清华微积分讲座题目

1、1.z fx, y在点(aa(a,a) b, (a,a) bxd2(x)令x fx, fx, fxxf(xyzf xrcosy rsinz z11.z fx, y在点(aa(a,a) b, (a,a) bxd2(x)令x fx, fx, fxxf(xyzf xrcosy rsinz z1 1 1 2 有，u)r r rrr33.f (xyzl1l2l3为 f )2)2 ( y fx,0 0，证明对任意x, y4.fx, yR fx, y 0225. （1）DR2 中的有界闭区域. fx, yDD内可微，且满足方程f kfx, y常数k 0Dfx, y) 0fx, y（2）设u(x,y)在x y

2、 1上连续在x y 1满u.且在x y 1上（I）（2）u(x, y) 06.z z(xy) 由 z3x2 y2z6x6y 0 确 定，求函 数 z z(xy) 在区域D xy|x1)2 y1)2 2af(x)bf (y)dxdy 7.f(tf(t0f (x) f (2 2 x y 8.设有空间区域2 , z 0 :1及 2x0y 0z 0，则2（A）xdv 4(B) ydv 4(C) zdv 4(D) xyzdv 49.(1Ix2y3zdxdydz是由0 x及 2x0y 0z 0，则2（A）xdv 4(B) ydv 4(C) zdv 4(D) xyzdv 49.(1Ix2y3zdxdydz是

3、由0 xa，0 yb，0 z c(2)计(axby x2 y2 z2210.设由曲面x2 az和曲面z 2ax2 y2 （a 所围成， fx, yz)dv11化f(xy)dxdyD (x,y)0 x 1, 0 x y D在极坐标系下交换积分次序1xy12. 已知f C ( )，积分换序 f (x, y,00011sin1 y cos121xdz=1 222000 x114.交换积分次序f (x, y,00 （2） f15D0,10,1，函数 f(xyC (D) ，且 f(1y00 22 11|f(xy)dxdy| | xy(x,y)| D16.计算I (xy) x2 y2 x2 y2dl，其中

4、L是圆周x2 (y1)2 1Lx2 y2 z2 17.x2dl, C.x y z C18.求I exsin ybx ydxex cosyaxdy,其中， ab为正常数LL ：沿 y 2ax x2 从A2a,0到O0 的曲线xdyydx x2 y2 y 1,逆时针方向为正,则24L 20.证明Lcos(yn)dl 0Ln21D x, yx2 y2 t2t 0, fx, yD D ttt22f(0,01Dt 的正向边界为Ct fx, 20.证明Lcos(yn)dl 0Ln21D x, yx2 y2 t2t 0, fx, yD D ttt22f(0,01Dt 的正向边界为Ct fx, yfx, yDt x曲线Ct n0t1dl 1cosCt02022D R 为有界区域，它的边界Dn 是D的f (xyC1(DDf (xyD10. f dl 0；f f dl 2dxdyD30.若在Df (xy) 0f (xy) 0 (xy23Dx,x | y2 y2 1f(xyDD的边界f (xy0D024.Lx2 y2 z2 L( x) 0 x2 y2 2xzI y2 y x2 y2 ) z。 dL（2）I S (x y z)dSS 为球面(xa)2 yb)2 z c)2 R2。 25.（1）z2 x2 y2x2 y2 2x，计算y26.I xzdy (0 z 2427.计算xyzy2z