八年级三角形讲义

1、第第11页共 页课堂总结全等三角形判定方法总结:一、全等三角形的定义（能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形）；（容易忽略）二、在全等三角形中找对应边和对应角1、公共边是对应边；2、对应角的对边是对应边；3、公共角是对应角；4、对顶角是对应角；5、对应边的对角是对应角。三、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等。全等三角形的周长相等、面积相等全等三角形的对应线段都相等四、判定三角形全等的方法：基本事实：SAS,ASA,SSS,定理AAS,判定直角三角形全等的方法：基本事实：SAS,ASA,SSS,定理AAS,HL五、证明题的思考思路：拿到证明题首先看是证明什么的，比如是要证明线段

2、相等，那就要看这两条线段在哪两个三角形中，结合图形看一看这两个三角形是否全等，结合全等证明的依据看全等条件可够，不够的条件能否从其他已知条件中得到；再结合已知条件看从给的已知条件能得到什么，两头一凑，基本上证明思路就出来了。六、证明角相等的依据1、由角平分线得角相等；2、同角或等角的余角相等3、同角或等角的补角相等3、由平行线得角相等或角的互补；4、三角形内角和是180度；5、全等三角形的对应角相等；6、三角形的外角等于与它不相邻的两内角和；七、证明线段相等的依据全等三角形的对应边相等八、证明角不等的依据三角形的外角大于与它不相邻的任一内角九、证明线段不等的依据三角形两边之和大于第三边课后作业

3、.如图，已知ABC中，/ABC=45,AC=4,H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（）A.6B.4C.2*3D.5B解析：，/ABC=45,ADBC,：.AD=BD，/ADC=ZBDH,ZAHE=ZBHD=ZC.：ADC/BDH.：BH=AC=4.故选B.2.（2014荆州）如图，在第1个AC中，ZB=30,A3=CB；在边A1B上任取一点D,延长CA1到A2,使A1A2=A1D,得到第2个A1A2D；在边A2D上任取一点E,延长A1A2到A3,使A2A3=A2E,得到第3个A2A3E,按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是（）A.()n75B.()n-165C.(

4、)n-175D.()n52【考点】等腰三角形的性质.【专题】规律型.【分析】先根据等腰三角形的性质求出ZBA1c的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出Zn个三角形中以An为顶点的内角度数.DA2A1,ZEA3A2及ZFA4A3的度数，找出规律即可得出第【解答】解：.在4CBA1中，ZB=30,n个三角形中以An为顶点的内角度数.1SO-ZB：ZBA1C=75VA1A2=A1D,ZBA1C是4A1A2D的外角，：ZDA2Al卷ZBA1C=X75；同理可得，ZEA3A2=。)2X75,ZFA4A3=()3x75,.:第n个三角形中以An为顶点的内角度数是（9）n-1X75.故选：

5、C.【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出ZDA2A1,ZEA3A2及ZFA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键.3、（2014春东营区校级期末）一个三角形的三边为2、5、x,另一个三角形的三边为y、2、6,若这两个三角形全等，则xy=11.【考点】全等三角形的性质.【分析】根据已知条件分清对应边，结合全的三角形的性质可得出答案.【解答】解：二这两个三角形全等，两个三角形中都有2：长度为2的是对应边，x应是另一个三角形中的边6.同理可得y=5.xy=11.故填11.【点评】本题考查了全等三角形的性质及对应边的找法；根据两个三角形中都有2找对对应边是解决本题的关键

6、.4、（2012海曙区模拟）如图是由四个大小不等的、顶角为120的等腰三角形拼接而成.已知三角形ABC面积为100,三角形ACD面积为32,三角形ABF的面积为37.组成图形的四个等腰三角形中，最小的一个面积为9.61.【考点】等腰三角形的性质；三角形的面积；三角形内角和定理.【专题】计算题；压轴题._【分析】设4ABC的高为心由已知三角形ABC面积为100,求得h2。吗弓，再分别求出BF,CM的长，然后可得MN的长，再根据勾股定理求出4NME的高，然后求得三角形MNE的关系式，将代入即可.【解答】解：设ABC的高为心由已知三角形ABC面积为100,可得h2。.百，3设SABF的高为x,则x且

7、,h由sin60，得BF=BF74.BN=，同理可得CM=,hMN=2.3h-工,hNME的高为（2瓦-里殳）X,hSMNE=kX（2.3h-）X（2h-）X，将代入得S4mne=9.61.故答案为：9.61.【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质，三角形面积，勾股定理的理解和掌握，此题步骤繁琐，计算时数值精确，没有一处保留，此题难度较大，稍有疏忽，就可能导致错误，属于难题.、（2012珠海）如图，在4ABC中，AB=AC,AD是高，AM是ABC外角NCAE的平分线.（1）用尺规作图方法，作NADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设DN与AM交于点F,判断4ADF的形状

8、.（只写结果）E【考点】等腰三角形的判定与性质；作图.基本作图.【专题】作图题.【分析】（1）以D为圆心，以任意长为半径画弧，交AD于G,交DC于H,分别以G、H为圆心，以大于LGH2为半径画弧，两弧交于N，作射线DN，交AM于F.（2）求出NBAD=NCAD,求出NFAD上X180=90，求出NCDF=NAFD=NADF,推出AD=AF,即可得出答2案.【解答】解：（1）如图所示：（2）AADF的形状是等腰直角三角形，理由是：;AB=AC,ADBC,.NBAD=NCAD,VAF平分NEAC,.NEAF=NFAC,VNFAD=NFACNDACNEACNBAC=X180=90,2即ADF是直角三

9、角形，VAB=AC,.NB=NACB,VNEAC=2NEAF=NBNACB,.NEAF=NB,.AFBC,.NAFD=NFDC,VDF平分/ADC,.NADF=NFDC=NAFD,.AD=AF,即直角三角形ADF是等腰直角三角形.【点评】本题考查了作图-基本作图，等腰三角形的性质和判定的应用，主要培养学生的动手操作能力和推理能力，题目比较典型，难度也适中.6、（2016春太仓市期末）已知：NMON=40,OE平分NMON,点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D.设NOAC=x.(1)如图1,若ABON,贝UZABO的度数是20；当NB

10、AD=NABD时，x=120；当/8人口=/8口人时，x=60.(2)如图2,若ABLOM,则是否存在这样的x的值，使得AADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由.【考点】三角形的角平分线、中线和高；平行线的性质；三角形内角和定理.【专题】计算题.【分析】利用角平分线的性质求出NABO的度数是关键，分类讨论的思想.【解答】解：(1)NMON=40,OE平分NMON.NAOB=NBON=20VAB#ONAZABO=20,?ZBAD=ZABDAZBAD=20VZAOBZABOZOAB=180AZOAC=120VZBAD=ZBDA,ZABO=20AZBAD=80VZAOBZAB

11、OZOAB=180.ZOAC=60故答案为：20120,60(2)当点D在线段OB上时，若28人口=/人8口，贝Ux=20若28人口=/8口人，贝Ux=35若/人口8=/人8口，则x=50当点D在射线BE上时，因为ZABE=110,且三角形的内角和为180,所以只有ZBAD=ZBDA,此时x=125.综上可知，存在这样的x的值，使得4ADB中有两个相等的角，且x=20、35、50、125.【点评】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，注意：三角形的内角和等于180,三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和.7、(德州)问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB=AD,ZBA

12、D=120,ZB=ZADC=90.E,F分别是BC,CD上的点.且ZEAF=60.探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,先证明ABE/ADG,再证明AEF/AGF,可得出结论，他的结论应是EF=BEDF；图1图1图？图3探索延伸：如图2,若在四边形ABCD中，AB=AD,ZBZD=180.E,F分别是BC,CD上的点，且NEAFnL/BAD,上2述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图3,在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心。处)北偏西30的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到

13、行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处，且两舰艇之间的夹角为70,试求此时两舰艇之间的距离.【考点】全等三角形的判定与性质.【专题】压轴题；探究型.【分析】问题背景：根据全等三角形对应边相等解答；探索延伸：延长FD到G,使DG=BE,连接AG,根据同角的补角相等求出/B=/ADG,然后利用边角边证明ABE和4ADG全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AG,/BAE=/DAG,再求出/EAF=/GAF,然后利用边角边证明AAEF和GAF全等，根据全等三角形对应边相等可

14、得EF=GF,然后求解即可；实际应用：连接EF,延长AE、BF相交于点C,然后求出/EOF/AOB,判断出符合探索延伸的条件，再根据2探索延伸的结论解答即可.【解答】解：问题背景：EF=BEDF；探索延伸：EF=BEDF仍然成立.证明如下：如图，延长FD到G,使DG=BE,连接AG,/B/ADC=180,/ADC/ADG=180,/B=/ADG,在4ABE和4ADG中，rDG=BE，ZB=ZADG,四二AD.ABESADG(SAS),.AE=AG,/BAE=/DAG,ZEAF=/BAD,2./GAF=/DAG/DAF=/BAE/DAF=/BAD-/EAF=/EAF,/EAF=/GAF,在AEF和GAF中，杷二AG，ZEAF=ZGAF,仲一F.AEFSGAF(SAS),.EF=FG,?FG=DGDF=BEDF,.EF=BEDF；实际应用：如图，连接EF,延长AE、BF相交于点C,/AOB=3