数学物理方程调和市公开课获奖课件

1、第四章 调和方程1 方程建立和定解条件 2 格林公式、调和函数及其基本性质 3 格林函数 4 用电象法求解特殊区域狄氏问题 第1页第1页二、 拉普拉斯方程边值问题提法1 第一边值问题（狄氏问题）2 第二边值问题（牛曼问题）3、狄氏外问题4、牛曼外问题1 方程建立和定解条件调和函数：含有二阶偏导数并且满足拉普拉斯方程连续函数。一、方程建立第2页第2页三、泊松方程边值问题泊松方程边界条件定义在第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件泊松方程与第一类边界条件，构成第一边值问题(狄里希利问题)泊松方程与第二类边界条件，构成第二边值问题(诺依曼问题)泊松方程与第三类边界条件，构成第三边值问题第3页第3

2、页 1奥高公式 设 及 和 是在 上连续，在 内有连续偏导数任意函数, 则有下列奥-高公式其中 是 在 点 处外法向量 2 格林公式、调和函数及其基本性质一、格林公式第4页第4页 2格林第一公式 在上述奥-高公式中令 ， ，注意到显然恒等式：我们就有下列格林第一公式或第5页第5页 3格林第二公式 在上述格林第一公式中，互换 位置，得格林公式通常指格林第二公式，在格林函数法求解定解问题时常要用到。然后两式消减，我们就得到格林第二公式：原有第6页第6页由物理学家狄拉克首先引进用以讨论物理学中一切点量质点点电荷瞬时力脉冲等定义 d 函数是指含有下列性质函数：4、d 函数第7页第7页如对一维问题:设在

3、无穷直线上 区间内有均匀电荷分布，总电量为一个单位，在区间外无电荷如图，则电荷密度函数为物理意义：集中量密度函数若 f(x) 在 内连续，由中值定理有对于 有第8页第8页对于 在 连续，有或者表示是任意阶可微函数极限，通常意义下没故意义，只在积分运算中才故意义。当 时，得到点电荷密度函数此积分应理解为第9页第9页 相关d 函数等式应当在积分意义下理解。第10页第10页令两边微商，得由于由傅里叶逆变换，得拉普拉斯变换对二、三维同样有 函数 二维： 处有一个单位点电荷，密度分布函数为 三维： 处有一个单位点电荷，密度分布函数为 第11页第11页求证： ，其中 证实:要证实 ，就是要证实积分意义下例

4、第12页第12页 当 时，有三式相加，可得第13页第13页 当 时， 不可导，将 V 取为整个三维空间第14页第14页令 ，上式积分与 a 无关从而有因此即第15页第15页二、 泊松方程基本积分公式建立点源泊松方程奇异，不能化为面积分。在 V 中 点挖掉半径 小球 。小球边界 。第16页第16页在 ， 。和连续。第17页第17页这样，边界条件得以进入积分之中！上式为泊松方程基本积分公式。令f=0,即得调和方程基本积分公式：调和函数在区域内任一点值能够通过积分表示式用这个函数在区域边界上值和边界上法向导数来表示。第18页第18页1、调和方程基本解三、调和函数基本性质2、调和方程基本积分表示式第1

5、9页第19页3、 牛曼内问题有解必要条件4、 平均值公式（定理）5、 极值原理取 狄氏问题解唯一拟定，牛曼问题解除了相差一常数外也是唯一拟定。6、 拉普拉斯方程解唯一性问题调和函数最大、最小值只能在边界上达到第20页第20页 3 格林函数若u，v均为调和函数若v不但为调和函数，且满足由格林公式两式相加令则第21页第21页对泊松问题对拉普拉斯问题因此求解狄氏问题就转化为求此区域格林函数，即第22页第22页4 用电像法拟定格林函数用格林函数法求解主要困难还在于如何拟定格林函数本身 一个详细定解问题，需要寻找一个适当格林函数，对一些详细问题能够给出构建格林函数办法 这办法是基于静电学镜像原理来构建格

6、林函数，因此我们称这种构建办法为电像法（也称为镜像法） 在区域外找出区域内一点关于边界象点，在这两个点放置适当电荷，这两个电荷产生电位在曲面边界上互相抵消。这两个电荷在区域中形成电位就是所要求格林函数。电象法求格林函数第23页第23页物理模型：若在 处放置一正单位点电荷 则虚设负单位点电荷应当在 于是得到这两点电荷在 xoy 上半平面电位分布也就是本问题格林函数，即为 1、 上半平面区域拉普拉斯方程第一边值问题求解第24页第24页据此可求解上半平面区域定解问题例1 定解问题： 【解】 依据第一边值问题，构建格林函数满足 处放置于一个正和一个负点电荷（或点源） 构建格林函数为 第25页第25页边界外法线方向为负轴，故有 代入到拉普拉斯第一边值问题解公式，则由得 或由互易性得到上式称为上半平面拉普拉斯积分公式第26页第26页例2 在上半空间内求解拉普拉斯方程第一边值问题 【解】构建格林函数满足2 、上半空间内求解拉普拉斯方程第一边值问题依据物理模型和无界区域格林函数能够构建为第27页第27页为了把代入拉普拉斯第一边值问题解公式需要先计算即为 即有 第28页第28页代入 即得到 这公式叫作半