专题 求递推数列通项的特征根法

1、递归数列通项公式的求法确定数列的通项公式，对于研究数列的性质起着至关重要的作用。求递归数列的通项 公式是解决数学竞赛中有关数列问题的关键，本文着重对递归数列通项公式加以研究。基础知识定义：对于任意的n e N*，由递推关系a二f (a ,a ，,a)确定的关系称为k阶nn-1 n-2n-k递归关系或称为k阶递归方程，由k阶递归关系及给定的前k项a ,a，,a的值(称为初始12k值)所确定的数列称为k阶递归数列。若f是线性的，则称为线性递归数列，否则称为非线 性递归数列，在数学竞赛中的数列问题常常是非线性递归数列问题。求递归数列的常用方法：一公式法(1)设(1)设a 是等差数列，首项为a 1n1

2、公差为 d ，则其通项为a = a + (n 一 m)d ；nm设a 是等比数列，首项为a，公比为q，则其通项为a = a qn-m ； TOC o 1-5 h z n1n mS(n = 1)已知数列的前n项和为S，则a =11n n S S (n 2)nn -1迭代法 迭代恒等式：a = （a 一 a ） + （a 一 a ） + + （a 一 a ） + a ；nn n-1n-1 n-22 11a aa迭乘恒等式： a =- t - a，(a 丰0)n aaa 1 nn -1 n-21迭代法能够解决以下类型一和类型二所给出的递推数列的通项问题类型一：已知a = b, a = a + f (

3、n)，求通项a ；1n+1 nn类型二：已知a = b, a= f (n)a，求通项a ；1n+1nn三待定系数法类型三：已知a = b, a = pa + q(p丰1)，求通项a ；1n+1nn四特征根法类型四：设二阶常系数线性齐次递推式为x= px + qx ( n 1,p,q为常数q丰0)，其n+2n+1n特征方程为x2 = px + q，其根为特征根。(1)若特征方程有两个不相等的实根a,卩，则其通项公式为x = Aa n + BP n( n 1)， n其中A、B由初始值确定；(2)若特征方程有两个相等的实根a ,则其通项公式为x二Aa + B(n -l)a-1 (n 1), n其中A

4、、B由初始值确定。证明：设特征根为a,卩，则a + P= p, a0 = -q所以x-ax= px+ qx -ax=(p-a )x+ qx= Px-aPx= P(x-ax)n+2n+1n+1nn+1n+1nn+1nn+1nn +1n所以 x-ax = (x -ax )P n-1，n +1n所以 x-ax = (x -ax )P n-1，n+1n21(1)当a丰卩时，则其通项公式为x(2)当a =卩时，则其通项公式为xn所以 x =ax+ (x -ax )P n-2n n -121二 Aa n+ B卩 n，其中 A =x2- Pxi, B = x2-axi:(a - P)a(a - P )Px

5、x - ax=Aa + B(n 1)an-i，其中 A = B = t + aa则数列x 的通项公n4(改编)已知数列x x = 2日x = 则数列x 的通项公nn1-且 n+1x + 2n式命题意图:本试题主要考查了数列的通项公式的求法，根据递推公式构造等比数列进而 求得数列的通项，虽然这样的解决对于学生来说是比较有点难度的，但通过不同 的构造方法使学生体会一些特殊的数列通项公式的推导，有利于学生思维的开 发。参考答案：得宀=+1n+1n4 x 得宀=+1n+1n TOC o 1-5 h z 解法一：由 x = n x - 3 = n - 3 n+1 xn+1n得n1 1 1 1 亍二3 +

6、 厂 5(+ 4)n+1n113故数列+!是以-为首项以5为公比的等比数列x - 3 44nj + 1 = - 3 X 5 n-1 故 x = 3 -(x 3 44n3 x 5n-1 +1解法二：由x = 解法二：由x = n + 3n+1 x + 2n4x + 3x +1 n+1得 n +1x + 2n得 111+1得一X + X +15 X +1 5n +1n1 1 1 1 1 TOC o 1-5 h z ()X +1 45 X +1 4n +1n1 1 1 1故数列无吕”是以1为首项以1为公比的等比数列n1 =丄 X(5)n1 故 x 3 44 125n3 X 5n1 +1解法三n +解

7、法三n +1汚得到该数列的一个特征方程x -即 x 2 2 x 3 0，解得 x 3 或 x 14x + 3 x 4x + 3 x 3/. x 3 n 3 nn+1x + 2x + 2nnx(1)n +15 x + 5nx +2两式相除可得汚-5X，而n +1n12 3_1 2 +13故数列汀是以-1为首项以5为公比的等比数列n.x 3 nx +1113 .x 3 nx +1113 -(5)n1,3 3X5n1 +13X5n1 +1五代换法代换法主要包括三角代换、分式代换与代换相消等，其中代换相消法可以解决以下类型五：已知a b,a c， a pa + qa + r（r丰0），求通项a。 TO

8、C o 1-5 h z 12n +1nn 1n六不动点法若f Q） a，则称a为f （x）的不动点，利用不动点法可将非线性递归式化归为等差数列、等比数列或易于求解的递关系的递推关系，从而达到求解的目的。a - a + b / 小小、类型六：（1）已知a n（c丰0，且ad - bc丰0），求通项a ；n+1 c - a + dnna - a 2 + b（2）已知a n，求通项a ；n+12a - a + cn七数学归纳法八构造法典例分析例 1.数列a 中，a1=1,a 1a ,且 a2 + a2 +1 二 2（a a + a + a ）成立，求a。 TOC o 1-5 h z 1n+1 nn+

9、1nn+1 nn+1nn2a a例2.已知数列a 满足：a = 1, a = 2,a=n讪，求a。n12n+ 2 a + annn +1a = 1例 3.数列a 满足例 3.数列a 满足Snan+1=(1 + 4a1 + 24a ), n = 1,2,16 n n专题 求递推数列通项的特征根法一、形如a = pa + qa （p, q是常数）的数列 TOC o 1-5 h z n +2n+1n形如a = m ,a = m ,a = pa + qa （p,q是常数）的二阶递推数列都可用特11 22 n+2n+1n征根法求得通项a，其特征方程为x2 = px + qn若有二异根a,卩，则可令a =

10、 c an + c P n （c , c是待定常数）n 1212若有二重根a = P ,则可令a = （c + nc ）a n（c ,c是待定常数）n 1212再利用a = m , a = m ,可求得c , c，进而求得a112212n例1已知数列a 满足a = 2,a = 3,a = 3a - 2a （n e N*），求数列a 的通项n12n + 2n +1nna例2已知数列a 满足a = 1,a = 2,4a= 4a- a (n e N*)，求数列a 的通项n12n+2n+1nnan二、形如an二、形如an+2Aa + BnCa + Dn的数列对于数列 a 二 Aan + B , a = m,n e N*(A,B, C, D是常数且 C 丰 0,AD-BC丰 0 )n+2 Ca + D 1n其特征方程为x =+ ，变形为Cx2 + (D - A)x - B二0Cx + D若有二异根a,卩，则可令冬匸学二c字（其中c是待定常数），代入 a - p a - pn+1na , a的值可求得c值。12这样数列|是首项为住孚，公比为c的等比数列，于是这样可求得I a -pla - pn1an11若有二重根a = p,则可令=+ c （其中c是待定常数），代a -a a