专题拓展课一 小船过河与关联速度问题

1、专题拓展课一 小船过河与关联速度问题【学习目标要求】 1.通过实例分析进一步理解运动的合成与分解的原理。2.会 用运动合成与分解的理论分析小船过河问题。3.会分析实际运动中的关联速度问 题。知识方法探究培荒卄素养.提升关糕能L拓展点1小船过河问题小船参与的两个分运动(1)船相对水的运动(即船在静水中的运动)，它的方向与船头的指向相同。(2)船随水漂流的运动，它的方向与河岸平行。2区别三个速度：水流速度p、船在静水中的速度p、船的实际速度(即船的合 水船速度)p。合3两类最值问题(1)渡河时间最短问题由于水流速度始终沿河道方向，不能提供指向河对岸的分速度。因此若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河

2、岸航行即可。由图甲可知，=吕，此时船渡河的 短 p船位移xsin g，位移方向满足tan船。水甲(2)渡河位移最短问题p Vp最短的位移为河宽d,此时渡河所用时间t，船头与上游河岸 水 船p sin g船p夹角o满足cos gp水,如图乙所示。船若 v v ，如图丙所示，从出发点 A 开始作矢量 v ，再以 v 末端为圆心， 水 船 水 水以 v 的大小为半径画圆弧，自出发点 A 向圆弧作切线即为船位移最小时的合运 船动的方向。这时船头与上游河岸夹角0满足cos 3=v船，最短位移x莒，而V短 COS 0水渡河所用时间仍用t=-Jd-计算。v si- 0船丙【例1】(2020黑龙江哈尔滨三中高

3、一月考)某人以一定的速度使船头垂直于河 岸向对岸划船，当水流匀速时，对于他过河所需时间、发生的位移与水速的关系 描述正确的是( )水速小时，位移小，时间短水速大时，位移大，时间长水速大时，位移大，时间不变位移、时间与水速无关解析 由分运动和合运动具有独立性和等时性可知，水流速度对过河时间没有影 响，水速大时，合速度较大，位移较大，故只有 C 项正确。答案 C【例2】已知某船在静水中的速度为V = 5 m/s，现让船渡过某条河，假设这条 河的两岸是理想的平行线，河宽为d=100 m，水流速度为v2=3 m/s，方向与河 岸平行，欲使船以最短时间渡河，渡河所用时间是多少？位移的大小是多少；欲使船以

4、最小位移渡河，渡河所用时间是多少？若水流速度为v2J6 m/s，船在静水中的速度为V = 5 m/s不变，船能否垂直河岸渡河？解析 (1)由题意知，当船在垂直于河岸方向上的分速度最大时，渡河所用时间 最短，河水流速平行于河岸，不影响渡河时间，所以当船头垂直于河岸渡 河时，所用时间最短，最短时间为t二$ = 150 s = 20 s。vi5如图甲所示，当船到达对岸时，船沿平行于河岸方向也发生了位移，由几何知识可得船的位移为l =yjdi + xi 由题意可得x = v2t = 3 X 20 m = 60 m ,代入得 l = 20“J34 m。船在静水中的速度为 vi= 5 m/s， 大于水流速

5、度 v2= 3 m/s， 故当船的实 际速度方向垂直于河岸时，船的位移最小，如图乙所示，设船斜指向上游河对岸，且与河岸所成夹角为B，则有cos 0 =冬=0.6 ,则船的实际速度vvi=v1sin 0 = 5X0.8 m/s = 4 m/s，所用的时间为 t =s = 25 s。当水流速度v2 - 6 m/s时，则水流速度大于船在静水中的速度v1 = 5 m/s，不论v1方向如何，其合速度方向总是偏向下游，故不能垂直河岸渡 河。答案(1)20 s 20羽4 m (2)25 s (3)不能【针对训练1】(多选)(2020山东省泰安市高一期末)野外求生时必须具备一些 基本常识，才能在享受野外探险刺

6、激的同时，保证最基本的安全。如图所示，为 一野外求生人员进入河中岛的情境。已知河宽80 m,水流速度为3 m/s,人在静 水中游泳的速度为5 m/s，P为河正中央的小岛，O为河边一位置，OP垂直河岸， 人要从河边某处游到小岛P处，则该人员运动的()制Hl*卩| 一b野外求生人员所店河岸最短位移为40 m最短位移为50 m最短时间为10 s,应从O点左侧30 m处开始游动最短时间为8 s,应从O点左侧24 m处开始游动解析 由题意可知，人在静水中的速度大于水流速度，则人可以垂直河岸沿 OP运动到P点，即最短位移为40 m,故A正确，B错误；当人在静水中的速度方向垂直河岸时，所用时间最短即为t =

7、 40 s = 8 s ,应从O点左侧d二v 水t = 3X8 m二24 m处开始游动，故C错误，D正确。答案 AD拓展点 2 实际运动中的两类关联速度模型（模型建构） 关联速度问题一般是指物拉绳（或杆）和绳（或杆）拉物问题。高中阶段研究的绳都 是不可伸长的,杆都是不可伸长且不可压缩的,即绳或杆的长度不会改变。绳、 杆等连接的两个物体在运动过程中,其速度通常是不一样的,但两个物体沿绳或 杆方向的速度大小相等,我们称之为关联速度。解决关联速度问题的一般步骤 第一步：先确定合运动,即物体的实际运动。 第二步：确定合运动的两个实际作用效果,一是沿绳（或杆）方向的平动效果,改 变速度的大小；二是沿垂直

8、于绳（或杆）方向的转动效果,改变速度的方向。即将 实际速度正交分解为垂直于绳（或杆）和平行于绳（或杆）方向的两个分量并作出运 动矢量图。第三步：根据沿绳（或杆）方向的速度相等列方程求解。常见的两种模型（1）绳牵联模型 单个物体的绳子末端速度分解：如图甲所示, v 一定要正交分解在垂直于绳子方丄向,这样 v 的大小就是拉绳的速率,注意切勿将绳子速度分解。甲乙两个物体的绳子末端速度分解：如图乙所示两个物体的速度都需要正交分解，其 中两个物体的速度沿着绳子方向的分速度是相等的，即PA =vB。A B 如图丙所示，将圆环的速度分解成沿绳方向和垂直于绳方向的分速度， B 的速度 与A沿绳方向的分速度相等

9、，即v =vB。A B丙丁(2)杆牵联模型如图丁所示，将杆连接的两个物体的速度沿杆和垂直于杆的方向正交分解，则两个物体沿杆方向的分速度大小相等，即丙丁(2)杆牵联模型如图丁所示，将杆连接的两个物体的速度沿杆和垂直于杆的方向正交分解，则两个物体沿杆方向的分速度大小相等，即Va厂/。【例3】如图所示，套在竖直细杆上的轻环A由跨过定滑轮 的不可伸长的轻绳与重物B相连。由于B的质量较大，故在 释放B后，A将沿杆上升，当A环上升至与定滑轮的连线处 于水平位置时，其上升速度VHO，若这时B的速度为v2，则()A.vA.v2=VB.v2VC.v2H0D.v2=0解析 环上升过程其速度V可分解为两个分速度v和

10、v，如 图所示，其中v为沿绳方向的速度，其大小等于重物B的速度V ； v丄为绕定滑轮转动的线速度。关系式为v2 = VCos 3 , 3为v与v间的夹角。当A上升至与定滑轮的连线水平的位置时,3 = 90, cos 3二0 ,即此时v2 = o，故d正确。答案 D【针对训练2】（2019江西南昌八中高一月考）如图所示，一根 长直轻杆AB靠在墙角沿竖直墙和水平地面向下滑动。当AB杆 和墙的夹角为6时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1, B端 沿地面滑动的速度大小为v2,则V、v2的关系是（） A.V=v2B.V=v2cos 6C.V=v2tan 6D.v=v2sin 6解析 将A、B两端的速度分

11、解为沿AB方向和垂直于AB方向，由于AB不可伸长，A、B两端沿AB方向的速度分量相同，则有VCos 6 = VqSin 6 ,即V=v2tan 6 ,故 C 正确，A、B、D 错误。答案 C（m 核心素养一科学思難之“图解法”【题目示例】（多选）小明、小美、园园和小红去划船，碰到一条宽 90 m 的小河，他们在静水中划船的速度为3 m/s,现在他们观察到河水的流速为5 m/s，关于渡河的运动， 他们有各自的看法，其中正确的是（）小红说：要想到达正对岸就得船头正对河岸划船小美说：不论怎样调整船头方向都不能垂直到达正对岸小明说：渡过这条河的最短距离是150 m园园说：以最短位移渡河时，需要用时30

12、 s【思维建构】动态图解法】动态图解法】类比于只有一个力方向发生变化的动态平衡问题，可应用动态矢量三角形解决问题。1.固定水速矢量箭头不动，将船速矢量箭头绕水速矢量箭头的末端转动，如图所 示，则船速矢量箭头的末端在一个圆周上移动，根据三角形定则，合速度矢量的 末端也就在这个圆周上移动。当合速度o丄o船寸，合速度v与河岸夹角最大，位移最小。【规范分析】 如图(1)所示，船头正对对岸划船，合速度方向倾斜，无法到达正对岸，选 项A错误；口图(2)若要垂直到达正对岸需要满足v船v水该题中v水v 船，所以不论怎样调整船头方向都不能垂直到达正对岸，选项B正确；如 船图(3)所示，当v丄v船时，合速度v与河

13、岸夹角最大，位移最小。根据三船角形相似d = V船l解得s v.s二150 m /选项C正确；以最短位移渡河时所需时间t =s，选项D错误。答案 BC【方法感悟】所有矢量运算都满足平行四边形定则和三角形定则。当碰到一个矢量大小方向不 变，另一个矢量要么大小不变，要么方向不变，求解第三个矢量时，我们就可以 大胆尝试用这种动态图解法画图，往往垂直“出”最小。随堂对点自测展片肖測.理点喫诜1.（小船过河问题）（2020高台县一中高一期中）小船过河时，船头偏向上游与水流方向成角，船相对静水的速度为o,其航线恰好垂直于河岸。现水流速度稍有增大，为保持航线不变，且准时到达对岸，下列措施中可行的是（）增大a

14、角，增大船速P减小a角，增大船速o减小a角，保持船速o不变增大a角，保持船速o不变解析 由题意可知，船相对静水的速度为o，其航线恰好垂直于河岸。因为合速度方向指向河岸且大小不变，如图所 示，可得当水流速度增大时，可增大船速o，同时增大a角，故A符合题 意， B、C、D 不符合题意。答案 A2.（绳牵连模型）（2019泉港一中高一期末）如图所示，有人在河面上方20 m的岸上用跨过定滑轮的长绳拴住一条小船，开始时绳与水面的夹角为30。人以恒定的速率o = 3 m/s拉绳，使小船靠岸，那么（sin 53。= 0.8, cos 53。= 0.6）（）5 s 时绳与水面的夹角为 60。5 s时小船前进了

15、 15 mC.5 s时小船的速率为5 m/sD.5 s时小船到岸边距离为10 m解析5 s内人前进的距离 s = ot = 3 X 5 m = 15 m ，开始时滑轮至船的距离l = 二40 m，小船到岸边距离x二sin 30為二2吋m，5 s时滑轮至船的距离变为IS m，设5 s时拉船的绳与水平方向夹角为6，则sin 0二二5 ,由此可知0=53，小船到岸 边的距离变为xr = lcos 0= 15 m ,则5 s时小船前进了 Ax二x - X二（20-.-v15）m ,故A、B、D错误；由图知cos 0-，可得5 s时小船的速率v船 v船船- 5 m/s， C 正确。答案C3.（杆牵连模型）如图所示，一轻杆两端分别固定质量为mA和mB 、:的两个小球A和B（可视为质点），将其放在一个直角光滑槽中。 ： . 100 m