数字电子电路教案第二章市公开课获奖课件

1、概述第 1 章逻辑代数基础 逻辑函数及其表示办法逻辑代数基本定律和规则逻辑函数代数化简法逻辑函数卡诺图化简法本章小结第1页第1页主要要求： 理解逻辑值 1 和 0 含义。1.1 概 述理解逻辑体制含义。第2页第2页 用于描述客观事物逻辑关系数学工具，又称布尔代数 (Boole Algebra)或开关代数。逻辑指事物因果关系规律。 逻辑代数描述客观事物间逻辑关系，相应函数称逻辑函数，变量称逻辑变量。逻辑变量和逻辑函数取值都只有两个，通惯用 1和 0 表示。 与普通代数比较用字母表示变量，用代数式描述客观事物间关系。 相同处 相异处运算规律有很多不同。 一、逻辑代数第3页第3页逻辑代数中 1 和

2、0 不表示数量大小，仅表示两种相反状态。 注意比如：开关闭合为 1 晶体管导通为 1 电位高为 1 断开为 0 截止为 0 低为 0二、逻辑体制 正逻辑体制 负逻辑体制 要求高电平为逻辑 1、低电平为逻辑 0 要求低电平为逻辑 1、高电平为逻辑 0 通常未加阐明，则为正逻辑体制第4页第4页主要要求： 掌握逻辑代数惯用运算。理解并初步掌握逻辑函数建立和表示办法。 1.2 逻辑函数及其表示办法 掌握真值表、逻辑式和逻辑图特点及其相互转换办法。 第5页第5页一、基本逻辑函数及运算 基本逻辑函数 与逻辑 或逻辑 非逻辑与运算(逻辑乘) 或运算(逻辑加) 非运算(逻辑非) 1. 与逻辑 决定某一事件所有

3、条件都具备时，该事件才发生灭断断亮合合灭断合灭合断灯 Y开关 B开关 A开关 A、B 都闭合时，灯 Y 才亮。 要求:开关闭合为逻辑 1断开为逻辑 0 灯亮为逻辑 1灯灭为逻辑 0 真值表11 1YA B00 000 101 0逻辑表示式 Y = A B 或 Y = AB 与门 (AND gate)若有 0 出 0；若全 1 出 1 第6页第6页 开关 A 或 B 闭合或两者都闭合时，灯 Y 才亮。2. 或逻辑 决定某一事件诸条件中，只要有一个或一个以上具备时，该事件就发生。灭断断亮合合亮断合亮合断灯 Y开关 B开关 A若有 1 出 1若全 0 出 0 00 011 1YA B10 111 0

4、逻辑表示式 Y = A + B 或门 (OR gate) 1 3. 非逻辑决定某一事件条件满足时，事件不发生；反之事件发生。 开关闭合时灯灭， 开关断开时灯亮。 AY0110Y = A 1 非门(NOT gate) 又称“反相器” 第7页第7页二、惯用复合逻辑运算 由基本逻辑运算组合而成 与非逻辑(NAND)先与后非若有 0 出 1若全 1 出 010 001 1YA B10 111 001 1或非逻辑 ( NOR )先或后非若有 1 出 0若全 0 出 110 0YA B00 101 0与或非逻辑 (AND OR INVERT)先与后或再非第8页第8页异或逻辑 (Exclusive OR)若

5、相异出 1若相同出 0同或逻辑 (Exclusive - NOR，即异或非)若相同出 1若相异出 000 001 1YA B10 111 010 011 1YA B00 101 0注意：异或和同或互为反函数，即第9页第9页例 试相应输入信号波形分别画出下图各电路输出波形。解：Y1有0出0 全1出1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1Y2Y3 相同出 0 相异出 1第10页第10页三、逻辑符号对照 国家原则曾用原则美国家原则准第11页第11页四、逻辑函数及其表示办法 逻辑函数描述了某种逻辑关系。常采用真值表、逻辑函数式、卡诺图和逻辑图等表示。1. 真值表 列出输入变量

6、各种取值组合及其相应输出逻辑函数值表格称真值表。列真值表方法 (1)按 n 位二进制数递增方式列 出输入变量各种取值组合。(2) 分别求出各种组合相应输出 逻辑值填入表格。第12页第12页00000111011101111111011110110011110101011001000111100110101000101100010010000000YDCBA输出变量 输 入 变 量 4 个输入变量有 24 = 16 种取值组合。第13页第13页2. 逻辑函数式 表示输出函数和输入变量逻辑关系 表示式。又称逻辑表示式，简称逻辑式。 逻辑函数式普通依据真值表、卡诺图或逻辑图写出。 (1)找出函数值为

7、 1 项。(2)将这些项中输入变量取值为 1 用原变量代替， 取值为 0 用反变量代替，则得到一系列与项。(3)将这些与项相加即得逻辑式。真值表逻辑式比如 ABC1000111100110101000100100100YCBA011010001111 逻辑式为 第14页第14页3. 逻辑图 运算顺序为先非后与再或，因此用三级电路实现之。由逻辑符号及相应连线构成电路图。 依据逻辑式画逻辑图办法:将各级逻辑运算用 相应逻辑门去实现。 比如 画 逻辑图 反变量用非门实现 与项用与门实现 相加项用或门实现 第15页第15页例 图示为控制楼道照明开关电路。两个单刀双掷开关 A 和 B 分别安装在楼上和楼

8、下。上楼之前，在楼下开灯，上楼后关灯；反之，下楼之前，在楼上开灯，下楼后关灯。试画出控制功效与之相同逻辑电路。 (1) 分析逻辑问题，建立逻辑函数真值表11YA B000 01 10 11 0(2) 依据真值表写出逻辑式解：办法：找出输入变量和输出函数，对它们取值作出逻辑要求，然后依据逻辑关系列出真值表。 设开关 A、B合向左侧时为 0 状态，合向右侧时为 1 状态；Y 表示灯，灯亮时为 1 状态，灯灭时为 0 状态。则可列出真值表为第16页第16页(3) 画逻辑图 与或表示式(可用 2 个非门、 2 个与门和 1 个或门实现)异或非表示式(可用 1 个异或门和 1 个非门实现) =B设计逻辑

9、电路基本原则是使电路最简。第17页第17页3.3逻辑代数基本定律和规则 主要要求： 掌握逻辑代数基本公式和基本定律。 理解逻辑代数主要规则。第18页第18页一、基本公式 逻辑常量运算公式 逻辑变量与常量运算公式 0 0 = 00 1 = 01 0 = 01 1 = 10 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 10 1 律重迭律 互补律 还原律 0 + A = A1 + A = 1 1 A = A0 A = 0A + A = A A A = A 第19页第19页二、基本定律 (一) 与普通代数相同定律 互换律 A + B = B + A A B = B A结合律 (A

10、 + B) + C = A + (B + C) (A B) C = A (B C)分派律 A (B + C) = AB + AC A + BC = (A + B) (A + C) 普通代数没有！ 利用真值表 逻辑等式证实办法 利用基本公式和基本定律第20页第20页111111111100 例 证实等式 A + BC = (A + B) (A + C)解：真值表法公式法右式 = (A + B) (A + C) 用分派律展开 = AA+ AC+ BA+ BC= A + AC + AB + BC= A (1 + C + B) + BC= A 1 +BC= A + BC0000A B CA + BC(

11、A + B) (A + C)0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1第21页第21页 (二) 逻辑代数特殊定理 吸取律 A + AB = A A + AB = A (1 + B) = A 第22页第22页001 1111 0110 1110 0A+BA BA B001 1001 0000 1110 0A BA+BA B (二) 逻辑代数特殊定理 吸取律 A + AB = A 推广公式： 思考：(1) 若已知 A + B = A + C，则 B = C 吗？ (2) 若已知 AB = AC，则 B = C 吗？ 推广公式：摩根定律 (又称反演律) 第23页

12、第23页三、主要规则 (一) 代入规则 A A A A均用 代替A均用 代替B均用C代替利用代入规则能扩展基本定律应用。 将逻辑等式两边某一变量均用同一个逻辑函数替换，等式仍然成立。第24页第24页变换时注意：(1) 不能改变本来运算顺序。(2) 反变量换成原变量只对单个变量有效，而长非 号保持不变。 可见，求逻辑函数反函数有两种办法：利用反演规则或摩根定律。 原运算顺序为 (二) 反演规则 对任一个逻辑函数式 Y，将“”换成“+”，“+”换成“”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到原逻辑函数反函数。第25页第25页 (三) 对偶规则 对任一个逻辑函

13、数式 Y，将“”换成“+”，“+”换成“”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，则得到原逻辑函数式对偶式 Y 。 对偶规则：两个函数式相等，则它们对偶式也相等。 应用对偶规则可将基本公式和定律扩展。 变换时注意：(1) 变量不改变 (2) 不能改变本来运算顺序A + AB = A A (A + B) = A 第26页第26页主要要求： 理解逻辑函数式常见形式及其互相转换。 理解逻辑函数代数化简法。1.4 逻辑函数代数化简法 理解最简与 - 或式和最简与非式原则。 第27页第27页 逻辑式有各种形式，采用何种形式视需要而定。各种形式间能够互相变换。 一、逻辑函数式几种常见形式和变换 比如 与或表

14、示式 或与表示式 与非 - 与非表示式 或非 - 或非表示式 与或非表示式 转换办法举例 与或式 与非式 用还原律 用摩根定律 或与式 或非式 与或非式 用还原律 用摩根定律 用摩根定律 第28页第28页二、逻辑函数式化简意义与原则 化简意义使逻辑式最简，以便设计出最简逻辑电路，从而节约元器件、优化生产工艺、减少成本和提高系统可靠性。 不同形式逻辑式有不同最简式，普通先求取最简与 - 或式，然后经过变换得到所需最简式。 第29页第29页最简与 - 或式原则 (1)乘积项(即与项)个数至少(2)每个乘积项中变量数至少 用与门个数至少与门输入端数至少 最简与非式原则(1)非号个数至少(2)每个非号

15、中变量数至少 用与非门个数至少与非门输入端数至少 第30页第30页三、代数化简法 利用逻辑代数基本定律和公式对逻辑式进行化简。 并项法 利用 ，将两项合并为一项，并消去一个变量。 第31页第31页吸取法 利用A+AB =A 和 ，消去多出与项。 第32页第32页消去法 利用吸取律 ，消去多出因子。第33页第33页配项法 通过乘 或加入零项 进行配项，然后再化简。第34页第34页综合灵活利用上述办法 例 化简逻辑式解： 应用例 化简逻辑式解： 应用应用 AB第35页第35页例 化简逻辑式解： 应用用摩根定律第36页第36页主要要求： 掌握最小项概念与编号办法，理解其主要性质。掌握用卡诺图表示和化

16、简逻辑函数办法。 理解卡诺图意义和构成原则。 掌握无关项含义及其在卡诺图化简法中应用。 1.5逻辑函数卡诺图化简法第37页第37页代数化简法 长处：对变量个数没有限制。缺点：需技巧，不易判断是否最简式。 卡诺图化简法 长处：简朴、直观，有一定环节和办法 易判断结果是否最简。 缺点：适合变量个数较少情况。 普通用于四变量下列函数化简。 一、代数化简法与卡诺图化简法特点第38页第38页卡诺图是最小项按一定规则排列成方格图。 n 个变量有 2n 种组合，可相应写出 2n 个乘积项，这些乘积项均含有下列特点：包括所有变量，且每个变量在该乘积项中 (以原变量或反变量)只出现一次。这样乘积项称为这 n 个

17、变量最小项，也称为 n 变量逻辑函数最小项。1. 最小项定义和编号 (一)最小项概念与性质二、最小项与卡诺图第39页第39页如何编号？如何依据输入变量组合写出相应最小项？比如 3 变量逻辑函数最小项有 23 = 8 个 将输入变量取值为 1 代以原变量，取值为 0 代以反变量，则得相应最小项。 简记符号比如 1015m5m44100ABC1 1 11 1 01 0 11 0 00 1 10 1 00 0 10 0 0最小项A B Cm7m6m5m4m3m2m1m0输入组合相应十进制数76543210第40页第40页2. 最小项基本性质 (1) 对任意一最小项，只有一组变量取值使它值为 1， 而

18、其余各种变量取值均使其值为 0。三变量最小项表1100000001 1 11010000001 1 01001000001 0 11000100001 0 01000010000 1 11000001000 1 01000000100 0 11000000010 0 0ABCm7m6m5m4m3m2m1m0A B C(2) 不同最小项，使其值为 1 那组变量取值也不同。(3) 对于变量任一组取值，任意两个最小项乘积为 0。(4) 对于变量任一组取值，全体最小项和为 1。 第41页第41页 比如ABC+ABC=AB3. 相邻最小项 两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余变量均相同，称为相邻最小

19、项，简称相邻项。 比如 三变量最小项 ABC 和 ABC 相邻最小项主要特点： 两个相邻最小项相加可合并为一项， 消去互反变量，化简为相同变量相与。 (二) 最小项卡诺图表示 将 n 变量 2n 个最小项用 2n 个小方格表示，并且使相邻最小项在几何位置上也相邻且循环相邻，这样排列得到方格图称为 n 变量最小项卡诺图，简称为变量卡诺图。第42页第42页变量取 0 代以反变量 取 1 代以原变量AB二变量卡诺图010 10 00 11 01 10 00 1AB010 1m0m1m2m3 0 1 2 3ABAAB BABABABAB四变量卡诺图 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 1

20、4 8 9 11 10三变量卡诺图ABC0100 0111 10 m6 m7 m4 m2 m3000 m0 m5001 m1 6 7 5 4 2 3 1 0ABCD0001111000 01 11 10 以循环码排列以确保相邻性第43页第43页变量取 0 代以反变量 取 1 代以原变量ABCD0001111000 01 11 10 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10ABCD相邻项在几何位置上也相邻卡诺图特点：循环相邻性同一列最上与最下方格相邻同一行最左与最右方格相邻第44页第44页如何写出卡诺图方格相应最小项？ 已知最小项如何找相应小方格？ 比如 原变量

21、取 1，反变量取 0。1001 ？ABCD0001111000 01 11 10 第45页第45页 为了用卡诺图表示逻辑函数，通常需要先求得真值表或者原则与 - 或式或者与 - 或表示式。因此，下面先简介原则与 - 或式。任何形式逻辑式都能够转化为原则与-或式，并且逻辑函数原则与 - 或式是唯一。 (一) 逻辑函数原则与 - 或式 三、用卡诺图表示逻辑函数每一个与项都是最小项与 - 或逻辑式称为原则与 - 或式，又称最小项表示式。 第46页第46页如何将逻辑式转化为 原则与-或式呢 ？ 例 将逻辑式 化为原则与或式。(3) 利用A+A=A，合并掉相同最小项。0000m00001m11100m1

22、21101m131111m15= m0 + m1 + m12 + m13 + m15=m (0,1,12,13,15)解：(1) 利用摩根定律和分派律把逻辑函数式展开为与或式。AB+(2) 利用配项法化为原则与或式。第47页第47页(二) 用卡诺图表示逻辑函数 (1) 求逻辑函数真值表或者原则与 - 或式或者与 - 或式。 (2) 画出变量卡诺图。 (3) 依据真值表或原则与 - 或式或与 - 或式填图。 基本步骤用卡诺图表示逻辑函数举例 已知原则与或式画函数卡诺图 例 试画出函数 Y = m (0,1,12,13,15) 卡诺图解： (1) 画出四变量卡诺图(2) 填图 逻辑式中最小项 m0

23、、m1、m12、m13、m15对应方格填 1，其余不填。ABCD0001111000 01 11 10 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10 1 1 1 1 1 第48页第48页已知真值表画函数卡诺图例 已知逻辑函数 Y 真值表下列，试画 出 Y 卡诺图。解：(1) 画 3 变量卡诺图。A B CY0 0 010 0 100 1 010 1 101 0 011 0 101 1 011 1 10ABC0100 0111 10 6 7 5 4 2 3 1 0m0m2m4m6 1 1 1 1(2)找出真值表中 Y = 1 相应最小项，在 卡诺图相应方格中 填 1

24、，其余不填。第49页第49页已知一般表达式画函数卡诺图解：(1) 将逻辑式转化为与或式(2) 作变量卡诺图找出各与项所相应最小项方格填 1，其余不填。 例 已知 ，试画出 Y 卡诺图。AB+ABCD0001111000 01 11 10(3) 依据与或式填图 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 AB 相应最小项为同时满足 A = 1， B = 1 方格。BCD 相应最小项为同时满足 B = 1，C = 0，D = 1方格AD 相应最小项为同时满足 A = 0，D = 1方格。第50页第50页四、用卡诺图化简逻辑函数 化简规律2 个相邻最小项有 1 个变量相异，相加能够消去这 1 个变量，化

25、简结果为相同变量与；4 个相邻最小项有 2 个变量相异，相加能够消去这 2 个变量，化简结果为相同变量与；8 个相邻最小项有 3 个变量相异，相加能够消去这 3 个变量，化简结果为相同变量与；2n 个相邻最小项有 n 个变量相异，相加能够消去这 n 个变量，化简结果为相同变量与。消异存同 第51页第51页ABCD0001111000 01 11 10 1 1比如 2 个相邻项合并消去 1 个变量，化简结果为相同变量相与。ABCD+ABCD=ABDABCD0001111000 01 11 10 1 1比如 2 个相邻项合并消去 1 个变量，化简结果为相同变量相与。ABCD+ABCD=ABDABC

26、D0001111000 01 11 10比如 1 1 1 1 ABCD+ABCD+ABCD+ABCD=ACD+ACD=AD 4 个相邻项合并消去 2 个变量，化简结果为相同变量相与。8 个相邻项合并消去 3 个变量A 1 1 1 1 1 1 1 1第52页第52页画包围圈规则 包围圈必须包括 2n 个相邻 1 方格，且必须成方形。先圈小再圈大，圈越大越是好；1 方格可重复圈，但须每圈有新 1；每个“1”格须圈到，孤立项也不能掉。同一列最上边和最下边循环相邻，可画圈； 同一行最左边和最右边循环相邻，可画圈；四个角上 1 方格也循环相邻，可画圈。 注意 ABCD+ABCD+ABCD+ABCD 卡诺

27、 图化 简法 环节 画函数卡诺图 将各圈分别化简 对填 1 相邻最小项方格画包围圈 将各圈化简结果逻辑加 第53页第53页m15 m9 m7 m6 m5 m4 m2 m0解：(1)画变量卡诺图例 用卡诺图化简逻辑函数 Y(A,B,C,D)=m (0,2,4,5,6,7,9,15)ABCD0001111000 01 11 10(2)填卡诺图 1 1 1 1 1 1 1 1(3)画包围圈abcd(4)将各图分别化简圈 2 个可消去 1 个变量，化简为 3 个相同变量相与。Yb = BCD圈 4 个可消去 2 个变量，化简为 2 个相同变量相与。孤立项 Ya=ABCDYc = AB循环相邻 Yd =

28、 AD(5)将各图化简结果逻辑加，得最简与或式第54页第54页解：(1)画变量卡诺图例 用卡诺图化简逻辑函数 Y(A,B,C,D)=m (0,2,5,7,8,10,12,14,15)ABCD0001111000 01 11 10(2)填卡诺图 1 1 1 1 1 1 1 1(4)求最简与或式 Y= 1消 1 个剩 3 个(3)画圈消 2 个剩 2 个 4 个角上最小项循环相邻第55页第55页找 AB =11, C = 1 公共区域找 A = 1, CD = 01 公共区域找 B = 1, D = 1 公共区域解：(1)画变量卡诺图ABCD0001111000 01 11 10(2)填图 1 1

29、(4)化简(3)画圈例 用卡诺图化简逻辑函数0011m30100m4 1 1 1 1 1 1 1 1要画吗？Y =第56页第56页例 已知某逻辑函数卡诺图下列所表示，试写出其最 简与或式。ABCD0001111000 01 11 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1解： 0 方格很少且为相邻项，故用圈 0 法先求 Y 最简与或式。1111111111第57页第57页例 已知函数真值表下列，试用卡诺图法求其最简与或式。A B CY0 0 010 0 110 1 000 1 111 0 011 0 101 1 011 1 11注意：该卡诺图尚有其它画圈法可见，最简结

30、果未必唯一。解：(1)画函数卡诺图ABC0100 0111 10 1 1 1 1 1 1(3)化简(2)画圈Y = 1 1 1 1 1 1ABC0100 0111 10 第58页第58页 约束项和随意项都不会在逻辑函数中出现，所相应函数值视为 1 或 0 都能够，故称无关项。 不允许出现无关项又称约束项；客观上不会出现无关项又称随意项。 五、含有无关项逻辑函数化简 合理利用无关项可使逻辑式更简朴 1. 无关项概念与表示 无关项是特殊最小项，这种最小项所相应变量取值组合或者不允许出现或者主线不会出现。 无关项在卡诺图和真值表中用“”“”来标识，在逻辑式中则用字母 d 和相应编号表示。 比如 84

31、21 码中，1010 1111这 6 种代码是不允许出现。 比如 A、B 为连动互锁开关，设开为 1 , 关为 0 , 则 AB 只能取值 01 或 10 , 不会出现 00 或 11。 2. 利用无关项化简逻辑函数 无关项取值对逻辑函数值没有影响。化简时应视需要将无关项方格看作 1 或 0 ，使包围圈至少并且最大，从而使结果最简。第59页第59页将 d10 当作 0,其余当作 1 将当作 0 ABCD0001111000 01 11 10 1 1 1 1 1 1 显然左图化简结果最简 解：(1)画变量卡诺图例 用卡诺图化简函数 Y=m (0,1,4,6,9,13)+ d (2,3,5,7,1

32、0,11,15)ABCD0001111000 01 11 10(2)填图 1 1 1 1 1(4)写出最简与 - 或式最小项(3)画包围圈无关项 1 0 第60页第60页例 已知函数 Y 真值 表下列，求其最简 与 - 或式。A B CY0 0 010 0 110 1 000 1 11 0 001 0 111 1 001 1 10解：(1)画变量卡诺图ABC0100 0111 10 1 1 1(4)写出最简与 - 或式(2)填图(3)画包围圈 要画圈吗？第61页第61页解：(1)画变量卡诺图ABCD0001111000 01 11 10(2)填图(4)求最简与 - 或式(3)画包围圈 1 1

33、1 1 求最简与非式基本办法是：先求最简与或式，再利用还原律和摩根定律变换为最简与非式。例 求函数 最简与非式 1 1 (5)求最简与非式分析题意称约束条件，表明与项 AB 和 AC 相应最小项不允许出现，因此 AB 和 AC 相应方格为无关项。第62页第62页本章小结分析数字电路数学工具是逻辑代数，它定律有和普通代数类似，如互换律、结合律和第一个形式分派律；但很多与普通代数不同，如吸取律和摩根定律。须注意：逻辑代数中无减法和除法。 第63页第63页逻辑函数和逻辑变量取值都只有两个，即 0 或 1。须注意：逻辑代数中 0 和 1 并不表示数量大小，仅用来表示两种截然不同状态。 正逻辑体制要求高

34、电平为逻辑 1、低电平为逻辑 0；负逻辑体制则要求低电平为逻辑 1、高电平为逻辑 0。未加阐明则默认为正逻辑体制。 第64页第64页基本逻辑运算有与运算(逻辑乘)、或运算(逻辑加) 和非运算(逻辑非)3 种。惯用复合逻辑运算有与非运算、或非运算、与或非运算、异或运算和同或运算。 与运算或运算非运算 Y=AB 或 Y=AB若有 0 出 0若全 1 出 1 Y=AB 若有 1 出 1若全 0 出 0 第65页第65页与非运算或非运算与或非运算有 0 出 1;全 1 出 0有 1 出 0;全 0 出 1相异出 1相同出 0相同出 1相异出 0异或运算同或运算第66页第66页逻辑函数惯用表示办法有：真值表、逻辑函数式、卡诺图和逻辑图。