泛函分析课程总结

1、泛函分析课程总结数学与计算科学学院 09数本5班 符翠艳 2009224524 序号：26一知识总结第七章度量空间和赋范线性空间度量空间的定义：设X是一个集合，若对于X中任意两个元素兀，都有唯一确定的实数1、dG,y)2O,dG,y) = O的充要条件是r=y;d(x,y)与之相对应，而且满足3、d(x,y)d(x,z)+ dG,y),对任意z都成立。LJ则称为X上的一个度量函数，(x,d)为度量空间，d(x,y)为两点间的度量。度量空间的例子离散的度量空间(X,d)设X是任意的非空集合，对X中任意两点兀ycX,令d(3)=1,d(3)=1,当*丰y0,当 x = y令S表示实数列(或复数列)

2、序列空间S令S表示实数列(或复数列)尸2,气,)，的全体，对S中任意两点工=(&,&，尸2,气,)，12 n1=11 i i有界函数空间B (A)设A是一给定的集合，令B (A)表示A上有界实值(或复值)函数全体，对B (A)中任意两点工,y,定义d (尤，y ) = sup x(0-y(0teA可测函数空间m(X)设m (X)为X上实值(或复值)的L可测函数全体，m为L测度，若m(x)oo,对任意两个可测函数f(t)及g(t),令f (t) - g (t)x 1 f (t) - g (t)x 1 + f (t) - g (t)dt令C a, b表示闭区间a, b上实值(或复值)连续函数的全体

3、，对C a, b中任意两点x, y，定d (x, y) = max |x(t) - y(t)|a t bl2空间乙 x, 8kk=1d (x, y)=芝(y -k乙 x, 0,存在正整数N = N(s)，使当n,mN时，必有dG ,X )则称x 是X中的柯西点列。那么称(X,d)是完备的度量空间。 n4。2完备度量空间的例子i s是完备度量空间C是完备度量空间C a,方是完备度量空间4。3定理的证明定理：完备度量空间X的子空间M是完备空间的充要条件为M是X中的闭子空间.证明：设M是完备子空间，对每个x g M，存在M中点列x ，使x T x(n r s)，由前述，x nMn是M中的柯西点列，所

4、以在M中收敛，有极限的唯一性可知xgM，即Mu M，所以M = M ,因此M是X中的闭子空间。5。度量空间的完备化5。1等距同构映射定义：设(X, d)，f X, d是两个度量空间，如果存在X到X上的保距映射T，即 Id (Tx, Ty )= d (x, y )，则称(X, d )和X, d等距同构，T称为X到X上的等距同构映射。5.2度量空间的完备化定理定理：设X = (X, d)是度量空间，那么一定都一定存在一个完备空间fX, d ，使X与X的某个稠密子空间w等距同构。并且X在等距同构的意义下时唯一的，即(X, d)也是一完备度量空间，、一一 一 、( 一 一且X与X的某个稠密子空间等距同

5、构，则X,d与(X,d)等距同构。J注：任一度量空间（X,d）都存在唯一的完备度量空间X,d，使X为X的稠密子空间。注：任一度量空间（X,d）都存在唯一的完备度量空间X,d，使X为X的稠密子空间。6。压缩映射6.1压缩映射定义：设X是度量空间，T是X到X中的映射，如果存在一个数a , 0 vav 1，使得对所有的x, y e X，d(TX, Ty )a d (x, y ),(1)则称T是压缩映射6。2压缩映射定理定理：设X是完备的度量空间T是X上的压缩映射，那么T有且只有一个不动点（就是说，方程Tx = x，有且只有一个解）。证明：设x是X中任意一点令x = Tx ，x = Tx = T2x

6、,.,x = Tx= Tnx ,.。我们证明点列x 10210 nn-10n是X中柯西点列事实上，(2)d (x , x )=d(Tx ,Tx a d (x , x )(2)=a d (Tx , Tx ) a 2 d (x , x ) .a md(x ,x )由三点不等式当由三点不等式当nm时,d(x , x ) d(x , x ) + d(x ,x ) +. + d(x , x )m nmm+1m+1m+2n-1nm）a m（nm）d (x , x ) d (x , x )m n 1 - a 0 1泛函分析课程总结 所以当m T 8,n T 8时，(x ,x ) T 0，即x 是X中柯西点列

7、，由X完备，存在x e X，使x T x(m T 8)，又由三点不等式和条件(1)，我们有d (x, Tx) d (x, x ) + d (x , Tx) d (x, x ) + a d (x , x).上面不等式右端当m T8时趋于0，所以d (x, Tx) = 0,即Tx = x下证唯一性。如果又有xe X，使Tx = x，则由条件(1)，d(x, x) = d(Tx, T x) 0, 且| x=0 等价于尤=0； 2.|ax| = |a|x|,其中以为任意实（复）数; 3x + 圳 x| +|,x, y e X.则称|x|为向量x的范数，称X按范数|x|成为赋范线性空间。设x 是X中点列

8、，如果存在x e X，使|x -| T 0(n T 8)，则称x 依范数收敛于x，记为x T x(n T 8)或lim x = x .如果令 nn T8 nd(x, y) = |x- y|(x, y e X)即x 依范数收敛于x等价于x 按距离d(x, y)收敛于x,称d(x, y)为由范数|x|导出的距离.注：完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间7。2几种常见的巴拿赫空间欧式空间Rn对每一个工=(& ,&，,&)eRn，定义范数12 nNI=(1)NI=(1)又因Rn完备，是R又因Rn完备，是Rn中范数.故Rn按(l)式中范数成为巴拿赫空间。空间Ca,b对每一个%eCa,b，定义|x| = ma

9、x x(t)(2)a t 1)按(4)式中的范数成为巴拿赫空间。空间IP对每一个x = (,q,.,)elp，定义|x| =R|x| =Rp k /=i(5)Ip按(5)式中的范数成为巴拿赫空间。7。3两个重要的不等式和两条定理(1)霍尔德不等式设 p1,L +1 = 1, f g Lp r a,b 1，g g Lp r a,b ,那么 f (t) g (t)在a, b 1 上 l 可积，并且 p qLLLbf(t)g(t)刃|f| |g|(2)闵可夫斯基不等式设p1，f, g g Lpa, b 1,那么f + g g Lpa, b 1，并且成立不等式Ilf (t)+ g (t )11 疽 |

10、 |f| +| g|定理1：当p 1时，Lpa, b 1按(4)式中范数|f|成为赋范线性空间.定理2: Lp a, b (P 1)是巴拿赫空间7.4有限维赋范线性空间的性质定理3：设X是n维赋范线性空间，,%,.,e是X的一组基，则存在常数M和M，使得对一切x =芝& ek=11M |X| 应 |&k |2)2 M诉|k=1推论1：设在有限维线性空间上定义了两个范数同和|x|，那么必存在常数M和M，使得MIIXI1XI1 M IXII拓扑同构的定义：设(R ,|x| )和(R ,|圳)是两个赋范线性空间。如果存在从R到R上的线性映射中 112212和正数c ， c，使得对一切X g R，有1

11、21匕 |甲Xi, |%| C21|甲她 则称,|x|1 )和G2,|x| )是两个赋范线性空间是拓扑同构 推论2:任何有限维赋范空间都和同维数欧式空间拓扑同构，相同维数的有限维赋范空间彼此拓扑同构。8.度量空间、赋范线性空间、巴拿赫空间的区别与联系赋范线性空间一定是度量空间，反之不一定成立。度量空间按照加法和数乘运算成为线性 空间，而且度量空间中的距离如果是由范数导出的，那么这个度量空间就是赋范线性空间.泛函分析课程总结赋范线性空间与巴拿赫空间的联系与区别：完备的赋范线性空间是巴拿赫空间。巴拿赫空间 一定是赋范线性空间，反之不一定成立。巴拿赫空间一定是度量空间，反之不一定成立。巴拿赫空间满足

12、度量空间的所有性质。巴拿 赫空间由范数导出距离，而且满足加法和数乘的封闭性。满足完备性，则要求每个柯西点列都在 空间中收敛。度量空间中距离要满足三个性质：非负线性、对称性、三点不等式，因此距离d (x, y)的定义是 重点。赋范线性空间中范数要满足：非负性、线性性、三角不等式，距离定义为d (x, y) = |x - |且 范数的定义是关键。第八章有界线性算子和连续线性泛函线性算子和线性泛函1。1线性算子和线性泛函定义设X和Y是两个同为实(或复)的线性空间，D是X的线性子空间，T为D到Y中的映射，如 果对任意的x, y e D及数a，有T (x + y) = Tx + Ty(1)T (a x)

13、 =aTx(2)则称T为D到Y中的线性算子，其中D称为T的定义域，记为D(T)，TD称为T的值域，记为R(T)。 当值域R (T)取实数(或复数)域时，T为实(或复)线性泛函。注：1. 算子：函数 映射 函数，泛函：函数 映射 数泛函是一种特殊的算子3。当中a =0,即Tx = 0，即0e N(T)，其中N(T)表示算子T的零空间。N(T) = x|Tx = 0,x e D(T)1。2线性算子和线性泛函的例子相似算子设X是线性空间，a是一给定的数，对任意xe X，令Tx =a x,显然T是X到X中的线性算子。恒等算子设X是线性空间，对任意x g X，令a= 1,则Tx = x .恒等算子记为I

14、X或I零算子设X是线性空间，对任意x g X，令a=0，则Tx = 0 .零算子记为。微分算子设P【0,l为【0,l区间上多项式全体，对每个x g P0,l,定义(Tx )(t) = dx (t)dt由求导运算的线性性质，可知T是P0,1到P0,1中的线性算子注：如果任取t0 g 0,1，对任意的x g P 0,1，定义f (x) = x (t )0则f是P 0,1上的线性泛函积分算子对每一个x g Ca,认定义(Tx)(t) = j tx(T da由积分运算的线性性质，可知T是Ca,对到Ca,对中的线性算子注：若令f (x) = jbx(r)dT，则f是Ca,b上的线性泛函.a乘法算子对每一

15、个x g Ca,b,定义(Tx )(t) = tx(t)易知T是线性算子。注：1.线性算子与有限维空间中的方阵相对应。线性泛函与有限维空间中的向量(数组)相对应1.3有界线性算子泛函分析课程总结 定义：设X和Y是两个赋范线性空间，T是X的线性子空间D(T)到y中的线性算子，如果存在常数c，是对所有的x e D(T)，有四 c|x|则称T是D(T)到y中的有界线性算子.1。4算子的范数定义：T为赋范线性空间X的子空间D (T)到赋范线性空间y中的线性算子，称T = s叩亨X。0|xeD (T)为算子T在D(T)上的范数。注：1. 丁有界=|t|3|T| sn |Tx| ITIIXII丁有界 n

16、|TX| 0,存在5 0当d(x,y) 5时，有d(Tx,Ty) 0，存在5 = 5 () 0,只要x , x e X，且d (x , x ) 5 , TOC o 1-5 h z 1212就有d(x ,x ) 成立，则称T在X上一致连续。定理2。1设(x,d), y = (y,d)是度量空间，t:x y, x e x ,则下列各命题等价。T在x0连续；0对于X中的任意点列x ,若x x (n 3)，则Tx Tx (n 3)。nn 0n 0定理2。2设(x,d), y = (y,d)是度量空间，t:x y。则T是连续映射的充分必要条件是，对 Y中的任一开集M，其原象T-1( M) = x|x e

17、 X, T (x) e M是开集。线性算子和线性泛函的定理定理1：设T为赋范线性空间X到赋范线性空间y中的线性算子，则T为有界算子o T是X上 的连续算子。证明：若T有界，由(3)式，当x r x(n T3)时，因为|叫-同| n|x|/n|x| = 1H f n nnnnn这与Ty r 0(n rs)矛盾.所以T是有界算子。 n定理2。设X是赋范线性空间，f是X上线性泛函，那么f是X上连续泛函O f的零空间N (f)是X中的闭子空间。证明：设f是连续线性泛函，当x e N (f)，年，2,，并且x r x(n rs)时，由f的连续性，由 f (x) = lim f (x ) = 0，因此 x

18、 e N(f)，所以 N(f)是闭集。 n rsn反之，若N (f)是闭集，而f无界，则在X中存在一列向量x, |x |丰0 ,n=1, 2,，使得对每个 n，有 |f(x )| n|x|，令 y =土，则 lly 11 = 1,且 |f(y )| n，作 z =-Z_-2，那1 J E 7n |xj7nJn f (y)f (*)1么 f (z ) = 0，因此，z e N (f)，然而由于 |yf (y )| = 1 f (y )| r 0( n rs)，所以nnn nn nz -r 4, 但 f ( 4) = 1 nf (z -r 4, 但 f ( 4) = 1 nf (y1)f (y1)

19、f是线性有界的。注：1。设T是D(T)上的有界线性算子,那么=sup |T| 注：1。设T是D(T)上的有界线性算子,那么xeD (T)xeD (T)H=1H 12。有界算子和有界算子的复合还是有界的.4。有界线性算子的范数相似算子的范数们+恒等算子范数I叫T零算子范数|。|=05。无界算子例子：微分算子Tx (t) = *x(t),若视p 0,1为C 0,1的子空间，令x(t) = t，则|x| = 1,但 |Tx | = max ntn-1 - n， 所以|T|习|TX| | = n，即T是无界算子.n0t1n有界算子全体所成空间定理1。当Y是巴拿赫空间时，p (X Y)也是巴拿赫空间。注：定义向量的乘积g| |x|，x,y g X则称X是赋范代数，当X完备时，称X为巴拿赫代数。共轭空间定义1：设X是赋范线性空间，令X 表示X上连续线性泛函全体所成的空间，称为X的共轭空 间。注：1. /1的共轭空间为18，即(11) = 18。1.但18个共轭空间