利用“对称美”探究解题思路示例

1、利用“对称美”探究解题思路示例摘要：在探究数学问题解决时，解题主体通过选择使用某个范畴性框架赋予外在数学化信息以意义，获得思 路.对于一类问题，“对称美”审美意向所萌生的心理内驱力，形成了探究解题思路的维持与不断展开的思维动力.数 学教师在教学设计及其课堂实施时，力求启发学生萌生审美意向，形成探究解题思路的过程.主要以“不等号”或“分数线”等这些提示数式结构“对称性”信号的例子说明之.关键词：不等式证明；审美意向；“对称美七教学设计在探究数学问题解题思路的教学活动中，启发 学生萌生指令操作具体行为活动的“念头”（一种起 始性的数学观念）非常重要，除了经验提供的再生性 思维具有直觉性提示的“念头

2、”以外，往往还需要 创造性思维支持的全新“念头”的出现，才能较好地 获得解决问题的思路.那么，这种由创造性思维所萌 生的“念头”出自于哪些心理活动过程呢？在探究不 等式证明思路的教学设计及其课堂实施中，如何启 发学生通过创造性思维萌生指导学生操作行为的合 适“念头”呢？这里从“对称美”审美意向的内涵展开 教学设计及其课堂实施研究.1 “对称美”的内涵及其在数学中的体现提起“对称美”，直觉的理解需要借助于空间图 形形象的帮助，但这种直觉并不能很好地达到本质 认识.关于“对称美”，其源头出于黑格尔在美学中 的论述，“美就是理念的感性显现#2148.黑格尔在论 述抽象形式美时，他将美的要素分类为整齐

3、一律、平 衡对称、符合规律与和谐这四种具体形式.他指出， “平衡对称脱胎于整齐一律，并不只是一种抽象地一 致的形式，而是结合到同样性质的另一种形式，这另 一种形式但就它本身来看，也还是一致的，但是和原 来的形式比较起来却存在不一致的因素，由于这种 结合，就必然有了一种新的、得到更多定性的，更复 杂的一致性和统一性的结果”%9.由此认识到，“对 称美”是主体审美意向赋予了外在信息内容以四种 美的具体形式中的一种形式.整齐一律是指反映到主体意识结构中的对象信 息轮廓中，具有对于某一个环节的重复性与依赖性 的特点.例如，当投一枚石子进入一个水面平静的池 塘时，石子所引发的圈圈涟漪，就具有这种重复性与

4、 依赖性的特点.那些难以出现重复性特点的信息元 素中可能存有平衡对称的特点，平衡对称不再像石 子投入水面平静的池塘时所引发起的涟漪那样具有 不断重复扩展的性态，而是形成了信息元素的某些 独立性的特点.平衡对称表现为在某个局部整体中 的信息要素满足一定条件的成对出现，这个条件的 直观理解在于成对出现的信息要素中的一个信息点 构成了另一个信息点的心理“镜像”形式，“对称美” 就蕴含于这种理念中.将黑格尔平衡对称所形成的“对称美”理念应用 于数学教学中，许多老师已经做了不少工作.但是! 其基础性观念就是借助于信息的这种“镜像”的直观 形式.在数学教学设计及其课堂实施领域，一系列的 研究成果都只是基于

5、这种“镜像”形式的“对称”，到 此便停止了，没有再向前深入一步.例如，黄美莲%为指出“教师首先要引导学生正确 领悟数学中数字的对称美、图形的对称美、公式的对 称美，以及形式和结构的对称美（引导学生学会利用 数学本身的对称来为数学问题提供解题条件，.黄老 师将关于空间图形直观形式的“对称美”拓展到了数 式形式上的“对称美”，增加了数学“对称美”的内容! 相应地增强了“对称美”的功效.唐金波等由主要从理论上提出了关于“对称美$ 审美意向的教学价值，不过，他们也是从数学“对称 美的“镜像形式出发的，强调了其客观性的一面. 其他相关文献也都基本上是从“镜像形式出发，讨 论数学教学中的“对称美的，这里不

6、再一一罗列.因此，这些研究成果都没有揭示出“对称美在 数学中所使用的符号形式的信号提示，遑论利用信 号提示，启发学生从中萌生探究解决数学问题思路 的思维动力.因此，这是本研究的着力点之所在.由于数学知识的特点主要是通过概念及其表达 所使用的符号作为载体，用以刻画空间形式或数量 关系的结构，以反映主体的认识及其结果.因此，在 写成结论的数学表达中，作为反映客观世界中的空 间形式或数量关系的具体符号表达式，所形成的数 式结构的这种平衡对称的独立性是非常容易得到体 现的.在数学解题及其教学中，在探究数学问题所提 供的外在信息时，解题主体通过选择某些必要的信 息元素，组织成信息轮廓，据此轮廓赋予这些信

7、息要 素以具体的知识结构意义，与生俱来或通过后天培 育发展起来的审美意向（将信息元素按照解题主体 所形成的理念塑造信息要素组成轮廓的心理内驱 力）起着非常重要的作用房& .因此，主体在处理信息 时总是从自己已经掌握了的某种理念出发，希冀把 外在信息元素组织成符合审美心理内驱力的轮廓结 构，当主体的这种心理内驱力消解完毕时，审美意向 的作用也就结束了，有价值的解决问题思路也就应 该随之出现了.在使用分解、排列、组合等结构性手段处理数学 问题提供的信息时，由联想或想象补充原始信息的 不足之处，解题主体在智囊中所形成的“念头非常 重要，这些“念头构成了指令解题主体操作信息行 为的数学观念，构成了探究

8、数学问题解决思维动力 的主导性因素.在真实的思维活动过程中，经验、联 想、想象、审美等思想要素都是形成“念头时思维展 开的原始动力句.由此可知，在探究较为困难的数学 问题解题思路时，解题主体的审美意向将直接起着 非常重要的作用.因此,作为形式美的数学结构中的平衡对称性的 特点，是经过“人化了的抽象产物，是运用符号（或图 形）语言表示出来的.在这些符号与图形中，存在具有 作为审美意向信号的表征性符号，例如，“等号“不等 号所连接的等式、不等式两边所形成的对称形式! “分数线所连接的分子分母的对称形式等.这是因为 数主要是用符号语言表示客观事物的空间形式与数 量关系，因此，符号形式表达的平衡对称所

9、定性的地 方，正是客观事物本身所定性的结果，也就是以外在 的不能显出主体的生气灌注作用的客观形式为基础! 通过表达数学概念与知识的符号将其转化为主体生 气灌注的主观形式.当主观形式正确地表达或反映 了客观形式时，两种形式的同一E且使用合适符号 的正确表达就建立起了标准化的数学知识.因此，在具体的数学知识中，平衡对称的形式要 素俯拾皆是，图形结构形式中的平衡要素对称自不 必说,数式结构形式中的平衡对称也是非常多的.例 如，除了上面所述的等号、不等号与分数线构成形式 “对称性的信号外，还有互为相反数；“函数与“自 变量的对称形成的“反函数概念；偶函数定义中的 f）-X）=LA）等，都是“对称美所具

10、有的信号性 体现.这些信号就会提示数学解题主体萌生“对称 美审美意向，形成探究问题思路的心理内驱力.“对 称美审美意向的不断实现过程，就是解题主体心理 内驱力的不断释放与消解过程.2利用“对称美”审美意向探究不等式证明 思路示例由于学生来自于基因遗传或经受后天训练所萌 生与定型了的对称美审美意向的作用，当其面临 外在数学化信息时，就会立即自觉地利用这种整齐 一律、平衡对称、符合规律或和谐等的审美意向作用 于这些信息，指导学生选择某些信息要素组织成符 合这几种美所定型的形式中的某一种形式.如此将 这些信息因素组织成或大或小的轮廓，这就形成了 解题主体的心理内驱力，这种心理内驱力转化为探 究解决数

11、学问题思路的思维动力，随着信息因素组 织得符合解题主体的审美理念的逼真程度一步步深 入，这种心理内驱力得以不断地消解与释放，往往解 决问题所需要的思路就会出现了 这里主要以平 衡对称所体现的“对称美”审美意向为例，说明其在 探究一类不等式证明思路中的应用.1111例1求证：亏+; +TVI).8n 一 1 n师：记1 + 1 + - Vlnn为不等.8n 一 1 n式.那么如何证明这个不等式？生:(省略号表示学生的思维暂时中断，下 同)师：大家仔细观察，不等式具有怎样的特点？ 生1：不等式的左边是一个(n 1)项和的代 数式形式，而右边是只有一项的具体代数式的形式.师：生1准确地把握了不等式表

12、现形式的具 体特点.那么如何利用这种特点，探求证明不等式 的思路呢？生2：如果通过计算不等式左边的(n 1)项 和，从中得到具体的计算结果，那就只要比较这个结 果与Inn的大小就行了.可惜，我不能计算出不等式 左边的一个具体结果.师：一种好想法.生2的这种想法虽然找不到计 算不等式的左边得到具体结果，但是分析这种想 法的来源可能是有价值的.生2的想法是源于不等 式中不等号所连接的两边代数式应该具有同样的 特点，不等式的右边是一项，那么不等式的左边 也应该是一项.这是由不等号连接的两边代数式具 有“对称性”特点所决定的.这种“对称性”对于萌生 探究解题思路的新想法有帮助吗？生3：由不等式中不等号

13、连接的两边代数式 具有这种“对称性”形式特点可知，虽然不等式的 左边不能通过具体计算得到一项代数式，但是可否 将不等式右边的Inn写成一个数列的前(n 1) 项和的形式呢？如果可以的话，那也就满足了不等 号连接的两边具有“对称性”形式特点.注：在启发学生探究证明不等式的思路时，数 学教师不能将这种以不等号为指示信号的“对称性” 直接地奉献给学生，那样，学生就不能萌生“对称美” 审美意向的心理源头及其产生的有效作用，不能感 受自己在探究思路时启动思维与思维逐步推进过程 中的由原始动力及其产生后述每个环节的思维动力 的次第展开的心路历程教学设计及其课堂实施 活动应该从学生最为原始的“念头”就是计算

14、不等式 左边(n-1)项的和所得到的具体结果，如所知, 通过评价与审视求这个(n - 1)项的和的心理原 因，而揭示出对称美的审美意向的心理内驱力，为 生3发生这种心理内驱力的“逆向”转移奠定了基 础.这是数学教师必须要认识到的并充分认识到的.师：生3的这种想法可以实现吗？生4：生3的这种想法是可以实现的.设=k-2n1Inn，则- ln(n 1)，只要把等式的左右k = 2 TOC o 1-5 h z 两边分别减去等式的左右两边，得(n Inn 一 ln(n 一 77b1) In !故(k In-(这里的 k &2),知 Inn n 一 1k 一 1k 八 1,1,1, 1 n,In ，而歹

15、 + +7 + =,M k 12 3n 1 n kin i-，比较两个等式，知只要证明,-V kk = 2 kn k,In，就可达到目的；于是，同时脱去这个等式1k1两边连加号!知希冀证明-V In - !即证明-Vk k 一 1kln(1 +厂J )就达到目的；由不等式的特点，知k 一 1可以将其转化为函数形式的不等式，设A 人 k 一 117(由于k&2,知0 V a + 1),则云一 一，于是， k 1 + AT由不等式，知只要证明不等式V ln(1+A)1 + A就行了，这可以通过设函数，利用函数单调性达到目 的.设.(a)一ln(1 + a),知.A)1 + A11a/I | 苔 一

16、 1 | 一V 0 ,因为 0Va +(1 + a)21 + a(1 + a)21,知.(a)在a - (0,1#内单调递减，所以.(a) V.(0)0,即V ；(1+a),从而知不等式成1 + A立，进而知不等式成立.注：在探究这道题的证明思路时，组织不等式 所提供的外在信息的特点就在于使用“对称美”审美 意向，就是说，不等式所呈现的形式目前不具有 “对称美”的特点，而不等号连接的两边代数式应该 具有“对称性”的特点，这就萌生了将不具有“对称 性”形式特点的代数式转化具有“对称性”形式特点 的代数式的“对称美”审美意向，由此而生成了探究 解题思路的启动思维与维持思维进展的心理内驱 力，这种心

17、理内驱力对于思维的定向、序化都具有非 常重要的作用.与此同时，由于解题主体长期数据、数式计算的 经验的浸润，在认知结构中已经形成了 “化简”的强 烈数学意识，他们在消解关于不等式的“对称美$ 审美意向所形成的心理内驱力时，自然而然地就会 联想到将不等式的左边通过具体计算变成一项的 结果，从而与不等式右边的一项形式形成了“对称 性，可惜这种想法不能经由计算达到目的而生 3却在这种“对称性的启发下，想到了把不等式 的右边转化为某个数列的前)一1)项和的形式! 这是可以达到目的的，为生4获得问题解决思路的 指令行为的“念头$提供了关键性环节的支点.例 2 求证-+ T11T 1们？求证.十3.十十)

18、一 1).十).%师：记 + 成T T. % 为不等2.3.() 1).)式.在获得了例1的解题思路途径的方法后，如何 证明这个不等式成立呢？生5：不等式的左边是一个() 1)项的和的 形式，可是不能经由具体计算途径，将其转化为一项 的结果.又由于不等号连接的两边具有“对称性特 点，据此希望试探将不等式的右边的这个具体常 数1转化为一个数列的前() 1)项和的形式表达 式.如此，设 ,(U=1, ,(U=1,两式相减，得a Ok-2k=20.师：怎么办？生:师：需要检视不等式与不等式所存在的不 同点，然后对症下药，从而探究解决问题的思路.对 此，大家有什么意见？生6：我发现不等式与的左边的值随

19、着n 的变化而变化，不等式右边也应该随着n的变化 而变化，而不等式的右边却是不能产生变化的一 个常数1,因此出现了式这种结论.这个式对于 发现这道题的解题思路没有帮助.我认为，可能正是 不等式的左、右边两边代数式的不同形式的性质 特点导致了这种方法行不通.注：不等式的形式不能消解“对称美审美意 向所萌生的心理内驱力，这是因为不等式的左边 是一个具有以n为自变量的代数式的形式特点，而 其右边却是一个具体的常数1的形式特点，这就会 导致解题主体萌生了将不等式的左边通过计算转 化为一个常数，或者将其右边常数转化为一个以n 为自变量的代数式，这是一种由“对称美审美意向 所萌生的心理内驱力，这种心理内驱

20、力就是探究这 道题解题思路的最主要的思维原动力之一.笔者的 教学设计及其课堂实施的主要依据，就在于一步一 步地启发学生的这种推动思维展开的原动力的实 现.师：生6发现的结论应该很有价值.由于不等式 的左边的变量不可能自行消失，所以它就不可能转 化为一个常数.那么由于不等号连接的两边代数式 的“对称性特点，不等式的右边这个常数1,能够 转化为一个随着n的变化而变化的代数式吗？生7：我想应该找到比常数1小的以n为自变 量的某个代数式X,即X 1,然后再试图证明. + 1 + ,+ 1 + X就可以达到目的3. ( n 1 ) . n . 了.注：对于不等式可以看做是不等式的一个 “加强不等式的形式

21、.如所知，这种“加强不等式概 念及其决定了产生解题思路的方法也是具体的实际 问题所引起的.这是数学教师在教学设计及其课堂 实施中，必须要注意的问题，通过在“真刀实抢的探 究不等式证明思路的过程中，渗透具体的“加强不等 式的数学意识及其形成的具体方法.数学教师可以 指出，在生7所使用的这种探究证明不等式的证 明思路时，采用的就是一种“加强不等式的途径，当 然，学生尽管没有这样的语言表示，实际上是在执行 “加强不等式的数学观念，它对于某些类型的问题 是一种必要的方法.师：好想法！那么这个X应该是什么样的具体代数式呢？ TOC o 1-5 h z 77 1生&：选择使用X = % 1进行试探，即证

22、)1111771明一+ +#+ + + (W)设力.32 +() 1). +)设)1 Q=-，贝U ,(u=，两式相减，得(U=.) M ) 1)1 )2_1 于曰1 于)1() 1) 正 k u 1U U%1U，而！ +%. + #+($ _ 1)2 +2 =，k.。，综合)。，知希冀证明k =O就可以达到目的了，脱掉$k 一 1 )k不等式两边的连加号，知只要证明 + U (k & k =O就可以达到目的了，脱掉$k 一 1 )kU U 1的.注：对于不等式，一般的初中数学教师都会利 用合适的问题，向学生介绍“裂项相消法”探究证明 思路的方法，即使用放大不等式左端的通项1. %)27 =的

23、形式表达式，来探究这()1) 1)个问题的证明思路，但是这种想法可以说不是出自学 生主体所萌生“念头”，而是教师奉献给学生的，或者是 学生通过初中学习的经验记忆产生的，至多只能说成 是一种正确的直觉显现.学生听了教师的这种解法， 他们一定会问:老师是如何想到等式。的呢？关于学生提出的这个问题，笔者曾经使用分式 分数线所连接的分子与分母具有“对称性”特点，由 于1这个代数式的分母出现了变量)，而分子却是)2常量1，如此发现了它的分子与分母不具有“对称 性”这样的特点，这就促使学生产生了关于由“对称 美审美意向所萌生的心理内驱力.为了消解这种内 驱力，解题主体可以这样想，因为分母)2不能转化 为常量，故只能考虑将分子常数1转化为含有)的 变量这一途径了，在这种心理内驱力的作用下，将这 个常数1可以具体地变形为1=)一 () 1)这种形的1 = ) 一 )1)这个环节，正是对于关于分数 )线所连接的关于分子与分母