差分方程讲解老师

1、差分方程讲解老师第1页，共69页，2022年，5月20日，20点27分，星期三一. 数列的概念二. 数列差分的概念三. 差分表的性质1 数列的差分第2页，共69页，2022年，5月20日，20点27分，星期三一. 数列的概念一个数列就是实数的任何(有限或无限的)有序集. 这些数称为数列的项或元素.用an来表示数列的第n项, 称之为数列的通项.1 数列的差分定义1.1 一个数列是一个函数, 其定义域为全体正整数(有时, 为方便计, 是全体非负整数集合), 其值域包含在全体实数集中. 第3页，共69页，2022年，5月20日，20点27分，星期三数列的表示:1. 列举法:1 数列的差分第4页，共6

2、9页，2022年，5月20日，20点27分，星期三数列的表示:2. 通项法:1 数列的差分第5页，共69页，2022年，5月20日，20点27分，星期三数列的表示:1 数列的差分3. 图象法: 序列的项通过标出点(n, an) 图示. 直观, 具有可视化的效果. 4. 描述法:第6页，共69页，2022年，5月20日，20点27分，星期三数列的一些例子1. 假如你开了一个10000元的银行帐户, 银行每月付给2%的利息. 假如你既不加进存款也不取钱, 那么每个月后的存款余额就构成一个数列.1 数列的差分第7页，共69页，2022年，5月20日，20点27分，星期三1 数列的差分2. 兔子出生以

3、后两个月就能生小兔, 若每次不多不少恰好生一对(一雌一雄). 假如养了初生的小兔一对, 则每个月小兔的对数也构成一个数列(假设生下的小兔都不死) 斐波那契(Fibonacci意大利 约1170-1250本名Leonardo)1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 第8页，共69页，2022年，5月20日，20点27分，星期三二. 数列差分的概念数列相邻项的差, 称为数列的差分.1 数列的差分定义1.2 对任何数列A a1, a2, , 其差分算子(读作delta)定义如下: a1 a2 a1, a2 a3 a2, a3 a4 a3, ,一般地, 对任何n有 an an1 a

4、n,第9页，共69页，2022年，5月20日，20点27分，星期三应用这个算子, 从原来的数列A构成一个新的数列A, 从数列A可得到数列2A 2an, 这里 2an (an) an1 an an2 an1 an1 an an2 2an1 an,称之为数列A的二阶差分, 二阶差分2an的差分3an称为三阶差分, 二阶及二阶以上的差分称为高阶差分, 而称an为一阶差分.1 数列的差分第10页，共69页，2022年，5月20日，20点27分，星期三差分的物理和几何意义:在物理方面, 一阶差分表示物体运动的平均速度, 二阶差分表示平均加速度.在几何方面, 一阶差分表示数列图形中相邻两点连线的斜率.1

5、数列的差分例. 外出汽车旅行, 每小时记录下里程表的读数. 设A an 22322, 22352, 22401, 22456, 22479, 22511,A an 30, 49, 55, 23, 32,第11页，共69页，2022年，5月20日，20点27分，星期三例. 假设我们有数列an 3n 5, 并考虑由表给出的关于n 1, 2, 3, 的数列. 我们按函数值列表, 并考虑相邻项的差. 1 数列的差分3333333-21471013161912345678n第12页，共69页，2022年，5月20日，20点27分，星期三1 数列的差分第13页，共69页，2022年，5月20日，20点27

6、分，星期三定理1.1 若c和b为常数且对所有n 1, 2, 3, 有 an cn b, 则: 1. 对所有n, 数列an的差分为常数; 2. 当画an关于n的图形时, 这些点都落在 一条直线上.1 数列的差分定理1.2 若an c, 其中c是一个与n无关的常数, 则有一个an的线性函数(即存在常数b使 an cn b).第14页，共69页，2022年，5月20日，20点27分，星期三1 数列的差分例. 对二次多项式数列 , 当 时造差分表.n12345633591523024682222第15页，共69页，2022年，5月20日，20点27分，星期三定理1.3 若数列an由一个二次多项式定义,

7、 则该数列具有性质: 其二阶差分为常数, 2an c.1 数列的差分定理1.4 若数列an具有性质: 对一切n有2an c, c为一个常数, 则该数列的项遵从二次变化模式, 而且表达其通项的公式是一个二次多项式.注: 一般地, 由k次多项式定义的数列的k1阶差分为零, 反之, 若数列an的k1阶差分为零, 则存在一个生成该数列的k次多项式.第16页，共69页，2022年，5月20日，20点27分，星期三例 考虑数列an 1, 3, 6, 10, 15, 21, , 则有an 2, 3, 4, 5, 6, 以及 2an 1, 1, 1, 1, 1, .令 an An2 Bn C,1 数列的差分第

8、17页，共69页，2022年，5月20日，20点27分，星期三例 求数列an n2 12, 22, 32, 42, 52, 62, 前n项和Sn, 即n个正整数平方和. 由于Sn(n1)222, 32, 42, 52, , 2Sn 2n3 5, 7, 9, 11, 以及 3Sn 2, 2, 2, 2, 令 Sn An3 Bn2 Cn D.1 数列的差分第18页，共69页，2022年，5月20日，20点27分，星期三由S1 1, S2 5, S3 14, S4 30得 A B C D 1, 8A 4B 2C D 5(23 A 22 B 2C D 5), 27A 9B 3C D 14(33A 32

9、B 3C D 14), 64A 16B 4C D 30(43A 42 B 4C D 30),1 数列的差分解关于A, B, C和D的方程组可得 A 1/3, B 1/2, C 1/6, D 0,则第19页，共69页，2022年，5月20日，20点27分，星期三三. 差分表的性质和应用1 数列的差分定义1.3 数列A an在第k项处是增的, 若 ak ak1(或用算子记号, ak 0).数列A在第k项处是减的, 若ak ak1(或ak 0).数列A在第k项处达到相对极大, 若ak ak1而ak ak1(或用算子记号, ak1 0而ak 0).数列A在第k项处达到相对极小, 若ak ak1而ak

10、ak1(或ak1 0而ak 0).第20页，共69页，2022年，5月20日，20点27分，星期三1 数列的差分数列A在第k项处上凹, 若ak ak1(或用二阶差分的算子记号, 2ak1 0).数列A在第k项处下凹, 若ak ak1(或2ak1 0).注意: 在k1处的二阶差分决定了k项处的凹性. 决定凹性的另一种看法是: 当一阶差分增加时数列上凹, 而当一阶差分减小时数列下凹.定义1.4 数列A在第k项处有一个拐点, 倘若2ak和2ak1有不同的正负号.第21页，共69页，2022年，5月20日，20点27分，星期三1 数列的差分第22页，共69页，2022年，5月20日，20点27分，星期

11、三1 数列的差分例 讨论数列 n2 4n 3的性质 构造an n2 4n 3的前7个数列值的差分表, 并用该表确定数列在何处增加、减少, 达到相对极大或极小, 上凹、下凹以及是否有拐点.n101221123032435258726159724第23页，共69页，2022年，5月20日，20点27分，星期三1 数列的差分第24页，共69页，2022年，5月20日，20点27分，星期三一. 差分方程的基本概念二. 齐次线性差分方程的解析解2 一阶线性差分方程第25页，共69页，2022年，5月20日，20点27分，星期三一. 差分方程的基本概念2 一阶线性差分方程定义2.1 差分方程是一种方程,

12、该方程表明数列中的任意项如何用前一项或几项来计算. 初始条件是该数列的第一项. 出现在差分方程中的项的最大下标减去最小下标得到的数称为差分方程的阶.第26页，共69页，2022年，5月20日，20点27分，星期三2 一阶线性差分方程定义2.2 如果差分方程中包含数列变量(即包含an)的项不包含数列变量的乘积, 不包含数列变量的幂, 也不包含数列变量的诸如指数, 对数或三角函数在内的函数, 那么我们称该差分方程是线性的. 否则差分方程就是非线性的. 注意这种限制只适用于包含数列变量的项, 而不能用于不包含数列变量的其它项.线性的非线性的第27页，共69页，2022年，5月20日，20点27分，星

13、期三2 一阶线性差分方程定义2.3 线性差分方程称为齐次的, 如果它只包含数列变量的项.如果略掉非齐次方程中不包含数列变量的项, 就得到一个齐次方程, 称之为与原方程相应的齐次方程.齐次的第28页，共69页，2022年，5月20日，20点27分，星期三2 一阶线性差分方程对于差分方程的研究主要是差分方程的求解(当可以求解的时候)以及讨论解的性质. 能够给出解析解的差分方程是为数很少的一部分, 大多数差分方程是不能给出解析解的, 此时, 只能对其解的性质给出一定的讨论, 讨论解的性质(解的变化趋势, 是周期的还是非周期的或混沌的)有两种方法: 一是数值计算方法, 二是定性或定性定量结合的方法.第

14、29页，共69页，2022年，5月20日，20点27分，星期三2 一阶线性差分方程差分方程的解具有不同的形式: 数值, 图形, 公式定义2.4 数值解是从一个或多个初值出发迭代差分方程得到的一张数值表.第30页，共69页，2022年，5月20日，20点27分，星期三2 一阶线性差分方程例如, 在银行帐户上以7%的利息积累起来的钱数是由差分方程 an1 an 0.07an来确定, 其中an表示n个月后银行中的存款数. 月本金利息nan0$1000.000$70.000011070.000 74.900021144.900 80.143031225.043 85.753041310.796 91.

15、755751402.552 98.178661500.730 105.0510716.5.781 112.405081718.186 120.273091838.459 128.6920101967.151137.7010第31页，共69页，2022年，5月20日，20点27分，星期三2 一阶线性差分方程定义2.5 差分方程的一个解析解是一个函数, 当把它代入差分方程时就得到一个恒等式, 而且还满足任何给定的初始条件.差分方程 an1 an 0.07an若把函数ak (0.07)kc, 其中c为任意常数, 代入差分方程就得到一个恒等式:第32页，共69页，2022年，5月20日，20点27分，

16、星期三2 一阶线性差分方程定义2.6 差分方程的一个通解是一个函数, 当代入特定值后就得到相应于不同初值的特解.ak (0.07)kc称为差分方程an1 an 0.07an的通解, 因为代入c的特定值就给出与不同的初值a0相应的特解.第33页，共69页，2022年，5月20日，20点27分，星期三2 一阶线性差分方程数值解与解析解的比较: 在求银行模型的数值解时只需要一个差分方程和一个初值. 这是数值解的一个强有力的性质求数值解时无须要求差分方程具有特殊的性质. 只要从一个或多个初值开始进行迭代计算就行了. 另一方面, 因为没有第k项的一个一般的公式, 每一项必须从前一项或几项算得. 从一个数

17、值解来预测解的长期性态可能是困难的. 第34页，共69页，2022年，5月20日，20点27分，星期三2 一阶线性差分方程解析解给出了一个我们可以直接计算数列中任何特定项的函数. 解析解的另一个优点是, 当我们求得一个解析解时, 通常也同时得到了通解. 相比之下, 用迭代计算求得的解只从属于某个初始条件.第35页，共69页，2022年，5月20日，20点27分，星期三二. 齐次线性差分方程的解析解2 一阶线性差分方程定理2.1 一阶线性差分方程an1 ran b的解为an bn c, 若r 1.若r 1.第36页，共69页，2022年，5月20日，20点27分，星期三1 市场经济中的蛛网模型2

18、 减肥计划节食与运动3 差分形式的阻滞增长模型4 按年龄分组的种群增长差分方程模型第37页，共69页，2022年，5月20日，20点27分，星期三1 市场经济中的蛛网模型问 题供大于求现象商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定价格下降减少产量增加产量价格上涨供不应求描述商品数量与价格的变化规律数量与价格在振荡第38页，共69页，2022年，5月20日，20点27分，星期三蛛 网 模 型gx0y0P0fxy0 xk第k时段商品数量；yk第k时段商品价格消费者的需求关系生产者的供应关系减函数增函数供应函数需求函数f与g的交点P0(x0,y0) 平衡点一旦x

19、k=x0，则yk=y0, xk+1,xk+2,=x0, yk+1,yk+2, =y0 第39页，共69页，2022年，5月20日，20点27分，星期三xy0fgy0 x0P0设x1偏离x0 x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是稳定平衡点P1P2P3P4P0是不稳定平衡点xy0y0 x0P0fg曲线斜率蛛 网 模 型第40页，共69页，2022年，5月20日，20点27分，星期三在P0点附近用直线近似曲线P0稳定P0不稳定方 程 模 型方程模型与蛛网模型的一致第41页，共69页，2022年，5月20日，20点27分，星期三 商品数量减少1单位, 价格上涨幅度 价格上涨1单位, (下时段

20、)供应的增量考察 , 的含义 消费者对需求的敏感程度 生产者对价格的敏感程度小, 有利于经济稳定 小, 有利于经济稳定结果解释xk第k时段商品数量；yk第k时段商品价格经济稳定结果解释第42页，共69页，2022年，5月20日，20点27分，星期三经济不稳定时政府的干预办法1. 使 尽量小，如 =0 以行政手段控制价格不变2. 使 尽量小，如 =0靠经济实力控制数量不变xy0y0gfxy0 x0gf结果解释需求曲线变为水平供应曲线变为竖直第43页，共69页，2022年，5月20日，20点27分，星期三模型的推广 生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。生产者管理水平提高设供应函数

21、为需求函数不变二阶线性常系数差分方程x0为平衡点研究平衡点稳定，即k, xkx0的条件第44页，共69页，2022年，5月20日，20点27分，星期三方程通解(c1, c2由初始条件确定)1, 2特征根，即方程 的根 平衡点稳定，即k, xkx0的条件:平衡点稳定条件比原来的条件 放宽了模型的推广第45页，共69页，2022年，5月20日，20点27分，星期三2 减肥计划节食与运动背景 多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持 通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标分析 体重变化由体内能量守恒破坏引起 饮食（吸收热量）引起体重增加 代谢和运动（消耗热量）引起

22、体重减少 体重指数BMI=w(kg)/l2(m2). 18.5BMI25 超重; BMI30 肥胖.第46页，共69页，2022年，5月20日，20点27分，星期三模型假设1）体重增加正比于吸收的热量每8000千卡增加体重1千克；2）代谢引起的体重减少正比于体重每周每公斤体重消耗200千卡 320千卡(因人而异), 相当于70千克的人每天消耗2000千卡 3200千卡；3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关； 4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。第47页，共69页，2022年，5月20日，20点27分，星期三某甲体重100千克，目

23、前每周吸收20000千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至75千克。第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（10000千卡）；第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标 2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。减肥计划3）给出达到目标后维持体重的方案。第48页，共69页，2022年，5月20日，20点27分，星期三 确定某甲的代谢消耗系数即每周每千克体重消耗 20000/100=200千卡基本模型w(k) 第k周(末)体重c(k) 第k周吸收热量 代谢消耗系数(因人而异)1）不运动情况的两阶段减肥计划每周吸收20000千卡 w

24、=100千克不变第49页，共69页，2022年，5月20日，20点27分，星期三 第一阶段: w(k)每周减1千克, c(k)减至下限10000千卡第一阶段10周, 每周减1千克，第10周末体重90千克吸收热量为1）不运动情况的两阶段减肥计划第50页，共69页，2022年，5月20日，20点27分，星期三 第二阶段：每周c(k)保持Cm, w(k)减至75千克 1）不运动情况的两阶段减肥计划基本模型第51页，共69页，2022年，5月20日，20点27分，星期三 第二阶段：每周c(k)保持Cm, w(k)减至75千克 第二阶段19周, 每周吸收热量保持10000千卡, 体重按 减少至75千克。

25、第52页，共69页，2022年，5月20日，20点27分，星期三运动 t=24 (每周跳舞8小时或自行车10小时), 14周即可。2）第二阶段增加运动的减肥计划根据资料每小时每千克体重消耗的热量 (千卡): 跑步 跳舞 乒乓 自行车(中速) 游泳(50米/分) 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9t每周运动时间(小时)基本模型第53页，共69页，2022年，5月20日，20点27分，星期三3）达到目标体重75千克后维持不变的方案每周吸收热量c(k)保持某常数C，使体重w不变 不运动 运动(内容同前)第54页，共69页，2022年，5月20日，20点27分，星期三3 差分形式的阻滞增长模型连续

26、形式的阻滞增长模型 (Logistic模型)t, xN, x=N是稳定平衡点(与r大小无关)离散形式x(t) 某种群 t 时刻的数量(人口)yk 某种群第k代的数量(人口)若yk=N, 则yk+1,yk+2,=N讨论平衡点的稳定性，即k, ykN ？y*=N 是平衡点第55页，共69页，2022年，5月20日，20点27分，星期三离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性一阶(非线性)差分方程 (1)的平衡点y*=N讨论 x* 的稳定性变量代换(2)的平衡点第56页，共69页，2022年，5月20日，20点27分，星期三(1)的平衡点 x*代数方程 x=f(x)的根稳定性判断(1)的近似线性方程x*也是(2)的平衡点x*是(2)和(1)的稳定平衡点x*是(2)和(1)的不稳定平衡点补充知识一阶非线性差分方程的平衡点及稳定性第57页，共69页，2022年，5月20日，20点27分，星期三01的平衡点及其稳定性平衡点稳定性x*