高中函数定义域值域解析式求法大全

1、抽象函数定义域的类型及求法函数概念及其定义域 TOC o 1-5 h z 函数的概念：设是 A, B 非空数集，如果按某个确定的对应关系f ， 使对于集合A 中的任意一个x，在集合 B 中都有唯一确定的数f (x) 和它对应，那么就称f : A B 为集合 A 到集合 B 的函数，记作： y f (x), x A。其中 x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与 x的值相对应的y的值叫做函数值.复合函数的定义一般地：若y f (u) ，又 u g(x) ，且 g(x) 值域与 f (u) 定义域的交集不空，则函数y fg(x)叫 x的 复合函数，其中 y f(u)叫外层函数，u g(x)

2、叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.例如 : f (x) 3x 5, g(x) x2 1 ； 复合函数f(g(x) 即把 f (x) 里面的 x换成 g(x) ，f(g(x) 3g(x) 5 3(x2 1) 5 3x2 8问：函数f (x) 和函数 f (x 5) 所表示的定义域是否相同？为什么？(不相同；原因：定义域是求 x的取值范围，这里x和 x 5所属范围相同，导致它们定义域的范围就不同了。一、已知f (x) 的定义域，求f g(x) 的定义域其解法是：若f(x)的定义域为a x b ，则在 f g(x) 中， a g(x) b，从中解得x

3、的取值范围即为f g(x) 的定义域例 1 已知函数f (x) 的定义域为1， 5 ，求 f (3x 5) 的定义域分析： 该函数是由u 3x 5和 f (u) 构成的复合函数，其中 x是自变量，u是中间变量，由于 f (x)与 f(u)是同一个函数，因此这里是已知1 u 5，即 1 3x 5 5，求 x的取值范围410解： f (x)的定义域为1，5 ，1 3x 5 5 x 故函数f (3x 5) 的定义域为334，10 33练习 1. 已知 f (x) 的定义域为3,5 ，求函数f(3x 2) 的定义域；1 , 733练习 2. 已知 f (x) 的定义域为(0， 3 ，求f (x2 2x

4、) 定义域。3, 20,1二、已知f g(x) 的定义域，求f (x)的定义域其解法是：若 f g(x) 的定义域为mx n ， 则由 m x n 确定的 g(x) 的范围即为f(x)的定义域例 1.已知函数f(x2 2x 2)的定义域为0， 3 ，求函数f (x) 的定义域22分析： 令 u x2 2x 2 ，则 f (x2 2x 2) f(u) ，由于 f (u) 与 f (x) 是同一函数，因此u 的取值范围即为f (x) 的定义域 TOC o 1-5 h z 222解 ： 由0 x3 ， 得 1x22x25令 ux22x 2 ， 则f (x22x 2)f (u)，1 u 5故 f (x

5、)的定义域为1，5 练习 1 若函数 f 3 2x 的定义域为1,2 ，求函数f x 的定义域4,11例 2.已知 f (x 1)的定义域为 2，3) ，求 f x 2 的定义域。解 由 f (x 1) 的定义域为 2， 3) 得 2 x 3 ，故 1 x 1 4 即得 f x 定义域为 1， 4) ，从而得到 1 x 2 4，所以1 x 6 故得函数f x 2 的定义域为1,6三、运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，然后再求交集例 1. 若 f (x) 的定义域为3， 5 ，求 (x) f ( x) f (2x 5) 的定义域3x

6、 5，解： 由 f (x) 的定义域为3， 5 ，则 (x) 必有解得 4 x 03 2x 5 5，所以函数(x) 的定义域为4， 0例 2 已知函数f x 定义域为是a,b ，且 a b 0 , 求函数 h x f x m f x m m 0 的定义域axmbamxbm解 :， m 0, a m a m b m b m ， 又axmbamxbmambmba要使函数h x 的定义域为非空集合，必须且只需a m b m ，即 0 m a ，这时函数h x 的定义域为a m,b m总结解题模板.已知f (x) 的定义域，求复合函数f g x 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层

7、函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中， 因此可得其方法为：若 f (x) 的定义域为x a,b ， 求出 fg(x) 中 a g(x) b的解 x的范围，即为fg(x) 的定义域。.已知复合函数f g x 的定义域，求f(x)的定义域方法是：若fg x 的定义域为x a,b ，则由 a x b 确定 g(x) 的范围即为f (x) 的定义域。.已知复合函数fg(x) 的定义域，求fh(x) 的定义域结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由f g x 定义域求得f x 的定义域，再由f x 的定义域求得f h x 的定义域。.已知f(x)的定义域，求四则运算型函数的定义

8、域若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。函数解析式的七种求法待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。例 1 设 f ( x)是一次函数，且f f(x) 4x 3，求 f(x)解 ：设 f ( 解 ：设 f ( x) ax b(a 0)，则f f (x) af (x) b a(ax b) b a2x ab ba2或 b1a2或 b1a2 4f (x) 2x 1 或f (x) 2x 3ab b 3ab b 3配凑法： 已知复合函数fg(x) 的表达式，求 f(x)的解析式，fg(x) 的表达式容易配成g (

9、 x) 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数f ( x) 的定义域不是原复合函数的定义域，而是 g(x)的值域。11例 2 已知 f (x ) x22 (x 0) ，求 f(x) 的解析式x x2111解： f (x ) (x)2 2， x 2 f (x) x2 2 (x 2)xxx三、换元法：已知复合函数fg(x) 的表达式时，还可以用换元法求f (x) 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。例 3 已知 f ( x1) x2 x ，求 f ( x 1)解 ：令 t x 1 ，则 t 1 ， x (t 1) 2f ( x 1) x 2 xf(t)(t1)2 2(t1) t

10、21,f (x) x21(x 1)22f(x 1) (x 1)2 1 x2 2x (x 0)四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。例 4 已知：函数yx2x与 y g (x) 的图象关于点( 2, 3) 对称，求g ( x ) 的解析式解 ：设 M (x, y)为 y g( x)上任一点，且M (x , y ) 为 M (x, y)关于点 ( 2,3) 的对称点xx22 ，解得：xx22 ，解得：yy32x x4 代入得：y 6y， 点 M (x ,y ) 在 y g(x)上 y x x y6y6 y ( x 4)2 ( x 4) 整理得 yx2 7x 6g(x

11、)x2 7x 6五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。1例 5 设 f (x)满足 f(x) 2f ( ) x, 求 f(x)x11解 f ( x) 2 f ( ) x 显然 x 0, 将 x换成，得11f(1) 2f(x)11f(1) 2f(x)1例6设 f (x) 为偶函数，g ( x) 为奇函数，又f (x) g (x)1, 试求f (x)和 g(x)的解析式x1f (x) 为偶函数，g (x) 例6设 f (x) 为偶函数，g ( x) 为奇函数，又f (x) g (x)1, 试求f (x)和 g(x)的解析式

12、x1f (x) 为偶函数，g (x) 为奇函数，f ( x) f (x), g( x) g(x) 又 f (x) g (x)1x11x 替换 x 得： f ( x) g ( x )x11解 联立的方程组，得f ( x)，x2 11即 f (x) g(x)x11g(x) 2xx六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。例 7 已知： f (0) 1 ， 对于任意实数x、 y， 等式 f (x y) f (x) y(2x y 1)恒成立，求 f (x)解 对于任意实数x、 y，等式f (x y) f (x)

13、 y(2x y 1) 恒成立，不妨令x 0 ，则有f ( y) f (0) y( y 1) 1 y( y 1)y2y 1 再令 y x 得函数解析式为：f (x) x2 x 1七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。例8设 f(x) 是 定 义 在 N 上 的 函 数 ， 满 足 f(1) 1 ， 对 任 意 的 自 然 数 a,b 都 有f (a) f (b) f(a b) ab ，求 f (x)f (a) f (b) f (a b) ab， a,b N不 妨 令 a x,b 1 ， 得f(x) f (1) f(x

14、 1) x，又 f (1) 1,故 f (x 1) f (x) x 1 f(x) f (1) f(x 1) x，又 f (1) 1,故 f (x 1) f (x) x 1 分 别 令 式 中 的 x 1, 2n 1 得 ：f(2)ff(3)ff(n ) f(1)2( 2 )3将 , 上 述 各 式 相 加 得 ：n( 1n)f(n) f(1) 2 3 n， f(n) 1 2 3 nn(n 1) f(x) 1x2221x, x N 21 M x|0 x 2, N y | 0 y 3 给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有(22求下列函数的定义域:yy x(4) y=a x

15、(a0,a 1)yy x(4) y=a x(a0,a 1)0(5 ) y=x3 设函数f (x)x 3,(x 10) f(x 5),( x 10)f(5)求下列函数的解析式:已知 f(x+1 )=x2-3x+2，求 f(x). (2) 已知 f(x)+2f( 1 )=3x,求f(x)的解析式x反馈型题组.(08 年 ,全国高考题)函数y x(x 1) x 的定义域为(AAx|x 0Bx| x 1CCx|x 10Dx|0 x 1汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间 t 的函数，其图像可能是7.(08 年德州)对任意整数x,y,函数 f(x)

16、满足 f(x y) f(x) f( y) xy 1,若f(x)=1,那么 TOC o 1-5 h z f( 8)等于()A. -1B. 1C. 19D 438. 已知 f( x)是一次函数，且2f(x)+f(-x)=3x+1 对 x R恒成立，则f( x) =.函数值域求法十一种直 接 观 察 法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。1例 1. 求 函 数 y x的 值 域 。解：x0 0 x显 然 函 数 的 值 域 是 ：( ,0) (0, )例 2. 求 函 数 y 3 x 的 值 域 。解：x0 x 0,3 x 3故 函 数 的 值 域 是 ： ,3配 方 法配方法是求二次函数

17、值域最基本的方法之一。2例 3. 求 函 数 y x 2x 5,x 1,2的 值 域 。2解：将函数配方得： y (x1)2 4 x 1,2由二次函数的性质可 知 ： 当x=1 时，ymin4， 当 x 1时 ， ymax 8故函数的值域是：4， 8判 别 式 法21 x x2 y2 例 4. 求 函 数 1 x 的 值 域 。解 ： 原 函 数 化 为 关 于x的 一 元 二 次 方 程(y 1)x2 (y 1)x 0当 y 1时 ， x R( 1)2 4(y 1)(y 1) 01y3解得：22131,当 y=1 时 ， x 0， 而 2 21,3故 函数 的值 域为 22例 5.求 函 数

18、 yx x(2x) 的值 域。22解 ：两 边 平 方整理 得 ：2x 2(y1)x y 0( 1)xR4(y 1)2 8y 0 TOC o 1-5 h z 解得：12y12但此 时的函数的定义域 由 x(2x)0，得 0 x222由0，仅保证关于x的 方 程：2x22(y1)xy20在实 数 集 R有 实根，而不 能确 保其 实根在 区间0， 2上 ，即 不能确 保 方程( 1)有实 根 ， 由0求出的13,范 围 可 能 比 y的 实 际 范 围 大 ， 故 不 能 确 定 此 函 数 的 值 域 为 2 2 。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。0 x2y x x(2 x) 0ymi

19、n 0,y 1 2代 入 方 程 ( 1)22 24 2解得：当 x1x解得：当 x1222 24 22 时，原 函 数 的 值 域 为 ： 0,12注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应 综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。反 函 数 法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值 域。3x 4例 6. 求 函 数 5x 6 值 域 。4 6y xx35解 ： 由 原 函 数 式 可 得 ： x354 6y则其反函数为：y 5x3， 其 定义 域 为 ：3故所求函数的值域 为 ：,5函 数 有 界 性 法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过

20、函数的有界性，反客为主来确定 数的值域。xe1y例 7. 求 函 数ex 1 的 值 域 。x y1 ex y1 e解：由原函数式可得： y1ex 0y10 y1解得： 1y1故 所 求 函 数 的 值 域 为 ( 1,1)cosxy例 8. 求 函 数 sinx 3的 值 域 。解 ： 由 原 函 数 式 可 得 ： ysinx cosx 3y， 可 化 为 ：y2 1 sinx(x ) 3y3ysin x(x )即y2 1xR sinx(x ) 1,13yy1即 y2 122y解得： 4422故 函 数 的 值 域 为 4,4函 数 单 调 性 法例 9.求 函 数y 2x 5log3x1

21、(2x 10)的 值 域 。 TOC o 1-5 h z 解 ：令 y12x 5,y2log3x1则 y1,y2在 2， 10上 都 是 增 函 数所 以 y y1 y2在2，10上 是 增函数y min23 log3 211当 x=2时 ，8当 x=10时 ， ymax 25 log3 9 331 ,33故所求函数的值域为： 8例 10. 求 函 数 y x 1 x 1 的 值 域 。2y解：原函数可化为： x1 x1令y1 x 1,y2x1，显 然 y1,y2在1,上 为 无 上 界 的 增 函 数所以 y y1， y2在1,上也 为 无 上 界的 增函数22所以当 x=1 时，y y1y

22、2有最 小值 2， 原 函 数 有 最 大 值 2显然y 0， 故原函 数 的值 域为 (0, 2换 元 法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根 式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的 值域中同样发挥作用。例 11. 求 函 数 y x x 1的 值 域 。解 ： 令 x 1 t， (t 0)则 x t2 1 TOC o 1-5 h z 2123y t2 t 1 (t)224又t0，由二 次函 数的 性 质 可 知当t0 时，y min1当 t 0时 ， y故函数 的值域 为1,)例 12. 求函数y x21 (x 1)2 的 值

23、域 。2 TOC o 1-5 h z 解 ： 因1(x 1)202即 (x 1)2 1故可令 x1cos,0,ycos11cos2sincos 12 sin( ) 140,05442 sin( ) 12402 sin( ) 1 12故 所 求 函 数 的 值 域 为 0,1 2y x3 x 例 13. 求 函 数 y x3 x 例 13. 求 函 数 x4 2x2解：原函数可变形为：2x可 令 x tg ， 则 有 1 x21的 值 域 。1 2x 1 x2 y2 1 x2 1 x2sin 2 ,12 1xx2cos21 sin 2 cos2 1 sin 4 TOC o 1-5 h z k1

24、y max 当 2 8时 ，4k1当28 时 ， ymin 4而此时tan有 意义 。11x,12 2 的 值 域 。x,12 2 的 值 域 。例 14. 求 函 数 y (sin x 1)(cos x 1)解 ： y (sin x 1)(cos x 1)sin x cosx sin x cosx 112sin xcos x (t 1)令 sin x cosx t ， 则21212y(t2 1) t 1 (t 1)222t sin x cosx 2 sin(x / 4) x,且 12 2可得：2可得：22t 232 32 y42y 32 t2当 t 2时 ， ymax 22， 当 t 2 时

25、 ， TOC o 1-5 h z 32,32故所求函数的值域为 4 22。例 15. 求 函 数 y x 4 5 x2 的 值 域 。解：由5x2 0， 可 得 |x|5故可令x 5cos,0, y 5 cos 45 sin 10 sin( ) 405444当 /4时，ymax 410当 时 ， y min 45故所 求 函 数的值 域为 ：45,4 10数 形 结 合 法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率 等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 TOC o 1-5 h z 例16. 求函数y(x2)2 (x 8)2的值域。解： 原

26、函数可 化简 得：y |x 2|x8|上式可以看成数轴 上 点P(x) 到定点A(2)，B( 8)间 的 距 离 之和 。由上图可知，当点 P 在线 段AB 上时，y| x2 | |x 8 | | AB | 10当点P 在线段AB 的 延长 线或 反 向延长线上 时，y | x 2 | | x 8 | AB |10故所 求函数的 值域 为：10, 例 17. 求 函 数 y x2 6x 13 x 2 4x 5 的 值 域 。解：原函数可变形为：y (x 3)2 (0 2)2(x 2)2 (0 1)2 TOC o 1-5 h z 上式可看成x轴 上的点P(x,0)到 两 定 点A(3,2),B(

27、2, 1)的距 离之和，由图可知当点 P 为线段与 x轴的 交 点 时， ymin|AB |(32)2(21)243，故所求函数的 值 域为43, 例 18. 求 函 数 y x2 6x 13 x2 4x 5的 值 域 。解：将函数变形为 ：y (x3)2(02)2(x 2)2 (01)2上式可看成定点A(3，2) 到点P(x， 0)的 距 离 与 定点 B( 2,1)到 点 P(x,0)的距离之差。即 ： y |AP| |BP|由图 可 知 ： (1)当 点 P 在 x轴上 且 不 是 直 线 AB与x轴 的 交点 时 ， 如 点 P，则 构成 A BP，根 据 三 角 形 两 边 之 差小

28、 于 第 三 边 ， 有 TOC o 1-5 h z |AP| | BP| |AB |(3 2)2 (2 1)226即 ：26 y 26当 点 P 恰好 为 直 线 AB 与 x轴的 交 点 时， 有 |AP| |BP| |AB | 26综上所 述 ， 可 知函 数 的 值 域 为： (26, 26注：由例17，18 可知 ，求 两距 离 之和时 ，要将函数式变形， 使A、B两点在 x 轴的 两侧，而求两距离之差 时，则 要使A，B两点在x 轴的同 侧。如：例17 的A，B两点坐标 分别为 ：(3，2)， ( 2,1)，在x轴的 同侧；例18 的A，B两点坐标分别为(3，2) ，(2,1)，在

29、x轴的同侧。不 等 式 法3利用基 本不 等式 a b 2 ab,a b c 33 abc(a,b,c R )，求函数的最值 ，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需 要用到拆项、添项和两边平方等技巧。1212例 19. 求 函 数 y (sin x sinx) (cosx cosx)4的 值 域 。解：原函数变形为：2211y (sin x cos x) 22sin x cos x1 ces2 x sec2 x223 tan x cot x33 tan2 xcot2 x 25当 且 仅 当 tanx cotxxk即 当 x k 4时 (k z)， 等 号 成 立故 原 函 数 的 值 域 为 ： 5, )例 20. 求 函 数 y 2sinxsin2x的 值 域 。解 ： y 4sin x sin x cos x4sin 2 xcosx42y 16 sin xcos x2228sin xsin x(2 2sin x)8(sin 2 x sin2 x 2 2sin2 x) /336427