法实现真正的融合。为深入推动数学教育改革,使运用数学史 成为数学教师的自觉行为，有必要从数学教育哲学的角度分析数学史对数学教育的特殊意义。(一)从静态数学观到动态数学观正如美国学者汤姆(Rene Thom)所言,无论人们的意愿如何，一切数学教学法根本上都出 自数学哲学l9o然而并非所有的数学哲学都为数学史融入数学教育留下空间。如果持静态 的数学观，即把数学当成是一个绝对的、中立的、永恒不变的知识结构体系，那么数学教学的任 务就是接受和运用现存数学结论，而不必追溯到数学概念的起源与产生,也无需了解数学方法 的演变与发展过程，自然而然，数学教学

22、也就没有渗透数学史的必要。如果教师持动态教学的结构，也不是永恒不变的真理，而是随着人们的认识逐渐变化发展的，那么，在数学教学中， 教师就会注意到数学知识形成过程中的动态面向与经验过程，并把数学概念的演变过程当成 数学教学的一个必然的要求20。将数学史融入数学教学，显示出数学是一种人类创造性活 动,这种活动包含着猜想与反驳、尝试与纠错、直观与论证等复杂的认识过程。通过体验这种 人类活动，学生会学到比课本传递的更深刻的数学大师的思想。可以说，数学史最大的作用乃 是它为该学科的学习注入了更多的活力，它把数学概念从静态转向动态,通过记录数学家们在 形成数学思想主流的过程中所产生的影响，数学史使得数学人

23、性化了。（二）从工具理性到价值理性数学的工具理性是指数学表现出的客观性、基础性、应用性等特点,数学的价值理性是指 数学在培养人的真、善、美等方面的主体价值。受应试教育和功利主义的影响，当前我国数学 教育的价值取向偏向工具理性，表现在只注重学生数学基础知识和基本技能的掌握，忽视对学 生数学精神与数学文化的熏陶，导致数学训练和数学价值分离。尽管数学专业技能和认识发 展是数学教育的重要任务，但从教育的根本意义出发、从教育发展的时代潮流来看，应当把数 学教育的重心转到价值理性的关注上。而数学史向数学教学渗透，会使学生明了数学问题的 起源，将数学放回到它与人类社会发展的关系中理解，让学生透过数学知识的产生认识数学的 本质,从而使学生在学习数学知识的基础上发展他的个人品行与人文精神。通过追寻数学的 历史，学生可以认识到数学并非是一个冷漠的、晦涩的、中立的学科，而是一个生动的、有趣的、 充满人性的学科。数学教育的目的不是培养单向度的“数学人”，而是要培养具有人文精神的 “科学人”。实现这个目的的最佳方法是在学习数学知识的过程中同时讲述和讨论数学的历 史，如果我们成功了，数学教学就不完全是学生的应试准备和职业训练,而是学生在数学知识 学习与能力形成过程中的精神提升与文化熏陶。四、结语总之,将数学史融入数学教育,已超越传统教材教法的局限，涉及