高中数解不等式方法练习

1、- 解不等式 高考要求 要求层次 重难点 不等式 一元二次不等式 C 解一元二次不等式 例题精讲 板块一：解一元二次不等式 （一） 学问内容 1含有一个未知数,且未知数的最高次数为 2 的整式不等式,叫做一元二次不等式 Oa 0 为例）： 一元二次不等式的解集,一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表（以 判别式 y0 b2 4ac 0 0 二次函数 yyy 2 ax bx c x 1 O x2 xO = x1 x2 xa 0 的图象 x有两相异实根 一元二次方程 c 0 x1 , x2 有两相等实根 没有实根 ax 2 bx c 0 x1 x2 bbb2 4ac a 0 的根 2a 2

2、a 实数集 R x1 x2 x x R,且 ax 2 bx x x x1 x b 2a 一元二次不 a 0 0或 x x 2 等式的解集 c 2 ax bx x x 1 x x 2 a 0 有关含有参数的一元二次不等式问题,如能把不等式转化成二次函数或二次方程,通过根的 判别式或数形结合思想,可使问题得到顺当解决其方法大致有：用一元二次方程根的判 别式,参数大于最大值或小于最小值,变更主元利用函数与方程的思想求解 第 1 页,共 10 页- - （二）主要方法 1解一元二次不等式通常先将不等式化为 ax 22 bx c 0 或 ax bx c 0 a 0 的 形式,然后求 0 时两根之间； 出

3、对应方程的根（如有根的话） ,再写出不等式的解：大于 0 时两根之外,小于 2分式不等式主要是转化为等价的一元一次,一元二次或者高次不等式来处理； 3高次不等式主要利用“序轴标根法”解 （三）典例分析： 1. 二次不等式与分式不等式求解 3 x 1 D D x | x 3或 x 1 【例 1】 不等式 x 11的解集是 x 2【变式】 不等式 x2 2 x 3 0 的解集为（ ） A x| x 3或 x 1 B x | 1 x 3C x | 【变式】 不等式 x 5 2 的解集是（ 2 1 1 B ,3 ） A x 1 3, 1 C ,1 1,3 1 , 1 1, 3 22222. 含确定值的

4、不等式问题 【例 2】 已知 nN ,就不等式 2n 2 的解集为（ ） a的取值范畴是 _ n1A n | n 199 , n N B n | n 200 , n N C n | n 201 , n N D n | n 202 ,n N 【例 3】 不等式 x 11 的解集为（ ） x 1A x | 0 x 1x | x 1B x | 0 x 1 C x | 1 x 0D x | x 0【变式】 关于 x 的不等式 x 1x 2 a2 a1的解集为空集,就实数 【例 4】 如不等式 x 1 a 2 1 对一切非零实数 x 均成立,就实数 a 的最大值是 x 【例 5】 如不等式 3 x b4

5、 的解集中的整数有且仅有 1, 2 , 3 ,就 b 的取值范畴为 3. 含参数不等式问题 【例 6】 如关于 x 的不等式 2 x 28x 4a0 在 1 x 4 内有解,就实数 a的取值范畴是（ ） A a 4 B a 4 C a 12 D a 12 【变式】 已知 a 0 ,就不等式 x2 2ax 3a 2 0 的 解集为 . 2bx 2 0 的解集相同,就 a b 如不等式 8x 9 7和不等式 ax 第 2 页,共 10 页- - 【例 7】 如不等式 ax 2B x 20 的解集为 1R ,就 a 的范畴是（ 1 a D ） A a 0 aC a 0 88） 【例 8】 如关于 x

6、 的不等式 ax b 0 的解集是 , 1 ,就关于 x 的不等式 ax b0的解集为（ x 2A , 1 2 , B 1 , 2 C 1 ,2 D ,1 2 , 【例 9】 0 b 1 a ,如关于 x 的不等式 x b22 ax 的解集中的整数恰有 3 个,就（ ） A 1 a 0 B 0 a 1 C 1 a 3 D 3 a 6 【例 10 】 要使满 足 关 于 的 不等式 x 2 x 29x a0 解集非 空 的每 一个 x 至少满 足 不 等式 x2 4x 302 和 x 6x 80中的一个,就实数 a的取值范畴是 ； 已知不等式 ax 2bx c 0 的解集是 x| x ,其中 1

7、 ,就不等式 a ax2bx c cx 2bx a0 的解集是 4. 解不等式与分类争辩 【例 11 】 设 m R ,解关于 x 的不等式 m2 x2 12mx 3 0 【变式】 解关于 x 的不等式 m3 x 1x 0m R 【点评】 解含参数的不等式 , 进行争辩时要留意对所含字母的分类要做到不重不漏 . 2【例 12 】 求不等式 ax 2a 1x 4 0 的解集 【例 13 】 解关于 x 的不等式 ax 1 1a 1 【变式】 解关于 x 的不等式 x2 x 2a2 x a3 0 a 第 3 页,共 10 页- - 【例 14 】 解不等式 m 1 x 2 4x 1 0 . 【点评

8、】 对于二次项系数也含有参数的一元二次不等式,第一应判定二次项系数是否为零,分别加以 争辩,然后在二次项系数不为零的条件下,求出判别式 0 的零点,分类进行争辩 . 5. 与二次方程或可化为二次方程的解的问题结合, 【例 15 】 关于 x 的方程 ax 2 2 x 1 0 至少有一个正的实根,就 a 的取值范畴是（ ） A a 0 B 1 a 0 C a 0 或 1 a 0D a 1 【例 16 】 已知关于 x 的方程 m 3 x 2 4 mx 2m 1 0 的两根异号,且负根的确定值比正根大,那么实 数 m 的取值范畴是（ ） A 3 m 0B 0 m 3 C m 3 或 m 0 D m

9、 0 或 m 3 【例 17 】 有如下几个命题： 22bx c 0的解集 假如 x1 , x2 是方程 ax bx c 0 的两个实根且 x1 x 2 ,那么不等式 ax 为 x | x 1 x x2 ； 当 x a b2 4ac 0时,二次不等式 2 ax bx c 0的解集为 ； 0 与不等式 x a x b 0 的解集相同； x b2 x 2 x 2 3 与 x 2x 3 x 1 的解集相同 x 1其中正确命题的个数是（ ） A 3 B 2 C 1 D 0 【例 18 】 如关于 x 的方程 9 x 4 x a3 40有解,求实数 a的取值范畴 . 【例 19 】 已知 a R ,如关

10、于 x 的方程 x 2 x a1a0 有实根,就 a的取值范畴是 46. 恒成立问题 【例 20 】 如不等式 a 2 x 22 a 2 x 40对 x R 恒成立,就 a的取值范畴是 【变式】 f x ax 2ax 1 在 R 上恒中意 f x 0 ,就 a的取值范畴是（ ） A a 0 C 4 a 0 D 4 a 0 B a 4 第 4 页,共 10 页- - 【变式】 如对于 x R ,不等式 mx 22mx 30 恒成立,求实数 m 的取值范畴 【点评】 对于有关二次不等式 ax 2bx c 0 （或 0 ）的问题,可设函数 f x ax 2bx c ,由 a 的符 号确定其抛物线的开

11、口方向,再依据图象与 x 轴的交点,由判别式进行解决 【例 21 】 不等式 x2 ax 1 0 对一切 x 1 0, 成立,就 a 的最小值为（ ） ） 3| 2 2 3 A 0 B C 5D 2| x 1| a2 3a 不等式 | x 对任意实数 x 恒成立,就实数 a的取值范畴为（ A , 14B, 2 5 , , C 1, 2 D,1 2 , 2【变式】 对 任意 a 1, 1, 函 数 f x x a 4 x 4 2a 的值 恒大于 零, 就 x 的取 值范 围为 【例 22 】 如不等式 lg 2ax 1 在 x 1, 2 时恒成立,试求 a 的取值范畴 lg a x 1 中分别出

12、来是解决问题的关键 lg 2ax 【点评】 将参数 a 从不等式 【例 23 】 如 x x , 1 , lg a x a2 9 x 0恒成立,求实数 a的取值范畴 . a的取值范畴 . 13x a【例 24 】 设 f x2 2ax 2 ,当 x 1, 时,都有 f x a 恒成立,求 【例 25 】 设对全部实数 x ,不等式 2 2 4 a 12a 2 xlog 2 a1 log 2 2 a1 0 4a 2恒成立,求 a的取值范 围 . x log a第 5 页,共 10 页- - 【例 26 】 已知不等式 ax24x 1 2 x2a 对任意实数恒成立,求实数 a 的取值范畴 【例 2

13、7 】 已知关于 x 的不等式 2 x x t 0对 x R 恒成立,就 t 的取值范畴是 【例 28 】 假如 | x 1| | x 9 | a 对任意实数 x 恒成立,就 a的取值范畴是（ ） x 成立, A a | a 8 B a | a 8 C a | a 8 D a | a 8 【例 29 】 在 R 上定义运算 ： x y x1 y 如不等式 x a x a 1 对任意实数 就（ ） B 0 a 2 C 1 a 3 D 3 a 1 A 1 a 1 a2 2 2 2 【例 30 】 设不等式 x2 2ax 2 0 的解集为 M ,假如 M1,4 ,求实数 a 的取值范畴 【点评】 如

14、将此题改为： 1,4 M ,求 a 的取值范畴,就此题等价于： 当 x 1,4 时, x2 2ax a2 0 恒成立,求 a的取值范畴 可以通过争辩对应二次函数的对称轴,或者在不等式中将 取值范畴解决此问题 仅用 其次种方法略解如下： a 解出,通过求出对应的代数式的 x2 2ax a 2 1 2xa 2 x 2 0 ,故 2 x 1a x22, 2 ,对 x 1,4 恒成马上可 x 1,4 , 2x 1 1 0 ,从而要中意题意,只需 a x 2 故要求 x22 在 x 1,4 时的最大值,令 t 2x 1 1,7 , 2 x 12x 1就 x 2 2122t 2 2t 911t9 , 4

15、t 1 2x 1 t 4t 24t 由对勾函数的单调性知：上式在 t 1 或 t 7 时取到最大值 比较知：当 t 1 时,上式有最大值 3 , 故当 a 3 时,有 x2 2axa2 0 对 x 1,4 恒成立 即 的取值范畴为 a3, 第 6 页,共 10 页- - 板块二：解不等式综合问题 （一）典例分析： 1. 利用函数单调性解不等式 【例 31 】 解不等式： log x 16 x 2 x 2 4 0 x 3x23 x 【变式】 解关于 x 的不等式： log 2. 解不等式与函数综合问题 【例 32】 已知函数 f xx 3 ax 2 ba ,b R 如函数 f x 图象上任意一点

16、处的切线的斜率小于 1 ,求证： 3 a3 ； 如 x 0, 1 ,函数 y f x 图象上任意一点处的切线的斜率为 k ,试争辩 k 1 的充要条件 【备注】 为了缩小争辩范畴,此题可以一开头将 x 1 代入 3x2 2ax 1 中,解得 1 a 2 ,再进行 争辩此题争辩过程中的充要条件的得出结合二次函数的图象会比较简洁懂得,配图略 【例 33 】 求函数 f x 1 2 x 3x 2 2 lg15x 2 x 1 的定义域 福建省上杭二中 08 09 学年单元质量检查必修 5 数学试题 假如 关于 x 的不等 式 2 kx 2 kx 3 0 对 一切 实数 x 都成立 , 就 k 的 取值

17、 范畴 8是 5 数学试题 福建省上杭二中 08 09 学年单元质量检查必修 设 f x 3ax 2a 1,如存在 x0 1,1 ,使 f x 0 0,就实数 a 的取值范畴是（ ） A 1 a 1B a 1 或 a1C a 1D a 1555【例 34 】 已知函数 f x x 1g x2 1x ,如不等式 f m 3 x f 3 x9x 2 0对任意 x R 恒成立, 求实数 m 的取值范畴 第 7 页,共 10 页- - 【例 35 】 已知不等式 1111 log a a12 对于一切大于 1 的自然数 n都成立, 试求 实 n1n22n 12 3数 a 的取值范畴 . ax2x,假如

18、 x 0, 1 时 | f x | 1 ,求实数 a的取值范畴 【例 36 】 已知二次函数 f x 【点评】 在闭区间 0, 1上使 | f x | 1 分别出 a ,然后争辩关于 1 的二次函数在 1, 上的单调性 x 【例 37 】 设二次函数 f x ax 2 bx c a , b , c R ,a 0 中意条件： 当 x R 时, f x 4f 2x ,且 f x x； 当 x 0 ,2 时, f x x 1 2 2 f x 在 R 上的最小值为 0 . R ,只要 x 1, m ,就有 f x t x . 求最大的 m m 1 ,使得存在 t 【点评】 此题所用方法为先依据已知条件

19、求出 m 小于某个数,再验证 m是否可取到此值,如能取到,就此 值为 m 的最大值 【例 38 】 设 a 为实数,函数 f x 2 x 2 x a x a 【变式】 如 f 0 1 ,求 a的取值范畴； ,直接写出 （不需给出演算步骤）不等式 h x 1 的解集 求 f x 的最小值 设函数 h x f x , x a , 第 8 页,共 10 页- - 【备注】 此题是江苏卷的文理科必做题的最终一题,江苏文理不分卷,但依据同学的不同有些同学另 有选做题,包括选考内容与排列组合,空间向量等 此题问相当有难度,思路分析如下： h x 2 3x 2ax a 2 x a , hx 12 3x 2 ax a2 1 0 ； 2 , 对应的一元二次方程 2 3x 2ax a2 10的判别式 43 2a 2 , 当 0 ,即 a , 66 , 时,不等式的解集为 a , 当 0 ,即 a 22a3 2a 6, 6时,记小根 x1 a32 2 a ,大根 x2 当 a x2 ,即 a 2 22 时,不等式的解集为 a , 33 ； 当 x1 a x2 ,即 22 a 2 时,不等式的解集为 x2 , ； 当 a x1 ,即 a2 22 时,不等式的解集为 a,x1 x2 , 2综上可得答案 【例 39 】已知集合 D x1 , x2 | x1 0 ,x2 0 ,x1 x2 k 其中