课题三线性方程组的迭代法

1、课题三线性方程组的迭代法对课题二所列目的和意义的线性方程组，试分别选用Jacobi对课题二所列目的和意义的线性方程组，试分别选用Jacobi迭代法，Gauss-Seidol迭代法和SOR方法计算其解。1、设线性方程组020602哑02060210060002IE*06超0301050606050703141吨1702.13080100000005000100020003030109070302170206*020503003420209020012超406300|0503HQ3505*6.06:02*8IH|H21|10 x*=(1,-1,0,1,2,0,3,1,-1,2)T2、设对称正定阵系

2、数阵线方程组TOC o 1-5 h z104020002040000吟0,202超01030200：；:1401*0506106品0哑0106.03:3：_?3:0201224*01f11I510403IBH041101H.2.?00205IB011402”5：I00000003IBH0219|.71.5|8x*=(1,-1,0,2,1,-1,0,2)T3、三对角形线性方程组TOC o 1-5 h z000000000*I10，000!0o000o10，000!0o000o，0004000000，,3314.。.善04000052.004.000；.2；000400:，7!34：0000401

3、，11000004:,000000491.10X*=(2,1,-3,0,1,-2,3,0,1,-DT二、要求1、体会迭代法求解线性方程组，并能与消去法做以比较；2、分别对不同精度要求，女在=10-3,10-4,10-5由迭代次数体会该迭代法的收敛快慢；3、对方程组2,3使用SOR方法时，选取松弛因子3=0.8,0.9，1，1.1，1.2等，试看对算法收敛性的影响，并能找出你所选用的松弛因子的最佳者；4、给出各种算法的设计程序和计算结果。三、目的和意义1、通过上机计算体会迭代法求解线性方程组的特点，并能和消去法比较；2、运用所学的迭代法算法，解决各类线性方程组，编出算法程序；3、体会上机计算时，

4、终止步骤llx(k+1)-x(k)|(予给的迭代次数)，对迭代法敛散性的意义；4、体会初始解x(0),松弛因子的选取，对计算结果的影响。四、迭代计算1、雅可比迭代法在进行雅可比迭代之前，我们应该先判断迭代是否能够收敛，这里我们使用雅可比迭代法收敛的充分必要条件(即，迭代矩阵的谱半径小于等于1)。1、判断方程组一使用雅可比迭代法是否收敛在matlab软件中编写程序:D=diag(diag(A);L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);B=D(L+U);t=eig(B)r=max(abs(t)可求出方程组一的雅可比迭代矩阵的特征值分别为：1.6604+3.8389i；1.6604-3

5、.8389i；-3.3952；-1.3286+1.5704i；-1.3286-1.5704i；-0.4754；-0.1912；0.9785；0.9568；1.4628显然，其谱半径大于1，则雅可比迭代法不收敛，故不可用雅可比迭代法进行迭代求解。可用消去法求解，编写matlab高斯列主元消去法的程序如下：functionX=Gauss_pivot(A,b)n=length(b);X=zeros(n,1);c=zeros(1,n);d1=0fori=1:n-1max=abs(A(i,i);m=i;forj=i+1:nifmax=emgfori=1:nsum=0;forj=1:nifi=jsum=s

6、um+A(i,j)*x1(j);endendx2(i)=(b(i)-sum)/A(i,i);endt=abs(x2-x1);r=max(t);x1=x2;k=k+1;ifkNdisp（迭代失败，返回）;return;endkend调用雅克比求解线性方程组的程序，取初值x0=0；0；0；0；0；0；0；0；0；0,不同精度下求得解为：=10-3：则x2=2.0000；1.0000；-2.9997；-0.0006；1.0008；-2.0015；3.0010；-0.0016；1.0007；-1.0007，迭代次数k二10=10-4：贝Ux2=2.0000；1.0000；-2.9999；-0.0002

7、；1.0002；-2.0003；3.0002；-0.0003；1.0001；-1.0001,迭代次数k=12=10-5:则x2=2.0000；1.0000；-3.0000；0.0000；1.0000；-2.0000；3.0000；0.0000；1.0000；-1.0000,迭代次数k=15由方程组三雅克比的迭代过程可以看出，精度越高，所需迭代次数就越多，迭代速度也就越慢，但是其解也越来越接近与真值。当=10-5时，x2=2.0000；1.0000；-3.0000；0.0000；1.0000；-2.0000；3.0000；0.0000；1.0000；-1.0000,这与真值基本是相同的。2、高斯

8、-赛德尔迭代法同样,在进行高斯-赛德尔迭代之前,我们应该先判断迭代是否能够收敛,这里我们使用高斯-赛德尔迭代法收敛的充分必要条件(即,迭代矩阵的谱半径小于等于1)。1、判断方程组一使用高斯-赛德尔迭代法是否收敛在matlab软件中编写程序：D=diag(diag(A)；L=-tril(A,-1)；U=-triu(A,1)；B=(D-L)U；t=eig(B)r=max(abs(t)可求出方程组一的高斯-赛德尔迭代矩阵的特征值分别为：0；17.1222；-0.8196+4.1041i；-0.8196-4.1041i；0.9839；0.8639；-0.0220+0.1529i；-0.0220-0.1

9、529i；0.4784；0.0000显然，其谱半径为r=17.1222,大于1,则高斯-赛德尔迭代法不收敛，故不可用高斯-赛德尔迭代法进行迭代求解。2、判断方程组二使用高斯-赛德尔迭代法是否收敛与方程组一相似,求出方程组二的高斯-赛德尔迭代矩阵的特征值为：0；0.9947；0.5849+0.0782i；0.5849-0.0782i；0.3075+0.2159i；0.3075-0.2159i；0.0291；-0.0000其谱半径r=0.9947,小于1,则方程组二使用高斯-赛德尔迭代法仍然收敛，故可用高斯-赛德尔迭代法求解。编写matlab高斯-赛德尔迭代法程序如下：functionX=gsei

10、d(A,b,x0,delta,max1)N=length(b);fork=1:max1forj=1:Nifj=1X(1)=(b(1)-A(1,2:N)*x0(2:N)/A(1,1);elseifj=NX(N)=(b(N)-A(N,1:N-1)*(X(1:N-1)/A(N,N);elseX(j)=(b(j)-A(j,1:j-1)*X(1:j-1)-A(j,j+1:N)*x0(j+1:N)/A(j,j);endendt=abs(X-x0);r=max(t);x0=X;if(rdelta)breakendkend调用高斯-赛德尔求解线性方程组的程序，取初值x0=0;0;0;0;0;0;0;0;0;0

11、，不同精度下求得解为：=10-3：贝Ux2=1.3126；-1.3619；0.0775；1.8468；1.0320；-1.0685；0.0209；1.9882,迭代次数k=7=10-4：Ux2=1.1604；-1.1886；0.0377；1.9166；1.0133；-1.0342；0.0082；1.9953,迭代次数k=132=10-5：Ux2=1.0160；-1.0188；0.0038；1.9917；1.0013；-1.0034；0.0008；1.9995,迭代次数k=569由方程组二的高斯-赛德尔迭代过程可以看出,精度越高,所需迭代次数就越多，迭代速度也就越慢，但是其解也越来越接近与真值。

12、当=10-5时，x2=1.0160；-1.0188；0.0038；1.9917；1.0013；-1.0034；0.0008；1.9995,这与真值x*=(1,-1,0,2,1,-1,0,2基本是相同的。3、判断方程组三使用高斯-赛德尔迭代法是否收敛与方程组一、方程组二相似,求出方程组二的高斯-赛德尔迭代矩阵的特征值为：0；0.2302；0.1769；0.1072；0.0431；0.0051；-0.0000+0.0000i；-0.0000-0.0000i；0.0000；-0.0000其谱半径为0.2302,小于1,则方程组三使用高斯-赛德尔迭代法收敛，故可用高斯-赛德尔迭代法求解。调用高斯-赛德

13、尔求解线性方程组的程序，取初值x0=0;0;0;0;0;0;0;0;0;0,不同精度下求得解为：=10-3：则x2=2.0016；0.999；-3.0021；-0.0028；0.9986；-2.0003；3.00010.0001；1.0000；-1.0000,迭代次数k=4=10-4：则x2=1.9999；0.9998；-3.0002；-0.0001；1.0000；-2.0000；3.00000.0000；1.0000；-1.0000,迭代次数k=6=10-5:贝Ux2=2.0000；1.0000；-3.0000；-0.0000；1.0000；-2.0000；3.00000.0000；1.00

14、00；-1.0000，迭代次数k=8当=10-5时，x2=2.0000；1.0000；-3.0000；-0.0000；1.0000；-2.0000；3.00000.0000；1.0000；-1.0000,这与真值x*=(2,1,-3,0,1,-2,3,0,1,-1)是相同的。3、超松弛迭代法1、判断方程组一使用超松弛迭代法是否收敛在matlab软件中编写程序：w=1.3D=diag(diag(A);L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);B=(D-w*L)(1-w)*D+w*U);t=eig(B)r=max(abs(t)可求出方程组一的超松弛迭代矩阵的谱半径为r=164.0633

15、,大于1,则超松弛迭代法不收敛，故不可用超松弛迭代法进行迭代求解。2、判断方程组二使用超松弛迭代法是否收敛与方程组一相似，取w=1.3求出方程组二的超松弛迭代矩阵的特征值为：0.9902；0.4505+0.3101i；0.4505-0.3101i；0.1697+0.4168i；0.1697-0.4168i；0.0452；-0.0972+0.1215i；-0.0972-0.1215i其谱半径r=0.9902,小于1,则方程组二使用超松弛迭代法收敛，故可用超松弛迭代法求解。编写超松弛迭代法的matlab程序如下：functionx,k=SOR(A,b,w,N,r)x0=zeros(1,length

16、(b);n,n=size(A);k=1;whilek=Nx(1)=(b(1)-A(1,2:n)*x0(2:n)/A(1,1);fori=2:nx(i)=(1-w)*x0(i)+w*(b(i)-A(i,1:i-1)*x(1:i-1)-A(i,i+1:n)*x0(i+1:n)/A(i,i);endifmax(abs(x-x0)=rbreak;endk=k+1;x0=x;endifk=N+1disp（超过最大迭代次数，求解失败！）；end调用超松弛求解线性方程组的程序，取初值x0=0；0；0；0；0；0；0；0；0；0,取=10-5，分别取=0.8，0.9，1，1.1，1.2，1.3，1.4，1.5

17、，1.6，1.7，1.8，1.9，2时，可得到不同的解：=0.8:J则x=1.0208；-1.0245；0.0049；1.9892；1.0017；-1.0044；0.0011；1.9994，迭代次数k=10=0.9:则x=1.0182；-1.0214；0.0043；1.9906；1.0015；-1.0039；0.0009；1.9995迭代次数k=604=1:则x=1.0160；-1.0188；0.0038；1.9917；1.0013；-1.0034；0.0008；1.9995迭代次数k=570=1.1：J则x=1.0144；-1.0169；0.0034；1.9926；1.0012；-1.003

18、1；0.0007；1.9996迭代次数k=538=1.2：J则x=1.0129；-1.0151；0.0030；1.9933；1.0011；-1.0027；0.0007；1.9996迭代次数k=510=1.3：J则x=1.0116；-1.0136；0.0027；1.9940；1.0010；-1.0025；0.0006；1.9997迭代次数k=484=1.4：J则x=1.0106；-1.0124；0.0025；1.9945；1.0009；-1.0023；0.0005；1.9997迭代次数k=459=1.5：J则x=1.0097；-1.0113；0.0023；1.9950；1.0008；-1.002

19、1；0.0005；1.9997迭代次数k=437=1.6：J则x=1.0089；-1.0104；0.0021；1.9954；1.0007；-1.0019；0.0004；1.9997迭代次数k=416=1.7：J则x=1.0082；-1.0096；0.0019；1.9958；1.0007；-1.0018；0.0004；1.9998迭代次数k=396=1.8：J则x=1.0076；-1.0088；0.0018；1.9961；1.0006；-1.0016；0.0004；1.9998迭代次数k=378=1.9：J则x=1.0070；-1.0081；0.0016；1.9964；1.0006；-1.001

20、5；0.0003；1.9998迭代次数k=361=2：则超过最大迭代次数，求解失败！当=1.9时，x=1.0070；-1.0081；0.0016；1.9964；1.0006；-1.0015；0.0003；1.9998,这与真值x*=(1,-1,0,2,1,-1,0,2)是基本相同的。而当=2,则超过最大迭代次数，求解失败！3、判断方程组三使用超松弛迭代法是否收敛与方程组一、方程二相似，取w=1.3求出方程组二的超松弛迭代矩阵的特征值为：-0.1055+0.2808i；-0.1055-0.2808i；-0.2957+0.0505i；-0.2957-0.0505i；-0.2635+0.1433i；

21、-0.2635-0.1433i；-0.1505+0.2595i；-0.1505-0.2595i；-0.2094+0.2148i；-0.2094-0.2148i其谱半径r=0.3000，小于1,则方程组三使用超松弛迭代法收敛，故可用超松弛迭代法求解。调用超松弛求解线性方程组的程序，取初值x0=0;0;0;0;0;0;0;0;0;0，取=10-5，分别取=0.8，0.9，1，1.1，1.2时，可得到不同的解：=0.8：则x=2.0000；1.0000；-3.0000；-0.0001；0.9999；-2.0000；3.0000；-0.0000；1.0000；-1.0000，迭代次数k=12=0.9：

22、则x=2.0000；1.0000；-3.0000；-0.0000；1.0000；-2.0000；3.0000；-0.0000；1.0000；-1.0000迭代次数k=10=1：则x=2.0000；1.0000；-3.0000；-0.0000；1.0000；-2.0000；3.0000；0.0000；1.0000；-1.0000迭代次数k=9=1.1：则x=2.0000；1.0000；-3.0000；0.0000；1.0000；-2.0000；3.0000；-0.0000；1.0000；-1.0000迭代次数k=9=1.2：则x=2.0000；1.0000；-3.0000；0.0000；1.0000；-2.0000；3.0000；-0.0000；1.0000；-1.0000迭代次数k二11=1.3：则x=2.0000；1.0000；-3.0000；0.0000；1.0000；-2.0000；3.0000；-0.0000；1.0000；-1.0000迭代次数k=13当=1.1时，x=2.0000；1.0000；-3.0000；0.0000；1.0000；-2.0000；3.000