D10.4重积分的应用课件

1、第四节一、曲面的面积 二、物体的质心 三、物体的转动惯量 四、物体的引力 重积分的应用 第十章 1. 能用重积分解决的实际问题的特点:所求量是 对区域具有可加性 用微元分析法 (元素法)建立积分式 分布在有界闭域上的整体量 3. 解题要点:画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、计算要简便 2. 用重积分解决问题的方法: 回顾、立体体积 曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为 占有空间有界域 的立体的体积为一、曲面的面积设光滑曲面则面积 A 可看成曲面上各点处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设它在 D 上的投影为 d ,(称为面积元素)则故有曲面面积公式若光滑曲面方程为则有即直角坐

2、标与球面坐标的关系其中适用范围:1) 积分域表面为球面（或一部分） ;2) 被积函数含一、曲面的面积故有曲面面积公式即例2 求半径为的球的表面积。解上半球面的方程：所求曲面面积在积分区域上是无界的设作一个小闭区域分布在上的那部分球面面积为解设第一卦限部分的面积为 A1 ，则由对称性，所求的面积为二、物体的质心设平面有n个质点,其质量分别由力学知, 该质点系的质心坐标分别位于为为？若物体为占有xOy 面上区域 D 的平面薄片,则它的质心坐标为其面密度 若物体为占有xOy 面上区域 D 的平面薄片,( A 为D 的面积)得D 的形心坐标:则它的质心坐标为其面密度 对 x 轴的 静矩 对 y 轴的

3、静矩若 为空间物体，则质心则得形心坐标：例3. 求位于两圆和的质心. 解: 利用对称性可知而之间均匀薄片 解 取半球体的对称轴为 轴，原点取在 球心上，设球的半径为 .利用球面坐标计算三重积分 其中适用范围:1) 积分域表面为球面（或一部分） ;2) 被积函数含1、曲面的面积重积分的应用 2、物体的质心得D 的形心坐标:( A 为D 的面积)(1)平面薄片的转动惯量三 转动惯量. （2）物体的转动惯量设物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函数该物体位于(x , y , z) 处的微元 因此物体 对 z 轴 的转动惯量:对 x 轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故

4、连续体的转动惯量可用积分计算. yz类似可得:对 y 轴的转动惯量对 z 轴的转动惯量解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴,则球体的质量例6.求密度为 的均匀球体对于过球心的一条轴 l 的设球所占 域为(用球坐标) 转动惯量. ,G 为引力常数四、物体的引力设物体占有空间区域 ,物体对位于点P0(x0, y0, z0)处的单位质量质点的引力为其密度函数引力元素在三坐标轴上分量为其中若求 xOy 面上的平面薄片D,对点P0处的单位质量质点的引力分量, 因此引力分量为 则上式改为D上的二重积分, 密度函数改为 即可. 例如, 其中: 例7.设面密度为 ,半径为R的圆形薄片求它对位于点解: 由对称性知引力处的单位质量质点的引力. 。例10. 求半径为R的均匀球对位于的单位质量质点的引力.解: 利用对称性知引力分量点为球的质量作业P175 1 3习题课 ( t 为时间) 的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程设长度单位为厘米, 时间单位为小时, 设有一高度为已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数 0.9 ),问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要 多少小时? (2001考研)备用