高中数学基础知识汇总

1、高中数学基础学问 汇总（最新版）高中数学学问归纳汇总目录第一部分集合 3其次部分函数与导数 3第三部分三角函数、三角恒等变换与解三角形 10第四部分立体几何 12第五部分直线与圆 14第六部分圆锥曲线 16第七部分平面对量 18第八部分数列 19第九部分不等式 20第十部分复数 21第十一部分概率 22第十二部分统计与统计案例 23第十三部分算法初步 24第十四部分常用规律用语与推理证明 25第十五部分推理与证明 26第十六部分理科选修部分 27第一部分 集合1 N,Z,Q , R 分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集；2 交集,A B x x A 且 x B . 并集,A B x x

2、A 或 x B . 符号区分；3（1）含 n 个元素的集合的子集数为 2n,非空子集数为 2n1；真子集数为 2n1；非空真子集的数为 2n-2 ；（2）A B A B A A B B ; 留意：争论的时候不要遗忘了 A 的情况；（3）CIABCIACIB;CIABCIACIB;4是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集；其次部分函数与导数1定义域： 抽象函数；已知fkx定义域,求fgx定义域,kx与gx值域相同 ；（详细可以参考本节第4 点复合函数定义域求法） ；详细函数； 分母不为 0 ,偶次根号下不为负数,0 a 中 a 不为 0 ,tan,log a x中的 x 为正数；2值域： 一元

3、二次方程配方法；换元法；分别参数法；3解析式： 配方法；换元法；待定系数和；消去法；4复合函数的有关问题（1）复合函数定义域求法：如 fx 的定义域为 a,b ,就复合函数fgx 的定义域由不等式agx b解出；如 fgx 的定义域为 a,b, 求 fx 的定义域, 相当于 xa,b 时,求 gx 的值域；（2）复合函数单调性的判定：第一将原函数yfgx分解为基本函数：内函数ugx与外函数yfu；分别争论内、外函数在各自定义域内的单调性；依据“ 同性就增,异性就减” 来判定原函数在其定义域内的单调性；留意：外函数yfu的定义域是内函数ug x 的值域；5函数的奇偶性函数的定义域关于原点对称是函

4、数具有奇偶性的x必要条件；ffx1；f x是奇函数fxfxffx0 xf x是偶函数fxfx0 fxfx0ffx1；x奇函数fx在原点有定义,就f0；在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调性；6函数的单调性单调性的定义：ffx在区间M上是增f函数fx2x 1,x2fM,当x 12x2时有fx 1fxfx 1fx20 x 1x2x100；x 1x2fx在区间Mx上是减函数x2x 1,x2M,当x 1x2时有x 1fx2x 1fx20 x2fx 1f00；1x 1x2单调性的判定定义法：一般要将式子fx 1fx2化为几个因式作积或作商的形式,以利于判定符号；导数法（见

5、导数部分） ；复合函数法；图像法；注：证明单调性主要用定义法和导数法；7函数的周期性1 周期性的定义：对定义域内的任意x ,如有fxTfx （其中 T 为非零常数） ,就称函数fx为周期函数, T 为它的一个周期；全部正周期中最小的称为函数的最小正周期；如没有特殊说明,遇到的周期都指最小正周期；（2 ）三角函数的周期ysinx:T2y；ycosx:T:T22；ytanx:Tx:T；|；yAsinx,Acosx|；ytan|与周期有关的结论fxafxa或fx2a fxa0 f x 的周期为2a；yafx的图象关于点a0, b,0中心对称fx周期为 2ab；yfx的图象关于直线xa ,xb轴对称f

6、x周期为 2ab；xyfx的图象关于点a,0中心对称,直线b轴对称fx周期为4b；8基本初等函数的图像与性质幂函数：yx（R ；指数函数：yaxa0,a1 ；2bxc0；对数函数 :ylogaxaxa0,a1 ；正弦函数 :ysinx；余弦函数：ycos x（6）正切函数：ytanx；一元二次函数：其它常用函数：正比例函数：ykx k0 ；反比例函数：ykk0；特殊的y1xx函数yxaa0；x9二次函数：解析式：一般式：fx ax2bxc；顶点式：fxaxh2k,h ,k为顶点；零点式：x2；fx axx1x二次函数问题解决需考虑的因素：开口方向；对称轴；端点值；与坐标轴交点；判别式；两根符号

7、；二次函数问题解决方法：数形结合；分类争论；10 函数图象：图象作法：描点法（特殊留意三角函数的五点作图）图象变换法图象变换：平移变换：yxffxyfxa,a0 左“+ ” 右“- ” ；1yfx yfk,k0上“+ ” 下“-” ；伸缩变换：yx, （0 纵坐标不变,横坐标伸长为原先的yfx倍；yfxyAfx, （A0 横坐标不变,纵坐标伸长为原先的A倍；对称变换： yffx x0,00 yyff x；yfxy0yfx；yx x；翻转变换：yfxy|f|x|右不动,右向左翻（|fx在 y 左侧图象去掉） ；yfxyfx|上不动,下向上翻（fx |在 x 下面无图象） ；11 函数图象（曲线）

8、对称性的证明1 证明函数yf x 图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（2）证明函数 y f x 与 y g x 图象的对称性,即证明 y f x 图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在 y g x 的图象上,反之亦然；（留意上述两点的区分！）注：曲线 C1:fx,y=0 关于点（ a,b）的对称曲线 C2 方程为： f2a x,2b y=0; 曲线 C1:fx,y=0 关于直线 x=a 的对称曲线 C2 方程为： f2a x, y=0; 曲线 C1：fx,y=0, 关于 y=x+a 或 y= x+a 的对称曲线 C2 的方程为 fy a,x+a=0

9、 或 f y+a, x+a=0; a b fa+x=fbx （xR）y=fx 图像关于直线 x= 对称；2特殊地： fa+x=fax （x R）y=fx 图像关于直线 x=a 对称；函数 y=fx a与 y=fb x的图像关于直线 x= a b 对称；212 函数零点的求法：直接法（求fx0的根）；图象法； . 13 导数导数定义： fx 在点 x 0 处的导数记作yxx 0fx0lim x0fx0 xfx0；x常见函数的导数公式:C0；xnnxn1；sinxcosx；a；cosxsinx；axaxlna；exex；logax1xlnlnx 1；uv;uvuvu v;uuvu vx;导数的四就

10、运算法就：uvvv2（理科） 复合函数的导数：yxy uux;导数的应用：利用导数求切线：留意：）所给点是切点吗？）所求的是 “ 在” 仍是“ 过”该点的切线？利用导数判定函数单调性：fx0fx是增函数；fx 0ffx为减函数；fx 0fx为常数；求方程x0的根； 列表得极值；利用导数求极值：求导数fx利用导数最大值与最小值：14 （理科） 定积分求的极值； 求区间端点值 （假如有）；得最值；定积分的定义：bfxdxlim ninbnafi；Fb；Fa a1定积分的性质：bkfxdxkbfx dx（ k 常数）；aabf1xf2xdxbf1 x dxbf2xdxaaabfxdxcfxdxbfx

11、dx（其中acaac微积分基本定理（牛顿莱布尼兹公式）：bfx dxFx|b ab a定积分的应用：求曲边梯形的面积：Sb|fxgx|dx；dx；a求变速直线运动的路程：Sbvtdt；求变力做功：WbFxaa第三部分三角函数、三角恒等变换与解三角形1角度制与弧度制的互化：弧度180 ,1180弧度, 1弧度180Z5718弧长公式：lR；扇形面积公式：S1R21Rl；222三角函数定义：角中边上任意一点P为x,y,设|OP |r就：siny,cosx,tanyrrx, 0 k；3三角函数符号规律：一全正,二正弦,三两切,四余弦；4诱导公式记忆规律： “ 奇变偶不变,符号看象限”；5 yAsin

12、x对称轴：xk2；对称中心：kyAcos x对称轴：xk；对称中心：k2,0 kZ；6同角三角函数的基本关系：sin2xcos2x;1sinxtanx；cosx7. 三角函数的单调区间ysinx的递增区间是2k2,2k2kZ,递减区间是2k2,2k3kZ；cossin;2ycos 的递增区间是2k2,kkZ,递减区间是2k,2kkZytanx的递增区间是k2,k2kZycotx的递减区间是k,kkZ8两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sinsincoscoscoscossinsin;tantantan tan；二1tan9. 倍角公式： sin22sincos；12tan2；cos2cos2s

13、in22cos2112sin2；tan2tan10 正、余弦定理：正弦定理：a:bBcC2R（2R是ABC 外接圆直径）sinAsinsin注：a:b:csinAsinB:sinC；a2RsinA ,b2RsinB,c2RsinC；aAbcCsinAabBcsinC；sinsinBsinsinAb2c2a2等三个；余弦定理：a2b2c22 bccosA等三个； 注：cos2 bc11 ；几个公式 : 三角形面积公式：SS ABC1ah1absinC；bc;22内切圆半径r=2ABC；外接圆直径2R=asin Asin Bsin Cabc11 已知a ,b ,A时三角形解的个数的判定：A C 其

14、中 h=bsinA, A 为锐角时： ah 时,无解；b h a a=h 时,一解（直角）； hab 时,一解（锐角） ；第四部分立体几何1三视图与直观图：注：原图形与直观图面积之比为22:1；2表（侧）面积与体积公式：柱体：表面积：S=S 侧+2S 底；侧面积： S 侧= 2 rh；体积： V=S 底 h 1锥体：表面积：S=S 侧+S 底；侧面积： S 侧= rl ；体积： V= S 底 h ：3台体：表面积：S=S 侧+S 上底 S 下底；侧面积： S 侧= r r l；1 体积： V=（ S+ SS S） h；3球体：表面积：S= 4 R ；体积： V= 2 4 R 3；33位置关系的

15、证明（主要方法）：直线与直线平行：公理4；线面平行的性质定理；面面平行的性质定理；直线与平面平行：线面平行的判定定理；面面平行 线面平行；平面与平面平行：面面平行的判定定理及推论；垂直于同始终线的两平面平行；直线与平面垂直：直线与平面垂直的判定定理；面面垂直的性质定理；平面与平面垂直：定义 - 两平面所成二面角为直角；面面垂直的判定定理；注：理科仍可用向量法；4. 求角：（步骤 -；找或作角；求角）异面直线所成角的求法： 平移法：平移直线,构造三角形；补形法：补成正方体、平行六面体、长方体等,发觉两条异面直线间的关系；注：理科仍可用向量法,转化为两直线方向向量的夹角；直线与平面所成的角：直接法

16、 （利用线面角定义） ；先求斜线上的点到平面距离 h ,与斜线段长度作比,得 sin；注：理科仍可用向量法,转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角；5 结论： 长方体从一个顶点动身地三条棱长分别为a,b ,c,就对角线长为a2b2c2,全面积为 2ab+2bc+2ca；长方体体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为,就：cos2+cos2+cos2=1 ；sin2+sin2+sin2=2 正方体的棱长为a,就对角线长为3a,全面积为62 a ,体积为a3 长方体或正方体的外接球直径2R 等于长方体或正方体的对角线长；4 正四周体的性质：设棱长为aa ,就正四周体的：2a；高：h6；对棱间距离

17、：32内切球半径：6a；外接球半径：6a；124第五部分直线与圆1 直线方程点斜式：yykxx；斜截式：ykxb；截距式：xy1；ab两点式：yy1Bxx 1x 1；一般式：AxByC0,（A,B 不全为 0 ）；y2y 1x2（直线的方向向量： （, A,法向量（A , B2 求解线性规划问题的步骤是：（1）列约束条件； （2）作可行域,写目标函数；3两条直线的位置关系：（3）确定目标函数的最优解；直线方程b 120平行的充要条件垂直的充要条件0备注l1:yk 1xk 1k2,b 1b2k 1k21l1,l2有斜率l2:yk 2xb 2l1:A 1xB 1yC1A 1B2A2B 1,且A 1

18、A 2B 1B 2不行写成l2:A 2xB2yC0B 1C2B2C1（验证）分式4直线系：直线方程ykxbm1A 2xAxByC00平行直线系ykxmAxBym垂直直线系1 kxyBxAym0 x相交直线系A 1CB2yC20B 1y5几个公式设 A（ x1,y1）、Bx 2 ,y2、C（x 3,y3）,ABC 的重心 G：（x 1x2x3,y 12y2y3）；33点 P（x0,y 0）到直线 Ax+By+C=0的距离：dAx0A2By0C；B2C2C1两条平行线Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 的距离是dA2B6圆的方程：标准方程：xa2yb2r2；x2y2r2；一般方程：x2

19、y2DxEyF0（D2E24 F0 注：Ax2+Bxy+Cy 7圆的方程的求法：2+Dx+Ey+F=0表示圆A=C 0 且 B=0 且 D2+E24AF0 ；待定系数法；几何法；圆系法；8圆系：x2y2D1xE1yF 1x2y2D2x,E2yF20,1 ；01注：当1时表示两圆交线；x2y2DxEyFAxByC9点、直线与圆的位置关系：（主要把握几何法）点与圆的位置关系： （ d 表示点到圆心的距离）dR点在圆上；dR点在圆内；dR点在圆外；d2）直线与圆的位置关系：（ d 表示圆心到直线的距离）ABr2dR相切；dR相交；（直线与圆相交所得的弦长dR相离；Rr）圆与圆的位置关系： （ d 表

20、示圆心距,R,r表示两圆半径,且dRr相离；dRr外切；RrdRr相交；dRr内切；0dRr内含；10 与圆有关的结论：过圆 x2+y2=r2上的点 Mx 0,y0的切线方程为：x 0 x+y 0y=r2；0-by-b=r2；过圆 x-a2+y-b2 =r 2 上的点 Mx 0,y0的切线方程为： x 0-ax-a+y以 Ax 1,y 2、Bx 2,y2为直径的圆的方程：xx 1 xx 2+y y 1y y 2=0 ；第六部分 圆锥曲线（此部分重点内容为三种圆锥曲线的方程、几何性质,下面所列可能是你会疏忽的一些内容）1定义： 椭圆：|MF1|1|MF2|22a ,2a|F 1F2|；双曲线：|

21、MF|MF|2a,2 a|F 1F 2|抛物线：MFd2结论焦半径：椭圆：PF 1 a ex 0 , PF 2 a ex 0（e 为离心率）； （左“+ ”右“-” ）；2 p抛物线 y 2 px：PF x 0（p 0）22 2 2弦长公式：AB 1 k x 2 x 1 1 k x 1 x 2 4 x 1 x 2 1 12 y 2 y 1 1 12 y 1 y 2 24 y 1 y 2 ；k k注：（）抛物线焦点弦长：AB x1+x2+p 2（）通径（最短弦） ：椭圆、双曲线：2 b；抛物线： 2p ；a2 2过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：mx ny 1（m, n 同时大于 0时表示椭圆

22、,mn 0 时表示双曲线） ；4 双曲线中的结论：双曲线x2y21（ a0,b0）的渐近线：x2y20；2b22b2aa共渐进线ybx的双曲线标准方程为x2y2为参数, 0）；aa2b2双曲线为等轴双曲线e2渐近线为yx渐近线相互垂直；3直线与圆锥曲线问题解法：直接法（通法） ：联立直线与圆锥曲线方程,构造一元二次方程求解；留意以下问题：联立的关于“x ” 仍是关于“y ” 的一元二次方程？直线斜率不存在时考虑了吗？判别式验证了吗？设而不求（代点相减法或叫点差法）：-处理弦中点问题y2；解步骤如下：设点Ax 1,y 1、Bx 2,y2；作差得k ABy 1x 1x2决问题；4求轨迹的常用方法：

23、（1 ）定义法：利用圆锥曲线的定义；（2）直接法（列等式） ；（3）代入法（相关点法或转移法） ；待定系数法； （5）参数法；（6）交轨法；第七部分 平面对量设 a=x 1,y1,b =x 2,y2,就：a b b 0 a= b （R x 1y 2x 2y 1=0 ； ab a 、b 0 a b =0 x1x2+y 1 y2=0 . a b =| a|b |cos=x 2+y 1y 2；注： |a|cos 叫做 a 在 b 方向上的投影；投影；|b |cos 叫做 b 在 a 方向上的 a b 的几何意义： a b 等于 |a|与 |b |在 a 方向上的投影 |b |cos 的乘积； cos

24、=|a|b；aa2x2y2ab|（ 4）a2aaa2三点共线的充要条件P,A,B 三点共线OPx OAy OB 且xy1；且xyz1；附：（理科） P,A,B, C 四点共面OPx OAyOBz OC第八部分数列1 定义：等差数列anan1andd为常数）2ananan1anan1n,2nN*Nk0；anknbs nAn2Bn；2an1n2,n-1an1qq0an等比数列anancqnc ,q均为不为0 的常数）Snkkqnq0,q1 ,2 等差、等比数列性质等差数列1a 1qn1等比数列n通项公式ana1n1 dan前 n 项和Snna 12annann1. q1 时,S nna 1;1 d

25、2 . q1 时,S na 1 1q1q2性质a n =a m + n md, a 1anq1qa n=a mqn-m; m+n=p+q时 am +a n=a p +a q m+n=p+q时 am a n=a pa q Sk,S 2k,Sk,S 3kS 2k,成 AP S k,S2kkSk,S 3kS2k,成 GP ,mdmdak,aqmakaka k2m,成 AP,ak2m,成 GP,qm3数列通项的求法：定义法（利用1AP,GP 的定义）；（ 2）累加法（an1nancn 型；（3）公式法：S1n=1kab、an= SnSn-1 n2 累乘法（ancn型）；变形构造法（an 1anan1a

26、n4anan11114等类型）；anan4 前 n 项和的求法：（1）倒序相加法； （2 ）错位相减法； （ 3）裂项相消法； （4）分组求和法5 等差数列前n 项和最值的求法：n100；（函数思想）利用二次函数的图象（数列思想）an100或aaann与性质；第九部分 不等式1 均值不等式：aba2ba22b2a2b2a22b2；留意：一正二定三相等；变形,ab2 不等式的性质：abcba；ab,bccac；cbd；a0 ,bnN；abacbc；ab ,cdaab,0acbd；ab,0acbc；abcd0acbd；N；（ 6）ab0nnab0anbn0n4 不等式等证明（主要）方法：比较法：作

27、差或作比；综合法；分析法；第十部分 复数1 概念： z=a+bi R b=0 a,bR z= z z20 ； z=a+bi 是虚数 b 0a,b R； z=a+bi 是纯虚数 a=0 且 b 0a,b R z z 0（z 0）z20 时,变量x,y正相关； r0 时,变量x,y负相关；| r|越接近于 1,两个变量的线性相关性越强；| r|接近于 0 时,两个变量之间几乎不存在线性相关关系；（3）判定两个变量线性相关性仍可以通过画出散点图进行分析4独立性检验（分类变量关系）：2随机变量 K 越大,说明两个分类变量,关系越强,反之,越弱；第十三部分 算法初步 1程序框图：图形符号：终端框（起止况

28、） ；输入、输出框；连接点；程序框图分类处理框（执行框） ；判定框；流程线；: 次序结构：条件结构：r=0. 循环结构：输入 n是否求 n 除以 i 的余数n 不是质素n 是质数i=i+1 i=2 i n 或 r=0. 否是1 四种命题：第十四部分 常用规律用语与推理证明原命题：如p 就 q ；逆命题：如q 就 p；p 否命题：如p 就q ；逆否命题：如q 就注：原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价；2 充要条件的判定：（1）定义法 - 正、反方向推理；（2）利用集合间的包含关系：例如：如 A B,就 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件；如 A=B ,就 A 是 B 的充要条

29、件；3 规律连接词：且 and ：命题形式pq ；p q pq pqp 或（ or ）：命题形式pq ；真真真真假非（ not ）：命题形式p . 真假假真假假真假真真假假假假真4 全称量词与存在量词全称量词 -“ 全部的” 、“ 任意一个” 等,用 表示；全称命题 p ：x M , p x ；全称命题 p 的否定 p：x M , p x ；存在量词 -“ 存在一个”、“ 至少有一个” 等,用 表示；特称命题 p ：x M , p x ；特称命题 p 的否定 p：x M , p x ；第十五部分 推理与证明数学归纳法（仅限理科）一般的证明一个与正整数 n 有关的一个命题,可按以下步骤进行：证明

30、当 n 取第一个值 n 是命题成立；假设当 n k k n 0 , k N 命题成立,证明当 n k 1 时命题也成立；那么由就可以判定命题对从n 开头全部的正整数都成立；这种证明方法叫数学归纳法；注： 数学归纳法的两个步骤缺一不行,用数学归纳法证明问题时必需严格按步骤进行；n 的取值视题目而定,可能是1,也可能是2 等；第十六部分 1 排列、组合和二项式定理理科选修部分排列数公式 :m A n=nn-1n-2n-m 1=nn .m.m n,m 、nN*, 当 m=n时为全排列A =nn-1n-2 n n3.2.1=n.; 组合数公式：Cmm A nmnn1mnm31 1（ m n ）,C0Cn1；nnnm . m122N组合数性质：CmCnm;CmCm1Cm1；nnnnn二项式定理：abnC0anC1an1 b1CkankbkCnbnnnnnn通项：T r1Cranrbrr