数值积分精品课件

1、关于数值积分第一张，PPT共五十八页，创作于2022年6月21 引言 1 . 数值求积的基本思想 依据微积分基本定理，对于积分只要找到被积函数 的原函数 ，便有下列牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式： 但对于下列情形：第二张，PPT共五十八页，创作于2022年6月3 （1）被积函数，诸如 等等，找不到用初等函数表示的原函数； （2）当 是由测量或数值计算给出的一张数据表.这时，牛顿-莱布尼茨公式也不能直接运用. 因此有必要研究积分的数值计算问题. 由积分中值定理知，在积分区间 内存在一点，成立 第三张，PPT共五十八页，创作于2022年6月4就是说，底为 而高为 的矩形面积恰等

2、于所求 曲边梯形的面积 (图4-1).图4-1第四张，PPT共五十八页，创作于2022年6月5 问题在于点的具体位置一般是不知道的，因而难以 准确算出 的值. 将 称为区间 上的平均高度. 这样，只要对平均高度 提供一种算法，相应地便获得一种数值求积方法. 用两端点“高度“ 与 的算术平均作为平均高度的近似值，这样导出的求积公式是梯形公式(几何意义参看图4-2). 第五张，PPT共五十八页，创作于2022年6月6图4-2 用区间中点 的“高度” 近似地取代平均高度 ，则又可导出所谓中矩形公式(简称矩形公式) 第六张，PPT共五十八页，创作于2022年6月7 一般地，可以在区间 上适当选取某些节

3、点 ，然后用 加权平均得到平均高度 的近似值，这样式中 称为求积节点； 称为求积系数,亦称伴随节点 的权. 权 仅仅与节点 的选取有关，构造出的求积公式具有下列形式：的具体形式. 而不依赖于被积函数kA第七张，PPT共五十八页，创作于2022年6月8 这类数值积分方法通常称为机械求积，其特点是将积分求值问题归结为函数值的计算，这就避开了牛顿-莱布尼茨公式需要寻求原函数的困难. 第八张，PPT共五十八页，创作于2022年6月9 2. 代数精度的概念 定义1如果某个求积公式对于次数不超过 的多项式均能准确地成立，但对于 次多项式就不准确成立，则称该求积公式具有 次代数精度. 梯形公式和矩形公式均具

4、有一次代数精度. 数值求积是近似方法，为保证精度，自然希望求积公式对尽可能多的函数准确成立.第九张，PPT共五十八页，创作于2022年6月10 欲使求积公式 具有 次代数精度，则只要令它对 都准确成立，就得到第十张，PPT共五十八页，创作于2022年6月11 如果事先选定求积节点 ，譬如，以区间 的等距分点作为节点，这时取 ，求解方程组即可确定求积系数 ，而使求积公式 至少具有 次代数精度. 构造求积公式，原则上是一个确定参数 和 的代数问题. 第十一张，PPT共五十八页，创作于2022年6月12例 求a,b,c的值使下列求积公式的代数精度达到最高。第十二张，PPT共五十八页，创作于2022年

5、6月13 3. 插值型的求积公式 设给定一组节点 且已知函数 在这些节点上的值，作插值函数 .取 作为积分 的近似值，这样构造出的求积公式第十三张，PPT共五十八页，创作于2022年6月14称为是插值型的，式中求积系数 通过插值基函数 积分得出 由插值余项定理(第2章的定理2)即知，对于插值型的求积公式，其余项 式中与变量 有关， 第十四张，PPT共五十八页，创作于2022年6月15 当 是次数不超过 的多项式时，插值多项式就是函数本身，余项 为零， 反之，如果求积公式 至少具有 次代数精度，则它必定是插值型的. 事实上，这时公式 对于插值基函数 应准确成立，即有至少具有 次代数精度.所以这时

6、插值型求积公式第十五张，PPT共五十八页，创作于2022年6月16 定理1注意到上式右端实际上等于因而成立. 这样，有下面定理. 求积公式至少有 次代数精度的充分必要条件是，它是插值型的. 第十六张，PPT共五十八页，创作于2022年6月17 4 . 求积公式的收敛性与稳定性 定义2其中 在求积公式中，由于计算 可能产生误差 ，实际得的将是 ，即在求积公式中，若则称求积公式(1.3)是收敛的. 记第十七张，PPT共五十八页，创作于2022年6月18如果对任给小正数只要误差 充分小就有 则表明求积公式计算是稳定的，由此给出下面定义. 定义3就有成立，则称求积公式是稳定的. 对任给若只要第十八张，

7、PPT共五十八页，创作于2022年6月19 定理2 证明取若求积公式中系数 则此求积公式是稳定的. 对任给都有若对则当 时有第十九张，PPT共五十八页，创作于2022年6月20由定义3知，求积公式是稳定的. 第二十张，PPT共五十八页，创作于2022年6月212 牛顿-柯特斯公式 1. 柯特斯系数 设将积分区间 划分为 等分，选取等距节点 构造出的插值型求积公式称为牛顿-柯特斯公式，式中 称为柯特斯系数. 引进变换步长则利用等距节点的插值公式，有第二十一张，PPT共五十八页，创作于2022年6月22 当 时，这时的求积公式就是梯形公式第二十二张，PPT共五十八页，创作于2022年6月23 当

8、时，相应的求积公式是辛普森(Simpson)公式 柯特斯系数为 第二十三张，PPT共五十八页，创作于2022年6月24 的牛顿-柯特斯公式称为柯特斯公式，这里 可构造柯特斯系数表.其形式是 第二十四张，PPT共五十八页，创作于2022年6月25第二十五张，PPT共五十八页，创作于2022年6月26 从柯特斯系数表看到 时，柯特斯系数 出现负值，特别地，假定于是有且则有 第二十六张，PPT共五十八页，创作于2022年6月27它表明初始数据误差将会引起计算结果误差增大，即计算不稳定，故 的牛顿-柯特斯公式是不用的. 第二十七张，PPT共五十八页，创作于2022年6月28 2. 偶阶求积公式的代数精

9、度 由定理1， 阶的牛顿-柯特斯公式至少具有 次的代数精度. 先看辛普森公式，它是二阶牛顿-柯特斯公式，因此至少具有二次代数精度. 用 进行检验，本节讨论代数精度的进一步提高问题. 按辛普森公式计算得 第二十八张，PPT共五十八页，创作于2022年6月29另一方面，直接求积得 这时有 ，而它对 通常是不准确的，辛普森公式实际上具有三次代数精度. 均准确成立,即辛普森公式对次数不超过三次的多项式因此， 定理3当阶 为偶数时，牛顿-柯特斯公式至少有 次代数精度. 第二十九张，PPT共五十八页，创作于2022年6月30 证明我们只要验证，当 为偶数时，牛顿-柯特斯公式对 的余项为零. 由于这里引进变

10、换 并注意到 有 按余项公式有 第三十张，PPT共五十八页，创作于2022年6月31因为被积函数若 为偶数，则 为整数，为奇函数，所以再令进一步有第三十一张，PPT共五十八页，创作于2022年6月32 3 . 几种低阶求积公式的余项 按余项公式，梯形公式的余项 这里积分的核函数 在区间 上保号(非正)，应用积分中值定理，在 内存在一点 使 ，第三十二张，PPT共五十八页，创作于2022年6月33 第三十三张，PPT共五十八页，创作于2022年6月343 复化求积公式 复化求积的基本思想是把积分区间分成若干子区间(通常是等分)，再在每个子区间上用低阶求积公式，目的是提高精度. 1. 复化梯形公式

11、 分点在每个子区间xk,xk+1 (k=0,n) 上采用梯形公式，则得 将区间 划分为 等分，第三十四张，PPT共五十八页，创作于2022年6月35记 称为复化梯形公式. 第三十五张，PPT共五十八页，创作于2022年6月36 其余项由于 , 且 所以 使 于是复化梯形公式余项为 第三十六张，PPT共五十八页，创作于2022年6月37误差是 阶，且当 时有 即复化梯形公式是收敛的. 第三十七张，PPT共五十八页，创作于2022年6月38 此外， 的求积系数为正，由定理2知复化梯形公式是稳定的.只要 则当 时，上式均收敛到积分 所以复化梯形公式收敛. 将Tn 改写为 第三十八张，PPT共五十八页

12、，创作于2022年6月39 对复化梯形公式，还有如果f(x)在a,b上有2r+2阶连续导数，余项第三十九张，PPT共五十八页，创作于2022年6月40定义 设第四十张，PPT共五十八页，创作于2022年6月41 2. 复化辛普森求积公式 记 将区间 分为 n 等分，n=2m, xk=a+kh,k=0,2m在每个子区间 x2k-2,x2k 上用Simpson公式第四十一张，PPT共五十八页，创作于2022年6月42称为复化辛普森求积公式. 于是当 时，与复化梯形公式相似有 误差阶为 4 ，显然是收敛的. 第四十二张，PPT共五十八页，创作于2022年6月43 实际上，只要则可得到收敛性，即 此外

13、，由于 Sn 中求积系数均为正数，故知复化辛普森公式计算稳定第四十三张，PPT共五十八页，创作于2022年6月44 例2对于函数 ，给出 的函数表并估计误差. 解(见表4-2)，计算积分 应用复化梯形法求得T8=0.9456909 试用复化梯形公式(及复化辛普森公式将积分区间0,1划分为8等分，第四十四张，PPT共五十八页，创作于2022年6月45而如果将0,1 分为4等分，应用复化辛普森法有 S4=0.9460832 同积分的准确值 I=0.9460831比较， 接下来看误差估计 ，由于所以有 只有两位有效数字,复化辛普森法有6位有效数字.复化梯形法的结果 以上得到的两个结果 T8 与S4

14、，都需要提供9个点上的函值，计算量基本相同，然而精度却差别很大.第四十五张，PPT共五十八页，创作于2022年6月46于是 得复化梯形公式误差 第四十六张，PPT共五十八页，创作于2022年6月47对复化辛普森公式， 第四十七张，PPT共五十八页，创作于2022年6月48第四十八张，PPT共五十八页，创作于2022年6月494 Richardson外推法 也就是说用 近似J的误差价为 ，现在考虑利用 构造一个新的计算公式，使误差的价比 高. .)()()()(.)()(.1);()()(22112121202010100002010002010000001+=+=+=pppppnpppnpph

15、qBAhqBAJBAqhBqhBhqBJBhAhAhAJAqqhUBhUAhUnnaaaaaaaaaa令第四十九张，PPT共五十八页，创作于2022年6月50第五十张，PPT共五十八页，创作于2022年6月51第五十一张，PPT共五十八页，创作于2022年6月52 5 龙贝格求积公式 梯形法计算简单但收敛慢，本节讨论如何提高收敛速度以节省计算量. 根据复化梯形公式的余项表达式 第五十二张，PPT共五十八页，创作于2022年6月53第五十三张，PPT共五十八页，创作于2022年6月54第五十四张，PPT共五十八页，创作于2022年6月55 若 (预先给定的精度)，则终止计算，并取第五十五张，PPT共五十