交通欲说线代先方程

1、什么东东叫一个方程（组） 把东东代入这个方程（组（组）化为恒什么东东叫一个方程（组） 把东东代入这个方程（组（组）化为恒（1）n（2）n 元一次方程组（线性方程组概念是矩阵的秩，理论重心是“齐次线性方程组解集的构造”n A n 一元n还同样找到了高次方程的 “ 定理”。a1x1a2x2anxn0 ，实际上只需按顺序写出它的系数组就行了。这就产生了形式上的 n 维向量（a1，a2， ，anmmmn （x1，x2 n端“a1x1a2x2anxn” “对应分量两两相乘，加在 矩阵的秩，n 常常是远， 矩阵的秩，n 常常是远，要而定义新的概念；因为需要而“规定”集合中的运算； 。愿这能有助于你减少一点

2、抽象 m n m n 个元所排n 在学习范围内，n （下含）正交阵 （下含）n维向量集合就是全体n元有序数组，a 。有时候也把n维向量看特殊的矩阵，即（n 1）阶行矩阵或（1 n）阶列矩阵。 n 维向量集合上都定义了“数乘”与“加法”。Ca，b a，b C1（a， b）表示在区间（a，b）上有连续的一阶导数的全体函数。 C（a，b）表示在区间（“ - ” 线性运算是不是“封闭”显然，m n 阶矩阵集合，n 维向量集合，Ca，b 函数集合，C k（a，b）函数集合，三者”的特殊对应规律。 高级语言称之为集合上的 一个“二元关系” 。n 维向量集合上的一个“二元关系” n 即n 三者”的特殊对应规

3、律。 高级语言称之为集合上的 一个“二元关系” 。n 维向量集合上的一个“二元关系” n 即n 12, ，n(1,2 , ，n) , 规定内积 = = 11 + 22 + + nn （ = ） （f，g）= n维向量设为列向量。借助于列向量可以把mnAa1，a2，an ) ，称为矩阵a1a11，an1， aA =(a 1n ， ，a n n)如果把每个列块视为一个元素，可以说 A = (a1，a2， ，a n) 是一个“形式向量”。这个观念对学习线性代数大有好处。比如，让“形式向量”x 作“形式内积”，可以把齐次线性方程组 A x = 0 改写为(a1，a2， ，an) （x1，x2， ，xn

4、）=即x1a1+x 2a2+xna n = 矩阵乘法是矩阵集合上的一个“二元关系” mn A（aij）ns B（bij）AB（ciABmscij c ij = a i1b j1+ a i2bj 2+ + a in bj c i j = A i 行与B j ，1i m ，1j 即（mn（ns）=（ms（m1（1s）=（s） 与 （n）（）较常见的是变化矩阵为 列分块式 或 行分块式。. （n（ns=（ms（s）=（s）AB = A（b1，b 2，b s）=（A b 1，A b 2，A b s）（11（1s）（1s）微观可乘：对应相乘的子块 A b j 都满足： （mn（n1）=（m1）. （n（

5、ns=（m. （n（ns=（ms（s）=（ms）AB =（A 的行分块式（B的列分块式） . （n（ns=（ms（n（ns）=（s）AB =（a1，a 2，a n（bi j）=（a1b11a2b21anbn1 ，a1b1na2b2nanbnn）AB A 的列向量的线性组合。 （1n（n1）=（11，c1a1+c 2a2+c nan = (a1，a2， ，an) （c1，c 2， ，c a1 ，a2 ，a3 A（a1，a2，a3）a1a2，a12a24a3 ，a13a29a3 BA a1a2a3（a1，a2，a3（1，1，1）a1 + 2a2 +4a3 =（a1，a2，a3（1，2，4）a1+3

6、a2+9a3=（a1，a2，a3（13，9），这三个线性组合为列排成的矩阵，等于A乘以“三个系数列排成的矩阵” 。乘法变形4. （mn（ns）=（ms）（mn（n1）=（m1） j（B Axb 与齐次线性方程组 Ax0全体解向量对于线性运算封闭。成功nnr（可以粗糙地说Ax0= nrA) 数Axb但是，线性方程组 Axb设向量AAxb 与齐次线性方程组 Ax0全体解向量对于线性运算封闭。成功nnr（可以粗糙地说Ax0= nrA) 数Axb但是，线性方程组 Axb设向量Ab ，b0 ，而1，2，nr+n- r 线性无关。乘以矩阵A，（AXb 的 nr +1 个解。AXb 的任一解 X1可以有 A

7、XbX=+ C11 + C22 + + C n- rn-n- X=C+C1（+1）+C2（+2）+ +Cn-C = 1-（C1 + C2 + + C n- Axb 有无穷多解时，解集的秩为 nrAxb解的充分必要条件是，线性组合式中各系数总和为 Ax0一个齐次线性方程组的全体解向量是 nAx0n- X=C+C1（+1）+C2（+2）+ +Cn-C = 1-（C1 + C2 + + C n- Axb 有无穷多解时，解集的秩为 nrAxb解的充分必要条件是，线性组合式中各系数总和为 Ax0一个齐次线性方程组的全体解向量是 nAx0= nr Ax0nnrAx0=nr(A)“ 若 AB = E ，则必

8、有 B = A* ”由ABEA 与 B以 A 为主体说话，A 的行向量组线性无关。B 是 A是“构造法”的思路。A 的第一行 与 BA 的其它行 与 B的第一列 都为 B 的第一列是齐次线性方程组 Q x = 0QA 划去第一行以后得到的矩阵。它的秩 r（Q）=n1，Q“ 若 AB = E ，则必有 B = A* ”由ABEA 与 B以 A 为主体说话，A 的行向量组线性无关。B 是 A是“构造法”的思路。A 的第一行 与 BA 的其它行 与 B的第一列 都为 B 的第一列是齐次线性方程组 Q x = 0QA 划去第一行以后得到的矩阵。它的秩 r（Q）=n1，Qx0 （恒等式，就象闻到了香味流

9、“口水”。由行列式展开定理知，|A| 的第 1Qx0作其基础解系。（把它转置为列向量，仍记为 这样一来， = c （潜台词：矩阵Q“|A|1的全部数据。尽管本题用不着，但应该知道但是，由行列式展开定理知，A1 的内积等于 而由已知，AB 的第一列 = c 的内积为 只有 c = 1 / |A| ，即 = / A 的第二行 与 B1A 的其它行 与B 的第二列 的内积都为 最后就得到结论 B= A* |A| ，自然就可以核算 BA=E锦上。1A对称阵A3（1）对称阵A 的 n（2）对称阵 A 的第二行 与 B1A 的其它行 与B 的第二列 的内积都为 最后就得到结论 B= A* |A| ，自然就

10、可以核算 BA=E锦上。1A对称阵A3（1）对称阵A 的 n（2）对称阵A 如果有重特征值，则每个k秩一定等于重数 。即每个重特征值都不会亏损（3）对称阵A这样一来，非零的对称阵 A（Ak）的秩 = An 维向量空间的标准正交基 特点（3）如果对称阵A 有 nn化，就能得到 n如果对称阵A有的特征向量集最大无关组标准正交化，近而合并得 n*这是 n的坐标基 i ，j 2正交阵与*A定义（正交阵） 列（或行）矩阵 AA= AA = E A是正交阵 | A| = 如果对称阵A 有 nn化，就能得到 n如果对称阵A有的特征向量集最大无关组标准正交化，近而合并得 n*这是 n的坐标基 i ，j 2正交

11、阵与*A定义（正交阵） 列（或行）矩阵 AA= AA = E A是正交阵 | A| = aij = Aiaij = AiA*=| A|AA* = A，联想 A*（2”是个很有趣的构造结论。如果你用 n2准正交组。（1）已知对称阵A 或APA P = PAP 即 实际工作量只不过是求A（2）已知对称阵AAPPA=反求矩阵A把A写为列分块形式，P，n），则P自然为行块形式，其第ii P=（11，22，-，nn）（右乘在列。A= PP=111+222+ 达式称为对称阵A（潜台词：宏观可乘，（1n）（ nn 微观可乘，比如 11，（n1）（1n）=（ nn 。对称阵A和，等于它的nA= PP=111+

12、222+ 矩阵11元和为1222和为2（2）已知对称阵AAPPA=反求矩阵A把A写为列分块形式，P，n），则P自然为行块形式，其第ii P=（11，22，-，nn）（右乘在列。A= PP=111+222+ 达式称为对称阵A（潜台词：宏观可乘，（1n）（ nn 微观可乘，比如 11，（n1）（1n）=（ nn 。对称阵A和，等于它的nA= PP=111+222+ 矩阵11元和为1222和为2，nnn元和为n80 三阶实对称阵的 A 秩为 2，=6A的二重特征值,若1（1，（1）求A（2）求矩阵 因为 A 的秩为 2 ，所以 A对称阵 A 的二重特征值=62，显然1（1/2，1/2，0），（2/6

13、，1/6，1/6） A0，32 61（331A1 011 3P对称阵 A 的二重特征值=62，显然1（1/2，1/2，0），（2/6，1/6，1/6） A0，32 61（331A1 011 3PAPBPAB对于对称阵选择它的n个特征向量标准正交组来排成关联矩阵即PPAP（AnAP = An尽大纲要求“合同关系”。请对比 矩阵A 和B等价A 和B相似A 和B同矩阵和BJ、Q，= 矩阵和BPAP=矩阵和BQAQ=逻辑xf（x）x”， 推出会之矩阵和BJ、Q，= 矩阵和BPAP=矩阵和BQAQ=逻辑xf（x）x”， 推出会之。（讲座（40）na1，a 2，-，ak 线性无关a1，a2，-，ak，15

14、 组的合并组线性无关。（暂时不写一个条件设有一组数C1，Cr ，Cr+1a1，a2，-，ak，15 组的合并组线性无关。（暂时不写一个条件设有一组数C1，Cr ，Cr+1，Cr+kC11 + rr+Cr+11 +C(r+k ) k=用1+1r Cr =用2+2r r = 用r+rrr = 1，A=（1，2，-，r）（潜台词：矩阵乘法，“左行右列作内积2，R(A)R(A作齐次线性方程组 AX0 和 A AX0 ，AX0A AX = 0如果列向量 是 A AX = 0(A)(A) = A A = (A )= 这说明A=0(向量), 即A AX0AX0R(A n-R(A)=n-R(A 故R(A)前述

15、关于C1，C r（。“n + 1 个 n每一个向量都与后一向量组的各向量正交”，不一定成立。必须先说“kr 中心定义 如果存在满秩方阵P，方阵 A = ，就称矩阵AB（A 与BP使得 A = PBQ（1）A = PBPA=（(PBP）A= PB(P)(P)=P则APB(P) （。“n + 1 个 n每一个向量都与后一向量组的各向量正交”，不一定成立。必须先说“kr 中心定义 如果存在满秩方阵P，方阵 A = ，就称矩阵AB（A 与BP使得 A = PBQ（1）A = PBPA=（(PBP）A= PB(P)(P)=P则APB(P) ABPA与B) （2）设 A 与 B 都可逆，对定义等式，方阵

16、A = PBP，A= （(P)BP）A= 结论：如果ABA与B也相似。关联矩阵P试证明满秩矩阵ABA*B*分设（2）设 A 与 B 都可逆，对定义等式，方阵 A = PBP，A= （(P)BP）A= 结论：如果ABA与B也相似。关联矩阵P试证明满秩矩阵ABA*B*分设ABP（即取得A* = （(PBP）* = 由P*=|P|P，(P)*=|P|P，A*=PB*P ，A*B*（A=PBPAB| A|A=| B| ，即 A* = PB* A*B*P，A* = PB*P|A|A=P|B|BP方阵相似关系的（2）（潜台词：由乘积的秩关系知，相似矩阵的秩相等。（3）（阵不一定有相同的特征向量。（4(t)

17、实际上，若有满秩矩阵P，使得A = PBPAkAA A = P（Bk（乘法满足结合律这就表明，（Ak）与（Bk）与 B 相似，则矩阵AE 和矩阵 BE2，方阵P（Bk（乘法满足结合律这就表明，（Ak）与（Bk）与 B 相似，则矩阵AE 和矩阵 BE2，方阵 A 与对角阵相似的充分必要条中心定nAAn设有满秩矩阵P，使得，PAP = （对角阵），即 AP = P，阵的主对角线上元素为 1，2 把PA（1，2，-，n）=（A1，A2，-（潜台词：左边（11）（1n），右边（1n）（nn），乘积都是n）阶列分块阵。Aj，jnn（列由特征值与特征向量知识直接得到判定定理（充分条件（1）若nAnA向量集

18、的秩一定为k，则A（潜台词：重特征值亏损的严是，矩阵不能与对角阵相似。二阶方阵A| A| 0 ，Ann（列由特征值与特征向量知识直接得到判定定理（充分条件（1）若nAnA向量集的秩一定为k，则A（潜台词：重特征值亏损的严是，矩阵不能与对角阵相似。二阶方阵A| A| 0 ，A由特征多项式 ()=|AE|(0)=|A|，即（二次的）征多项式常数项为|A|，零矩阵是最特殊的对角阵。它有n0把关联矩阵P矩阵E，0（下）三角阵也具有n0这些上（下）1，（潜台词：随便写一个都是反例，ABAB相似。（4） 如果对某一自然数k ，Ak10（阵）Ak= 0（阵），就称AAn0阵”A（5）把n基本研考题 利用三阶

19、方阵AA借助于AA3A 有一个单特征和一个二重特征值72（基本推理A 基本研考题 利用三阶方阵AA借助于AA3A 有一个单特征和一个二重特征值72（基本推理A A3 A（AE）x =0该方程组系数矩阵AE32 = AE挑选A特征对角阵相似的充分必要条件。（AHP）等，矩阵特征值都（画外音:知道“光谱”吗？灯谜“光谱，（打一国名）不同的材料一定有不同的光谱。1An数A=，则称是A是A由于A= 即（AE）= 0 ，齐次线性方程组（AE）x= 0|AE对角阵相似的充分必要条件。（AHP）等，矩阵特征值都（画外音:知道“光谱”吗？灯谜“光谱，（打一国名）不同的材料一定有不同的光谱。1An数A=，则称是

20、A是A由于A= 即（AE）= 0 ，齐次线性方程组（AE）x= 0|AE | = 0 是关于未知量（A）的一元 n 次方程。代数基本定理 ：一元nnkk（f（）=|AE | 称为方阵Af（）=|AE|=（1）n由方程|AE | = 0 解出 A 的 n分别解E）x = 0，全体非零解组成A*数学一的考生要知道高级语言，“A的特征向量 + 0A（潜台词：烦啊！要解一个一元nn分量成比例，比值就是 应分量成比例 nn1 最多可以确定A中的n1（画外音：你有这样的观念了吗？一眼看去，A就是个向量。方阵AAA。如何能得到“每行元素和”？玩熟内积的人会想到列向量=（1，1（潜台词分量成比例，比值就是 应

21、分量成比例 nn1 最多可以确定A中的n1（画外音：你有这样的观念了吗？一眼看去，A就是个向量。方阵AAA。如何能得到“每行元素和”？玩熟内积的人会想到列向量=（1，1（潜台词这表明是A是A1/，A=(1/)=（1/，1/）A如果方阵A是AA= =A A = |A| A = |A|/ A*。若A=，A=AA= A= (A+ (t)tAE就得到多项式矩阵 (A)；A=，则(A)=()A= =A A = |A| A = |A|/ A*。若A=，A=AA= A= (A+ (t)tAE就得到多项式矩阵 (A)；A=，则(A)=()A，则多项式矩阵 (A)有特征值()(1)与(2)（画外音：在传递过程中

22、，特征向量就象是“陪嫁物”一样被传送了。已知四阶方阵A|2E + A|=0，且 AA = 则AA* 有一个特征值为（ ？ |2E + A|= |A(2)E|= 0 , A有特征值= 由 AA2E 两端取行列式，得 |A|16 ，|A|=4|A|/2（1）（2）|A|= An（3）上都不证明（1）。对于数学一的考生来说，特殊情形“若nf（）=|AE|=（1）n令= 0，这就说明了（2）和可以计算 |多项式矩阵 例已知三阶方阵A的特征值为1，2，3 ；求 A1，2，3 ；则 A5E例A的属于不同特征值的特征向量，其线性组合一定不是特征向量不仿把问题简化。设1，2上都不证明（1）。对于数学一的考生来

23、说，特殊情形“若nf（）=|AE|=（1）n令= 0，这就说明了（2）和可以计算 |多项式矩阵 例已知三阶方阵A的特征值为1，2，3 ；求 A1，2，3 ；则 A5E例A的属于不同特征值的特征向量，其线性组合一定不是特征向量不仿把问题简化。设1，2A12（反证法）1+2 A即（1）1 +（2）2 = 属于不同特征值的特征向量12 线性无关，只有 。1+2 线性相关，从而1+213= （潜台词：（AE）x= 0n r(AE)（2）对于A“k（E)。把“kA3= （潜台词：（AE）x= 0n r(AE)（2）对于A“k（E)。把“kA属于的特征向量集秩 = （AE）x = 0（AE）x=0）=3r

24、(AE)，rE) = 只能A 已知非零的n与正交。作方阵A = ，求AA求A是个提示。 A=（）=0（矩阵 零矩阵只能有n0An0此时，解齐次线性方程组 （AE）x= A x = （的感觉。由矩阵乘积秩定理，显然有r(A)=1，n1，又不仿设 1101已知非零的n与正交。作方阵A = ，求AA求A是个提示。 A=（）=0（矩阵 零矩阵只能有n0An0此时，解齐次线性方程组 （AE）x= A x = （的感觉。由矩阵乘积秩定理，显然有r(A)=1，n1，又不仿设 11011 x1+1n xn =来将 x1x1 （n1） =C11 +C22 +-，+0（潜台词：n 重 0 特征的特征向量集的秩为

25、n1，有亏损；又要知道点一元 nAx与解线性方程组 b1线性方程组AxbAx与解线性方程组 b1线性方程组Axb的充分必要条Axb的首要问题是，“这个方程组有解还是无解在指导（40）中已经提到过“线性方程组Axb解的充分必要条件是，向量b以被A列向组线性表示。”只要把系数矩阵写为列分块形式，这个结论就会一目了然把列向量b 添加为A的末列，得到A的增广矩阵b） 。如果新添加“线性方程组 Axb有解的充分必要条件是A与自己的增广矩阵秩例试证明，“如果A的行向量组线性无关，则对任意一个列向量b A x = b 分析 若mnAmn ，且A个mAAm1A矩阵的秩与A性表示。这时，对于齐次线性方程组Ax

26、0程求解程序热2已有 332 次阅读2010-05-26 17:58。在实际计算中，对增广矩阵的某一行已经化为零向量，而该行尾那个bb2Ax = bAx = AxbAxb（1）1，AxbAxb（Ax = b（2）AxbAx0Ax = b（3）AxbAx0Ax = b 有解，且Ax0。在实际计算中，对增广矩阵的某一行已经化为零向量，而该行尾那个bb2Ax = bAx = AxbAxb（1）1，AxbAxb（Ax = b（2）AxbAx0Ax = b（3）AxbAx0Ax = b 有解，且Ax0AxbAx00Ax = bx = （Ax0）+自己的一个特解x* ”3Ax = b（1）对增广矩阵b）作

27、行初等变换。把A（2）Ax = b（Ax0）n（3未知量逐次取为nr(AAx（4）把nr (A0Ax = b，算得特解（5）“Axb(1，1，2)Axba（1）对增广矩阵b）作行初等变换。把A（2）Ax = b（Ax0）n（3未知量逐次取为nr(AAx（4）把nr (A0Ax = b，算得特解（5）“Axb(1，1，2)Axba分析 对增广矩阵的1 1a1）1 ( 1 0)0(1 a)(2+a0）行列式|A|0，由此解得 a = 或 如果a1 ，显然 ，秩 r(A)=b)=2。a = Ax = b 的系数矩阵A3，1=（2，3，4，5），2 + 3 =（1，2，3，4）Ax043（2 +3）/

28、2 = Ax = b = 1（2 + 3）/2 = （3/2，2，5/2，3）原方程组有通解 = c +已知方阵=（a1，a2，a3，a4），且a2，a3，a4 线性无关，a1 2a 2a3 若向量 = a1a 2a3a 4Ax =r(A) = 3 ，且（1，1，1，1）Ax =Ax=Ax = b 的系数矩阵A3，1=（2，3，4，5），2 + 3 =（1，2，3，4）Ax043（2 +3）/2 = Ax = b = 1（2 + 3）/2 = （3/2，2，5/2，3）原方程组有通解 = c +已知方阵=（a1，a2，a3，a4），且a2，a3，a4 线性无关，a1 2a 2a3 若向量 =

29、a1a 2a3a 4Ax =r(A) = 3 ，且（1，1，1，1）Ax =Ax=43（基础解系。a1 =2a 即 a1 2a 2+ a3 0 表明2，1，0）Ax0原方程组有通解 = 设向量Ab ，b0 ，而1，2，nr 线性方程组Ax = 0 的一个基础解系，试证（1）向量组 ，1，2， n- r 线性无关（2），+1，+2，+nr证明 选较复杂的（2）来示范。（2）设有n- r+1个数，C，C1，C2，C n- 使C+ C1（+1）+C2（+2）+Cn-r（+n-r）=C11+C22+C+ C1（+1）+C2（+2）+Cn-r（+n-r）=C11+C22+ +Cn-rn-r+ （C+C1

30、+Cn-r）=即等式两端都左乘以矩阵A（C+C1+Cn-r）b=0 C n- r = 0C1=C2= =Cn-r=b C+ 再返回算出 C = 0 ，即知（2）Ax b在向量内积的基础上，人们规定了矩阵的乘法mn 阶矩阵ABAB =（b i j）。ABmsci AiBj阶数规则（mn）（ns）=（ms），左行右列作内积（1）若A，Bn矩阵热1已有 516 次阅读2010-03-31 07:21特别地，如果 AB = BA = E，则称BAAB|A|0AA*=A*A=|A A*| = |A|E |，| A*| = |A|n1（潜台词：|A|0AA*/|A|方法。（2）（3）AB=A（b1，b 2

31、，-，b s）=（Ab1，Ab 2，-，Ab特别地，如果 AB = BA = E，则称BAAB|A|0AA*=A*A=|A A*| = |A|E |，| A*| = |A|n1（潜台词：|A|0AA*/|A|方法。（2）（3）AB=A（b1，b 2，-，b s）=（Ab1，Ab 2，-，Ab 微观可乘：相乘的子块 Ab j都满足阶数规则： 具体如，Ab1AB = 0AB = 0（阵即（Ab 1，Ab 2，-，Abs）=（0，0，-A b j 0 ，BAx0 BAx = 0（此步可省去。r(B)Ax0n r(B)+ 已知（n）a1，a2，-，ak 线性无关，Amn矩阵，且秩为 n，Aa1，Aa2

32、，-，Aa已知（n）a1，a2，-，ak 线性无关，Amn矩阵，且秩为 n，Aa1，Aa2，-，Aak分c1，c2，-，ck，使得 c1 Aa1c2 Aa2ck Ak = 即A（c1a1+c2a2+ -+cka k ） =（潜台词：请对比，若AAc1a1c2a 2ck ak Ax 0 但是，r(A)n，Aa1，a2，-，akAx 0 0 故c1a1+c2a2+-+ckak=方式2 AB（a1，a 2，-，a n）（bi=（a1 11 +a 2 b21 +-+an bn1 ，a1 b+a 2 b 2n + -+n bn其中，A（bi j）表示没有分块的ns宏观可乘：把各分块看成一个元素，满足阶数

33、规则微观可乘：A 的列向量与B 的元素相乘。即数乘向量ABA结论 ABA 秩r(AB) 方式AB =（a ij）（B）=（AB（板块没有数学编辑功能，读者自己写出来观察。微观可乘：ABABB结论 ABBr(AB) 2所得结论，秩 r (AB) min（r(A) （Amnr(A)（板块没有数学编辑功能，读者自己写出来观察。微观可乘：ABABB结论 ABBr(AB) 2所得结论，秩 r (AB) min（r(A) （Amnr(A) （m 则r (B)Ax0nABmnm n，则行列式 |AB| = （mn）（nm）= （m m）， ABm而r (AB) min（r(A) ，r(B)） n m ，AB

34、=（1，-，n）与非零行向量=(1-，n)，秩 r 分左列右行，满足阶数规则（n1）（1n）=（nn）；乘积个n1，故rmin（r() ，r1对于非零向量，不仿设10，1011 0是个n 阶非零阵 ，r() 只秩 r()=AB=（A）（b1，b 2，-，b 微观可乘：AB=（1，-，n）与非零行向量=(1-，n)，秩 r 分左列右行，满足阶数规则（n1）（1n）=（nn）；乘积个n1，故rmin（r() ，r1对于非零向量，不仿设10，1011 0是个n 阶非零阵 ，r() 只秩 r()=AB=（A）（b1，b 2，-，b 微观可乘：AB设AnA（即A的充分必要条件是 分析 AAA =（a1，

35、a -，a AA=（a1，a2，-，an）（a1，a2，-，an）=（aiaj （画外音：从宏观可乘的角度看，这是“左列右行得矩阵”。如果AAA =（ a ia j ）=如果AA=（ aiaj 好表明了A（了吧。*设Amn，r(A)n ； Bnsr(AB)=分由乘积关系有已 r (AB) r (B) = 如果 mn，则 B(A)ABr(B) r(AB)，只rr 今mnBb1，b 2，-，b 24，A 是mn 阶矩阵，r(A)n 时，Ab1，Ab2k 它们都是AB的列向量。这表明 r（了吧。*设Amn，r(A)n ； Bnsr(AB)=分由乘积关系有已 r (AB) r (B) = 如果 mn，

36、则 B(A)ABr(B) r(AB)，只rr 今mnBb1，b 2，-，b 24，A 是mn 阶矩阵，r(A)n 时，Ab1，Ab2k 它们都是AB的列向量。这表明 r(AB) k ，两r(AB)=5 两类特殊情形“形式内积”(a1，a2an（c1，c2，cn）=A（c1，c2， ，cn）（ns 阶阵B）=B= （a1 a2a3，a1 + 2a2 +4a3，a13a2 + 9a 3），试求 |B|=B a1+a2+a3a1 + 2a2 +4a3 a1 + 3a2 + nn代式与行列式展开定理是这部分的重点1.式nijn1ai的Aij(1)的(i+j)次方ijnn代式与行列式展开定理是这部分的重

37、点1.式nijn1ai的Aij(1)的(i+j)次方ij aij aij 。既表示位于行列式第案i 行第 j某一行（列）元数的代式有下述两个特点（1） 它们的“外加符号” (1)的(i+j)（2） 即便在行列式中将第i行元素划掉，它们的代式的信息仍然2.式的基本作用就是给n已知nD，i，1 i nai1 Ai1 + ai2 Ai2 + in in =ij ai1 Aj1 + ai2 A j2 +ai n Aj n = 从右向左，叫 n 阶行列式 D 按第 i（情形。i定理的后式表明，第 i思考（1）n32nD（下D（下思考（2） 已知nD，c1 Ai1 +c2 A从右向左，叫 n 阶行列式 D

38、 按第 i（情形。i定理的后式表明，第 i思考（1）n32nD（下D（下思考（2） 已知nD，c1 Ai1 +c2 A+-+cn Ai = c1，c2，-，c代替了（或说，具体化了）Di 行。逆向思维，它等于Di系数行而得到的新行列式 D已知四阶行列式D32A21 +A23 A24 = 0 A21 +A23 A24 等于将D212 行与第 3设AnBA1（n1）nBx0仅仅划去方阵A1|A|的第 1第 1程组 Bx = 0例设n 阶行列式D 的第 1 行是 n 个可导函数其它行的元都实数则 Dn。对D1nn1D1别换成其导数后得到的 n（潜台词：自己写个三阶情形，好好想想。（3）_nn方程的线

39、性方程组 Ax如果 D =|A|0例设n 阶行列式D 的第 1 行是 n 个可导函数其它行的元都实数则 Dn。对D1nn1D1别换成其导数后得到的 n（潜台词：自己写个三阶情形，好好想想。（3）_nn方程的线性方程组 Ax如果 D =|A|0 x=（D1D，-，DnD）；Dj 是将Djb格莱姆法则的证明过程，是运用代式的“正交消元法”。值得一看n 个未知量 n 个方程的齐次线性方程组 Ax0是 n 个 维向量线性无关的充分必要条件是，它们排成的行列式不为 （4）A 是 |A|0A 的任一行元素的代式，与A的每个行向量都正交。A式，都是齐次线性方程组 Ax0遇到nn(3)与思考(4)3nA每个

40、n 阶方阵 A 相应有行列式|A|；|A|有 nn转置方式排成 n 阶方阵 A*，称为 A由 A*AA* A*A = |A| 0Ax=b A*Ax=A*b|A|x=A*b x=A*式与 A*遇到nn(3)与思考(4)3nA每个 n 阶方阵 A 相应有行列式|A|；|A|有 nn转置方式排成 n 阶方阵 A*，称为 A由 A*AA* A*A = |A| 0Ax=b A*Ax=A*b|A|x=A*b x=A*式与 A*已知三阶方阵Aa33= |A| = 1，若b =（0，0，1）方程组Ax = b|A|，a13a13 +a23a2+ a 33 =a 33a33 1，所以 a13 = a23 = 0

41、；AAx = b3 个未知量 3已知|A|3 列（0，0，1）。若把|A|的第 1 或第 2b =（0，0，1），就会有两列成比列，故D1 = D2 = 0（C）4定义 矩阵ArA理解已知矩阵Ar Ar0 排成该子式的rrrAr行(或列)向量线性无关。 它们是A（等价性原理（不证） 矩阵的秩，即是它的行(或列)向量组的秩。Ax = 0rrr知量。方程组的通解中必定含有 nrnrAx = 0 解向量集的秩 定义 矩阵ArA理解已知矩阵Ar Ar0 排成该子式的rrrAr行(或列)向量线性无关。 它们是A（等价性原理（不证） 矩阵的秩，即是它的行(或列)向量组的秩。Ax = 0rrr知量。方程组的

42、通解中必定含有 nrnrAx = 0 解向量集的秩 nr 如果系数矩阵的列向量组线性无关，即秩 r = n唯一的零（零向量）nn = 0理解已知矩阵A 的秩为 Ar + 10如果要计算矩阵内的参数值，选取含有参数的 r + 1理解A 是 r(A，n） （画外音：可以称为，矩阵秩的第一个“不超过”，“自然不超过”。若A则r (A) 非零列向量或行向量视为列矩阵或行矩阵，显然其秩为 n 阶方阵Ar (A) = n，就称 A*A*nA（1）若|A|0r(A*)r(A) n1 时 (A*) = 分（1） 若|A| 0，AA* A*A= ，即AA* A*A|A|E ，（1）若|A|0r(A*)r(A)

43、n1 时 (A*) = 分（1） 若|A| 0，AA* A*A= ，即AA* A*A|A|E ，A*满秩。 A*|A|A若r (A) n1 ，则 A 的 所有 n10|A|的代式都为 0 ，A* 是零矩阵。 r (A*) = *（3）r(A)=n1的情形是一个高级问题。恒等式”用于论矩阵的秩。若r(A)n1An10，A*r (A*) 的任意一个列向量，与AAxA*Ax 0r(A*) 方程组 Ax0nr(A)n(n1)夹得 r (A*) = ）“秩”的概念先向热1已有 387 次阅读2010-02-12 08:581必定相同。（由后述“基本定理”保证。）最大无关组的基本作用是，它可以将组内每一个

44、向量唯一地线性表示。*能是自己的系数 1 ，其它的系数为 01必定相同。（由后述“基本定理”保证。）最大无关组的基本作用是，它可以将组内每一个向量唯一地线性表示。*能是自己的系数 1 ，其它的系数为 0（* ）*0项,，得到但是，取10。 （反证法结合构造法。一个在研考题中最常见却又最简单的事实是，如果一个向量组共有 k量，又已知其中的 k1 个向量线性无关。则向量组的秩为 k11 ,2 3 线性相关；向量组 2 ,3 4 （1）2 3 （2）1 ,（* ）*0项,，得到但是，取10。 （反证法结合构造法。一个在研考题中最常见却又最简单的事实是，如果一个向量组共有 k量，又已知其中的 k1 个

45、向量线性无关。则向量组的秩为 k11 ,2 3 线性相关；向量组 2 ,3 4 （1）2 3 （2）1 ,23 1,232,34性无关，所以，2,31,2312 3 线性表示。（且唯一地线性表示。把1的线性表示式代入。） 2 3 ,3 4 。2甲向量组的秩 R（甲） 乙向量组的秩 R（乙秩R（甲） 秩 R（乙）n+1 个 n例把1的线性表示式代入。） 2 3 ,3 4 。2甲向量组的秩 R（甲） 乙向量组的秩 R（乙秩R（甲） 秩 R（乙）n+1 个 n例数学卷常常会有题目*3范围限定在 n“如果一个 n如果一个 n 维向量集合的秩为 k ，又成功向量空间，就称其为 k全体 n 维向量组成的集合叫 n三nm意实数 c ，向量 c（画外音：是不是解向量，代入齐次线性方程组去验算一下嘛。量。一个齐次线性方程组的全体解向量是 n*3范围限定在 n“如果一个 n如果一个 n 维向量集合的秩为 k ，又成功向量空间，就称其为 k全体 n 维向量组成的集合叫 n三nm意实数 c ，向量 c（画外音：是不是解向量，代入齐次线性方程组去验算一下嘛。量。一个齐次线性方程组的全体解向量是 nn 维向量集合由全体 元有序数组（a1，a2，-，an）组成阶矩阵是 mn运算。对于 n有限个无穷小量的线性组合是无穷小量。 （“线性组合”表示运算结果-