高中数学人教A版必修4优秀教案示范教案向量减法运算及其几何意义

1、2.2.2 向量减法运算及其几何意义整体设计教学分析向量减法运算是加法的逆运算.同学在懂得相反向量的基础上结合向量的加法运算把握向量的减法运算 .因此 ,类比数的减法 减去一个数等于加上这个数的相反数 ,第一引进相反向量的概念 ,然后引入向量的减法 减去一个向量 ,等于加上这个向量的相反向量 ,通过向量减法的三角形法就和平行四边形法就 ,结合肯定数量的例题 ,深刻懂得向量的减法运算 .通过阐述向量的减法运算 ,可以转化为向量加法运算 ,渗透化归的数学思想 ,使同学懂得事物之间的相互转化、相互联系的辨证思想 ,同时由于向量的运算能反映出一些物理规律 ,从而加强了数学学科与物理学科之间的联系 ,提

2、高同学的应用意识 . 三维目标1.通过探究活动 ,使同学把握向量减法概念,懂得两个向量的减法就是转化为加法来进行,把握相反向量 . 2.启示同学能够发觉问题和提出问题 ,善于独立摸索 ,学会分析问题和制造地解决问题 .能娴熟地把握用三角形法就和平行四边形法就作出两向量的差向量 . 重点难点教学重点 :向量的减法运算及其几何意义 . 教学难点 :对向量减法定义的懂得 . 课时支配1 课时教学过程导入新课思路 1.问题导入 上节课 ,我们定义了向量的加法概念 ,并给出了求作和向量的两种方法 .由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算 :减去一个数等于加上这个数的相反数 .向量的减法是否也有类似的法

3、就呢 .引导同学进一步探究 ,由此绽开新课 . 思路 2.直接导入 数的减法运算是加法运算的逆运算 算 减法 .引导同学去探究、发觉 . 推动新课 新知探究 提出问题 向量是否有减法？.本节课 ,我们连续学习向量加法的逆运向量进行减法运算 ,必需先引进一个什么样的新概念？如何懂得向量的减法？向量的加法运算有平行四边形法就和三角形法就 活动 :数的减法运算是数的加法运算的逆运算,那么 ,向量的减法是否也有类似的法就？,数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数 ,因此定义数的减法运算 ,必需先引进一个相反数的概念 .类似地 ,向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算 .可类比数的减法运算

4、 ,我们定义向量的减法运算 ,也应引进一个新的概念 ,这个概念又该如何定义 . 引导同学摸索 ,相反向量有哪些性质 . 由于方向反转两次仍回到原先的方向 于是 -a=a. ,因此 a 和 -a 互为相反向量 . 我们规定 ,零向量的相反向量仍是零向量 . 任一向量与其相反向量的和是零向量 ,即 a+- a=- a+a=0. 所以 ,假如 a、b 是互为相反的向量,那么 a=-b,b=-a,a+b=0. 1平行四边形法就图 1 如图 1,设向量 AB =b, AC =a,就 AD =-b,由向量减法的定义 又 b+ BC =a,所以 BC =a-b. 由此 ,我们得到 a-b 的作图方法 . 图

5、 2 2三角形法就,知 AE =a+- b=a-b. 如图 2,已知 a、b,在平面内任取一点 O,作 OA=a, OB =b,就 BA =a-b,即 a-b 可以表示为从 b的终点指向 a 的终点的向量 ,这是向量减法的几何意义 . 争论结果 :向量也有减法运算 . 定义向量减法运算之前 ,应先引进相反向量 . 与数 x 的相反数是 -x 类似 ,我们规定 ,与 a 长度相等 ,方向相反的量 ,叫做 a 的相反向量 ,记作 -a. 向量减法的定义 .我们定义a-b=a+-b, 即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. ,这也正是向量的运算的几何意义所在,规定 :零向量的相反向量是零向量.

6、 向量的减法运算也有平行四边形法就和三角形法就是数形结合思想的重要表达. 提出问题 上图中 ,假如从 a 的终点到 b 的终点作向量 ,那么所得向量是什么 . 转变上图中向量 a、b 的方向使 a b,怎样作出 a-b 呢. 争论结果 : AB =b-a. 略 . 应用示例 如图 31,已知向量 a、b、c、d,求作向量 a-b,c-d. 图 3 活动 :老师让同学亲自动手操作 ,引导同学留意规范操作 ,为以后解题打下良好基础 ;点拨同学依据向量减法的三角形法就 ,需要选点平移作出两个同起点的向量 . 作法 :如图 32,在平面内任取一点 变式训练O,作 OA =a,OB =b,OC =c,

7、OD =d.就 BA =a-b, DC =c-d. 2022 上海高考 在 ABCD 中 ,以下结论中错误选项 A. AB = DC B.AD+ AB = AC C. AB -AD=BDD.AD+ BC =0 分 析 :A 显 然 正 确 , 由 平 行 四 边 形 法 就 可 知 B 正 确 ,C 中 , AB - AD = BD 错 误 ,D中, AD + BC = AD + DA =0 正确 . 答案 :C 例 2 如图 4, ABCD 中, AB =a, AD =b,你能用 a、b 表示向量 AC 、 DB 吗. 图 4 活动 :本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量,这是用向量证明

8、几何问题的基础. .要多留意这方面的训练,特殊要把握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系解:由向量加法的平行四边形法就,我们知道 AC =a+b, 同样 ,由向量的减法 ,知 DB = AB - AD =a-b. 变式训练1.2022 高考模拟 已知一点 O 到ABCD 的 3 个顶点 A、B、C 的向量分别是a、b、c,就向量 OD 等于 A.a+b+cB.a-b+cC.a+b-cD.a-b-c 图 5 解析 :如图 5,点 O 到平行四边形的三个顶点A、B、C 的向量分别是a、b、c, 结合图形有 OD = OA+ AD = OA+ BC =OA+ OC - OB =a-b+c.

9、 答案 :B 2.如 AC =a+b, DB =a-b. 当 a、 b 满意什么条件时 ,a+b 与 a-b 垂直？当 a、 b 满意什么条件时 ,|a+b|=|a-b|？当 a、 b 满意什么条件时 ,a+b 平分 a 与 b 所夹的角？a+b 与 a-b 可能是相等向量吗？图 6 解析 :如图 6,用向量构建平行四边形,其中向量 AC 、 DB 恰为平行四边形的对角线. 由平行四边形法就,得AC =a+b, DB = AB- AD =a-b. 由此问题就可转换为: ,对角线相互垂直？|a|=|b| 当边 AB 、AD 满意什么条件时当边 AB 、AD 满意什么条件时,对角线相等？ a、b

10、相互垂直 当边 AB 、AD 满意什么条件时,对角线平分内角？a、b 相等 a+b 与 a-b 可能是相等向量吗？不行能 ,由于对角线方向不同点评 :敏捷的构想 ,特殊奇妙 ,数形结合思想得到充分表达 .由此我们可以想到在解决向量问题时,可以利用向量的几何意义构造几何图形 ,转化为平面几何问题 ,这就是数形结合解题的威力与魅力 ,老师引导同学留意领会 . 例 3 判定题 : 1如非零向量a 与 b 的方向相同或相反,就 a+b 的方向必与a、b 之一的方向相同. 2 ABC 中 ,必有 AB + BC + CA =0. 3如 AB + BC + CA =0,就 A 、B、C 三点是一个三角形的

11、三顶点 . 4|a+b| | a-b|. 活动 :依据向量的加、减法及其几何意义 . 解:1a 与 b 方向相同 ,就 a+b 的方向与 a 和 b 方向都相同 ; 如 a 与 b 方向相反 ,就有可能 a 与 b 互为相反向量 , 此时 a+b=0 的方向不确定 ,说与 a、b 之一方向相同不妥 . 2由向量加法法就 AB + BC = AC , AC 与 CA 是互为相反向量 ,所以有上述结论 . 3由于当 A 、B、C 三点共线时也有 AB + BC + AC =0,而此时构不成三角形 . 4当 a 与 b 不共线时 ,|a+b|与 |a-b|分别表示以 a 和 b 为邻边的平行四边形的

12、两条对角线的长 ,其大小不定 . 当 a、b 为非零向量共线时 ,同向就有 |a+b|a-b|,异向就有 |a+b|a-b|; 当 a、b 中有零向量时 ,|a+b|=|a-b|. 综上所述 ,只有 2正确 . 例 4 如| AB |=8,| AC |=5,就 |BC |的取值范畴是 A.3,8B.3,8C.3,13D.3,13 解析 : BC = AC - AB . 1当 AB 、 AC 同向时 ,| BC |=8-5=3; 2当 AB 、 AC 反向时 ,| BC |=8+5=13; 3当 AB 、 AC 不共线时 ,3| BC |13. 综上 ,可知 3|BC | 13.答案 :C 点评

13、 :此题可直接应用重要性质 变式训练 已知 a、 b、c 是三个非零向量 的充要条件为 a+b+c=0. |a|-|b| | a+b| | a|+|b|求解 . ,且两两不共线 ,顺次将它们的终点和始点相连接而成一三角形证明 :已知 a0,b0,c0,且 ab,bc,ca, 1必要性 :作 AB =a, BC =b,就由假设 CA =c, 另一方面 a+b= AB + BC = AC . 由于 CA 与 AC 是一对相反向量 , 有 AC + CA =0, 故有 a+b+c=0. 2充分性 :作 AB =a, BC =b,就 AC =a+b,又由条件 a+b+c=0, AC +c=0.等式两边

14、同加 CA ,得 CA + AC +c= CA +0. c= CA ,故顺次将向量a、b、c 的终点和始点相连接成一三角形. 知能训练 课本本节练习 解答 : 1.直接在课本上据原图作 这里从略 . 2. DB , CA , AC , AD , BA . 点评 :解题中可以将减法变成加法运算,如 AB - AD = DA + AB = DB ,这样运算比较简便. 3.图略 . 课堂小结1.先由同学回忆本节学习的数学学问:相反向量 ,向量减法的定义,向量减法的几何意义,向量差的作图 . 2.老师与同学一起总结本节学习的数学方法 作业课本习题 2.2 A 组 6、7、8. ,类比 ,数形结合 ,几何作图 ,分类争论 . 设计感想1.向量減法的几何意义主要是结合平行四边形法就和三角形法就进行讲解的 ,两种作图方法各有千秋 .第一种作法结合向量