矩阵的正交三角化及应用课件

1、矩阵的正交三角化及应用 本节介绍初等反射阵及平面旋转阵，矩阵正交约化，它们在矩阵计算中起着重要作用.5.7.1 初等反射阵 定义9 设向量wRn且wTw=1，称矩阵H(w)=I-2wwT为初等反射阵(或称为豪斯霍尔德(Householder)变换).如果记w =(w1,w2,wn)，则 定理25 设有初等反射阵H(w)=I-2wwT, 其中wTw=1, 则 (1) H是对称矩阵, 即HT=H. (2) H是正交矩阵, 即H-1=H. (3) 设A为对称矩阵, 那么A1=H-1AH=HAH亦是对称矩阵. 证明 只证H的正交性, 其它显然.设向量u0, 则显然 是一个初等反射阵. 定理26 设x,

2、 y为两个不相等的n维向量, |x|2=|y|2, 则存在一个初等反射阵H, 使Hx=y. 证明 令 , 则得到一个初等反射阵而且由|x|2=|y|2, 有yTy=xTx, 而数xTy=yTx, 从而所以得 Hx=x-(x-y)=y . 容易说明, w是使Hx=y成立的唯一长度等于1的向量(不计符号).5.7.2 平面旋转阵 设x, yR2, 则变换是平面上向量的一个旋转变换，其中为正交矩阵. Rn中变换：y=Px，称为Rn中平面xi, xj的旋转变换(或称为吉文斯(Givens)变换)，P=P(i,j,)=P(i,j)称为平面旋转矩阵.其中x=(x1,x2,xn)T, y=(y1,y2,yn

3、)T, 使而利用平面旋转变换，可使向量x中的指定元素变为零. 定理28(约化定理) 设x=(x1,xi , xj , xn)T, 其中xi, xj不全为零，则可选择平面旋转阵P(i, j,) ，使其中 证明 取 由 利用矩阵乘法，显然有于是，由c, s的取法得5.7.3 矩阵的QR分解 下面讨论用正交矩阵来约化矩阵，可得到下述结果.设有 设ARmn且为非零矩阵，则存在初等反射矩阵H1, H2, , Hs使 (1) 第1步约化：如果a1=0，取H1=I，即这一步不需要约化，不妨设a10，于是可选取初等反射阵使于是其中这里, Rk为k-1阶上三角阵, 不妨设ck0, 否则这一步不需要约化(如果A列

4、满秩, 则ck0). 于是, 可选取初等反射阵使令第k步约化为 令s=min(m-1, n), 继续上述过程, 最后有 (2) 设ARnn为非奇异矩阵, 则A有分解 定理30(矩阵的QR分解) 其中R为n阶非奇异上三角阵. (1) 设ARmn且A的秩为n(mn), 则存在初等反射阵H1, H2, , Hn使A=QR, 其中Q为正交矩阵, R为上三角阵. 且当R具有正对角元素时, 分解唯一. 证明 (1)由定理29可得. (2) 由设及定理29存在初等反射阵H1, H2, , Hn-1使 记QT=Hn-1H2H1, 则上式为QTA=R, 即 A=QR, 其中Q为正交矩阵, R为上三角阵. 唯一性, 设有A=Q1R1 =Q2R2, 其中Q1, Q2为正交矩阵, R1, R2为非奇异上三角阵, 且R1, R2具有正对角元素,则 由假设, 及对称正定矩阵ATA的Cholesky分解的唯一性, 则R1=R2. 从而可得Q1=Q2. 下面考虑平面旋转变换来约化矩阵. 定理31(用吉文斯变换计算矩阵的QR分解) 设ARnn为非奇异矩阵, 则 (1) 存在正交矩阵P