数论问题试题分析

1、第 第 页数论问题试题分析+= -= = =2、任意取出1234个连续自然数，它们的总和是奇数还是偶数?3、一串数排成一行，它们的规律是：前两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和。如：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，试问：这串数的前100个数(包括第100个数)中，有多少个偶数?4、能不能将1010写成10个连续自然数之和?假如能，把它写出来;假如不能，说明理由。5、能否将1至25这25个自然数分成假设干组，使得每一组中的最大数都等于组内其余各数的和?6、在象棋竞赛中，胜者得1分，败者扣1分，假设为平局，那么双方各得0分。今有假设干个同学进行竞赛，每两人都赛一局

2、。现知，其中有一位同学共得7分，另一位同学共得20分，试说明，在竞赛过程中至少有过一次平局。7、在黑板上写上1，2，909，只要黑板上还有两个或两个以上的数就擦去其中的任意两个数a，b，并写上a-b(其中ab)。问：最末黑板上剩下的是奇数还是偶数?在整数中，有用2个以上的连续自然数的和来表达一个整数的方法.例如9：9=4+5，9=2+3+4，9有两个用2个以上连续自然数的和来表达它的方法.(1)请写出只有3种这样的表示方法的最小自然数.(2)请写出只有6种这样的表示方法的最小自然数.分析：(1)关于某整数，它的“奇数的约数的个数减1“，就是用连续的整数的和的形式来表达种数;依据(1)知道，有3

3、种表达方法，于是奇约数的个数为3+1=4，对4分解质因数4=22，最小的15(1、3、5、15);有连续的2、3、5个数相加;7+8;4+5+6;1+2+3+4+5;(2)有6种表示方法，于是奇数约数的个数为6+1=7，最小为729(1、3、9、27、81、243、729)，有连续的2，3、6、9、10、27个数相加：364+365;242+243+244;119+120+124;77+78+79+85;36+37+45;14+15+40.解答：解：依据(1)知道，有3种表达方法，于是奇约数的个数为3+1=4，对4分解质因数4=22，最小的15(1、3、5、15);有连续的2、3、5个数相加;

4、7+8;4+5+6;1+2+3+4+5;依据(2)知道，有6种表示方法，于是奇数约数的个数为6+1=7，最小为729(1、3、9、27、81、243、729)，有连续的2，3、6、9、10、27个数相加：364+365;242+243+244;119+120+124;77+78+79+85;36+37+45;14+15+408、设a1，a2，a64是自然数1，2，64的.任一排列，令b1=a1-a2，b2=a3-a4，b32=a63-a64;c1=b1-b2，c2=b3-b4，c16=b31-b32;d1=c1-c2，d2=c3-c4，d8=c15-c16;这样一贯做下去，最末得到的一个整数是

5、奇数还是偶数?1、至少有6个偶数。2、奇数。解：12342=617，所以在任取的1234个连续自然数中，奇数的个数是奇数，奇数个奇数之和是奇数，所以它们的总和是奇数。3、33。提示：这串数排列的规律是以“奇奇偶”循环。4、不能。假如1010能表示成10个连续自然数之和，那么中间2个数的和应当是10105=202。但中间2个数是连续自然数，它们的和应是奇数，不能等于偶数202。所以，1010不能写成10个连续自然数之和。5、不能。提示：仿例3。6、证：设得7分的同学胜了*1局，败了y1局，得20分的同学胜了*2局，败了y2局。由得分状况知：*1-y1=7，*2-y2=20。假如竞赛过程中无平局涌

6、现，那么由每人竞赛的场次相同可得*1+y1=*2+y2，即*1+y1+*2+y2是偶数。另一方面，由*1-y1=7知*1+y2为奇数，由*2-y2=20知*2+y2为偶数，推知*1+y1+*2+y2为奇数。这便涌现冲突，所以竞赛过程中至少有一次平局。7、奇数。解：黑板上全部数的和S=1+2+909是一个奇数，每操作一次，总和S减削了a+b-(a-b)=2b，这是一个偶数，说明总和S的奇偶性不变。由于开始时S是奇数，因此终止时S仍是一个奇数。8、偶数。解：我们知道，对于整数a与b，a+b与a-b的奇偶性相同，由此可知，上述计算的第二步中，32个数。a1-a2，a3-a4，a63-a64，分别与以

7、下32个数。a1+a2，a3+a4，a63+a64，有相同的奇偶性，这就是说，在只考虑奇偶性时，可以用“和”代替“差”，这样可以把原来的计算过程改为第一步：a1，a2，a3，a4，a61，a62，a63，a64;第一步：a1+a2，a3+a4，a61+a62，a63+a64;第三步：a1+a2+a3+a4，a61+a62+a63+a64;最末一步所得到的数是a1+a2+a63+a64。由于a1，a2，a64是1，2，64的一个排列，因此它们的总和为1+2+64是一个偶数，故最末一个整数是偶数将1，2，3这3个数字选出1个、2个、3个按任意次序排列出来可得到不同的一位数、二位数、三位数，请将其中的质数都写出来.分析：按要求