北京市交通大学附属中学2022年数学高二下期末联考试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷请考生注意：1请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用05毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2答题前，认真阅读答题纸上的注意事项，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设地球的半径为R，地球上A，B两地都在北纬45的纬度线上去，且其经度差为90，则A，ARBR2CR32已知等差数列中，则（ ）ABCD3某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A20B10C30D604我市拟向新疆哈密地区的三所中

2、学派出5名教师支教，要求每所中学至少派遣一名教师，则不同的派出方法有（ ）A300种B150种C120种D90种5体育场南侧有4个大门,北侧有3个大门,某学生到该体育场练跑步,则他进出门的方案有( )A12种B7种C24种D49种6直线的一个方向向量是（ ）ABCD7与终边相同的角可以表示为ABCD8设，则与大小关系为( )ABCD9若均为单位向量，且，则的最小值为（ ）AB1CD10完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（ ）A5种B4种C9种D20种11函数(e=2.71828是自然对数的底数)一

3、定存在零点的区间是（ ）A(-1，0)B(0，1)C(1，2)D(2，e)12已知三个正态分布密度函数（, ）的图象如图所示则（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13某中学开设A类选修课4门，B类选修课5门，C类选修课2门，每位同学从中共选4门课，若每类课程至少选一门，则不同的选法共有_种.14设某弹簧的弹力与伸长量间的关系为，将该弹簧由平衡位置拉长,则弹力所做的功为_焦.15命题“”为假命题，则实数的取值范围是 .16已知向量.若与共线，则在方向上的投影为 _.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数有两个极值点和3.(1

4、)求，的值；(2)若函数的图象在点的切线为，切线与轴和轴分别交于，两点，点为坐标原点，求的面积.18（12分）在10件产品中,有3件一等品,7件二等品,.从这10件产品中任取3件,求：取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望.19（12分）已知函数.（）若在处有极小值，求实数的值；（）若在定义域内单调递增，求实数的取值范围20（12分）已知函数.（1）若函数在上为增函数，求的取值范围；（2）若函数有两个不同的极值点，记作，且，证明：（为自然对数）.21（12分）已知函数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）若方程恰有两个实数根，求a的值.22（10分）在中，角的对边分别是，已知，且（1）求

5、的面积；（2）若角为钝角，点为中点，求线段的长度参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】分析：设在北纬45纬圆的圆心为C，球心为O，连结OA,OB,OC,AC,BC，根据地球纬度的定义，算出小圆半径AC=BC=2R2，由A,B两地经度差为90，在RtABC中算出AB=AC详解：设在北纬45纬圆的圆心为C，球心为O连结OA,OB,OC,AC,BC，则OC平面ABC，在RtACO中，AC=OACcos45A,B两地经度差为90，ACB=在RtABC中， AB=A由此可得AOB是边长为R的等边三角形，得AOB=60A

6、,B两地球面的距离是60R180=点睛：本题考查地球上北纬45圆上两点球的距离，着重考查了球面距离及相关计算，经纬度等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象能力，属于中档题2、C【解析】分析：根据等差数列的通项公式，可求得首项和公差，然后可求出值。详解：数列为等差数列，所以由等差数列通项公式得 ，解方程组得 所以 所以选C点睛：本题考查了等差数列的概念和通项公式的应用，属于简单题。3、B【解析】根据三视图还原几何体，根据棱锥体积公式可求得结果.【详解】由三视图可得几何体直观图如下图所示：可知三棱锥高：；底面面积：三棱锥体积：本题正确选项：【点睛】本题考查棱锥体积的求解，关键是能够通过三视图还

7、原几何体，从而准确求解出三棱锥的高和底面面积.4、B【解析】分析：根据题意，先选后排.先选，将5名教师分成三组，有两种方式，即1，1，3与1，2，2，注意去除重复部分；后排，将分好的三组全排列，即可得到答案.详解：根据题意：分两步计算（1）将5名教师分成三组，有两种方式即1，1，3与1，2，2； 分成1，1，3三组的方法有 分成1，2，2三组的方法有一共有种的分组方法；（2）将分好的三组全排列有种方法.则不同的派出方法有种.故选B.点睛：对于排列组合混合问题，可先选出元素，再排列。5、D【解析】第一步，他进门，有7种选择；第二步，他出门，有7种选择根据分步乘法计数原理可得他进出门的方案有774

8、9(种)6、D【解析】先求得直线的斜率，由此求得直线的方向向量.【详解】直线的斜率为，故其方向向量为.故选：D【点睛】本小题主要考查直线的方向向量的求法，属于基础题.7、C【解析】将变形为的形式即可选出答案.【详解】因为，所以与终边相同的角可以表示为，故选C【点睛】本题考查了与一个角终边相同的角的表示方法，属于基础题.8、A【解析】,选A.9、A【解析】 则当与同向时最大，最小，此时=，所以=-1，所以的最小值为，故选A点睛：本题考查平面向量数量积的性质及其运算律，考查向量模的求解，考查学生分析问题解决问题的能力，求出，表示出，由表达式可判断当与同向时，最小.10、C【解析】分成两类方法相加.

9、【详解】会用第一种方法的有5个人，选1个人完成这项工作有5种选择；会用第二种方法的有4个人，选1个人完成这项工作有4种选择；两者相加一共有9种选择,故选C.【点睛】本题考查分类加法计数原理.11、B【解析】根据零点存在性定理，即可判断出结果.【详解】因为，所以，所以，由零点存在定理可得：区间内必有零点.故选B【点睛】本题主要考查判断零点所在的区间，熟记零点的存在定理即可，属于基础题型.12、D【解析】正态曲线关于x对称，且越大图象越靠近右边，第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，又有越小图象越瘦长，得到正确的结果【详解】根据课本中对正太分布密度函数的介绍知道：当正

10、态分布密度函数为，则对应的函数的图像的对称轴为：，正态曲线关于x对称，且越大图象越靠近右边，第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，只能从A，D两个答案中选一个，越小图象越瘦长，得到第二个图象的比第三个的要小，第一个和第二个的相等故选D【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查密度函数中两个特征数均值和标准差对曲线的位置和形状的影响，是一个基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、160【解析】每位同学共选4门课，每类课程至少选一门，则必有某类课程选2门，另外两类课程各选1门，对选2门的这类课程进行分类，可能是A类，可能是B类，可能

11、是C类.【详解】（1）当选2门的为A类，N1（2）当选2门的为B类，N2（3）当选2门的为C类，N3选法共有N1【点睛】分类与分步计数原理，要确定好分类与分步的标准，本题对选2门课程的课程类进行分类，再对每一类情况分3步考虑.14、【解析】用力沿着力的方向移动，则所做的功为，代入数据求得结果.【详解】弹力所做的功为：焦本题正确结果：【点睛】本题考查函数值的求解，关键是能够明确弹力做功的公式，属于基础题.15、【解析】试题分析：由题意可得命题:,为真命题.所以,解得.考点：命题的真假.16、【解析】利用共线向量的坐标表示求出参数，再依据投影的概念求出结果即可【详解】.又与共线，在方向上的投影为.

12、【点睛】本题主要考查共线向量的坐标表示以及向量投影的概念，注意投影是个数量三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、 (1) ， ；(2) 【解析】（1）先对函数求导，得到，根据函数极值点，结合韦达定理，即可求出结果；（2）先由（1）得到解析式，求出点，根据导函数，求出切线斜率，得到切线方程，进而求出，两点坐标，即可求出三角形面积.【详解】(1)由题意可得，因为函数有两个极值点和3.所以的两根为和3. 由韦达定理知，解得， (2)由(1)知，所以切线的斜率 所以切线的方程为：此时，所以【点睛】本题主要考查由函数的极值点求参数的问题，以及求函数在某点处的切线方程，熟记导

13、数的几何意义即可，属于常考题型.18、见解析【解析】由题意可知，可能取值为0，1，2，3，且服从超几何分布，由此能求出的分布列和数学期望.【详解】解：由于从10件产品中任取3件的结果为，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P(X=k)= ,k=0,1,2,3. 所以随机变量X的分布列是X0123PX的数学期望EX=【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用，是近几年高考题中经常出现的题型.19、（）；（） .【解析】（）由题可得，解方程组求得答案；（）在定义域内单调递增即

14、在上恒成立，所以恒成立，进而求得答案【详解】（） 依题意得，即解得，故所求的实数；（）由（）得在定义域内单调递增 在上恒成立即恒成立时， 所以实数的取值范围为.【点睛】本题考查导函数的极值点以及利用导函数解答恒成立问题，属于一般题20、（1）（2）见解析【解析】分析：（1）由题意可知，函数的定义域为，因为函数在为增函数，所以在上恒成立，等价于，由此可求的取值范围；（2）求出，因为有两极值点，所以， 设令，则，上式等价于要证，令，根据函数的单调性证出即可详解：（1）由题意可知，函数的定义域为， 因为函数在为增函数，所以在上恒成立，等价于在上恒成立，即，因为，所以，故的取值范围为. （2）可知，所

15、以， 因为有两极值点，所以， 欲证，等价于要证：，即，所以，因为，所以原式等价于要证明：，由，可得，则有，由原式等价于要证明：，即证，令，则，上式等价于要证， 令，则因为，所以，所以在上单调递增，因此当时，即.所以原不等式成立，即. 点睛：本题考查了函数的单调性，考查导数的应用以及不等式的证明，属难题21、（1）（2）【解析】（1）根据已知求得，可求得曲线在处的切线方程;（2）由方程恰有两个实数根，进行参变分离得，构造函数，对所构造的函数求导,分析出其导函数的正负,得出所构造的函数的单调性和图象趋势,极值,从而可得出a的值.【详解】（1）函数，曲线在处的切线方程为，即.（2）方程恰有两个实数根，即恰有两个实数根，所以可得，显然时，上式不成立；设，则，当或时，单调递增；当时，单调递减；，又当时，当时，得.【点睛】本题考查求在函数上的一点的切线方程,和根据方程的